張 敬，高 夯

(1.齊齊哈爾大學(xué)理學(xué)院，黑龍江 齊齊哈爾 161006；2.東北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，吉林 長(zhǎng)春 130024)

一類(lèi)退化半線(xiàn)性橢圓方程支配系統(tǒng)的最優(yōu)控制條件

張 敬1，高 夯2

(1.齊齊哈爾大學(xué)理學(xué)院，黑龍江 齊齊哈爾 161006；2.東北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，吉林 長(zhǎng)春 130024)

研究了一類(lèi)由退化半線(xiàn)性橢圓方程所支配的分布參數(shù)系統(tǒng)的最優(yōu)控制問(wèn)題.當(dāng)退化點(diǎn)集的測(cè)度為零時(shí)，利用正則化方法和變分思想，得到了該分布參數(shù)系統(tǒng)最優(yōu)控制所滿(mǎn)足的必要條件.

退化半線(xiàn)性橢圓方程；最優(yōu)控制；正則化方法；變分思想；最大值原理

1 問(wèn)題的提出

1986年E.Casas在文獻(xiàn)[1]中研究了一類(lèi)帶有第一類(lèi)邊界條件的線(xiàn)性橢圓方程的最優(yōu)控制問(wèn)題，從而開(kāi)始了橢圓系統(tǒng)的最優(yōu)控制問(wèn)題研究.隨后J.F.Bonnans和D.Tiba等人先后在文獻(xiàn)[2-4]中研究了半線(xiàn)性橢圓系統(tǒng)的最優(yōu)控制問(wèn)題.伴隨著近年來(lái)對(duì)退化半線(xiàn)性橢圓方程研究工作的不斷開(kāi)展[5-8]，退化半線(xiàn)性橢圓系統(tǒng)的最優(yōu)控制問(wèn)題逐漸成為一個(gè)新的研究課題.

本文討論退化半線(xiàn)性橢圓方程支配的系統(tǒng)

(1)

其中Ω?Rn(n≥2)是具有光滑邊界?Ω的有界區(qū)域.?x∈Ω，控制函數(shù)u(x)∈U，而U為Rm中的有界閉集.

作如下假設(shè)：

(P2)f:Ω×R×U→R滿(mǎn)足：?(y，u)∈R×U，f(·，y，u)是有界可測(cè)的；?(x，u)∈Ω×U，f(x，·，u)∈C1(R)；?(x，y)∈Ω×R，f(x，y，·)∈C(U)；且?(x，y，u)∈Ω×R×U，-α≤fy(x，y，u)≤-β，α與β為正常數(shù).

注1 若取a(x)=|x|α，αr<1，Ω=B1(O)?Rn，則|x|α滿(mǎn)足(P1)所有假設(shè)條件.

定義范數(shù)

定義1 稱(chēng)y(·)∈H(Ω)是方程(1)的一個(gè)廣義解，當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任意的φ∈H(Ω)，

(y，φ)=∫Ωf(x，y，u)φdx.

引理1[5]假設(shè)(P1)—(P2)成立，對(duì)任意的u(·)∈Uad，方程(1)存在唯一的廣義解y(·)∈H(Ω).

在Uad上定義指標(biāo)泛函

J(u(·))=∫Ωf0(x，y(x)，u(x))dx.

作如下假設(shè)：

最后，如果將“被”看成一個(gè)類(lèi)詞綴就意味著“被XX”是一個(gè)詞，詞最小的可以獨(dú)立運(yùn)用的語(yǔ)言單位，不能再分的。而在“被XX”結(jié)構(gòu)中“被”和“XX”之間所隱匿的成分補(bǔ)出不會(huì)引起結(jié)構(gòu)意義發(fā)生改變[13]。

(P3)f0:Ω×R×U→R滿(mǎn)足：?(y，u)∈R×U，f0(·，y，u)是有界可測(cè)的；?(x，u)∈Ω×U，f0(x，·，u)∈C1(R)；?(x，y)∈Ω×R，f0(x，y，·)∈C(U).

通過(guò)考慮方程(1)的正則化問(wèn)題，利用變分思想給出了退化半線(xiàn)性橢圓方程支配系統(tǒng)(1)的最優(yōu)對(duì)所滿(mǎn)足的Pontryagin最大值原理.

成立，其中

而ψ(·)∈H(Ω)滿(mǎn)足

(2)

2 狀態(tài)方程的變分

先來(lái)討論方程(1)的正則化問(wèn)題

(3)

(4)

(5)

(4)與(5)式相減得

由假設(shè)(P2)，上式可化為

利用Cauchy不等式并整理得

再由Young不等式有

由(4)式可得

其中C1為與δ無(wú)關(guān)的常數(shù).由橢圓方程理論[9]知

(6)

其中C2為與δ無(wú)關(guān)的常數(shù).

由假設(shè)(P1)及(6)式可知

再由嵌入定理[10]知

即

(7)

(8)

證明 ?u(·)∈Uad，?η∈(0，1)，?Eη?Ω，滿(mǎn)足|Eη|=η|Ω|，定義

若yη(·)為方程(3)相應(yīng)于uη(·)的解，則有

(9)

(9)與(4)式相減得

(10)

從而

(11)

由橢圓方程解的有界性估計(jì)理論有

再由嵌入定理知

即

(12)

(13)

注意到

由Minkowski不等式知

而

這里B為L(zhǎng)q(Ω)中的單位球.故?ε>0，?φ0(·)∈B，使得

由文獻(xiàn)[3]知，?ε>0，?Eη?Ω，滿(mǎn)足|Eη|=η|Ω|，使得

故

即

綜上所述，

‖Yη‖W1，p(Ω)≤C，

再由嵌入定理知

|Yη|

(14)

下面證明當(dāng)η→0時(shí)，Yη(·)→Yδ(·)，其中Yδ(·)滿(mǎn)足方程

(15)

將(13)與(15)式相減得

(16)

因而

(17)

進(jìn)一步有

由(12)與(14)式知

又因

由前面證明可知，?ε>0，?Eη?Ω，滿(mǎn)足|Eη|=η|Ω|，使得

即

‖Yη-Yδ‖W1，p(Ω)→0，η→0.

再由嵌入定理知

|Yη-Yδ|→0，η→0.

令η→0，由(13)式可知(15)式即為Yδ(·)滿(mǎn)足的方程.

下面證明當(dāng)δ→0時(shí)，Yδ(·)→Y(·)，其中Y(·)滿(mǎn)足方程(8).

將(15)式兩端同乘Yδ，并在Ω上積分，利用Young不等式和假設(shè)(P2)有

(18)

(19)

?φ∈H(Ω)，有

(20)

再由(19)式知，存在Y(·)∈H(Ω)和Yδ(·)的一個(gè)子列，不妨記為其本身，令δ→0有

Yδ(·)→Y(·)，δ→0.

(21)

且

(22)

利用(7)，(20)，(21)和(22)式，令η→0，δ→0，由方程(15)即得方程(8)，亦稱(chēng)方程(8)為方程(1)的變分方程.

3 主要定理的證明

定理1的證明 對(duì)指標(biāo)泛函作變分

令η→0，δ→0，利用假設(shè)(P3)上式化為

(23)

設(shè)變分方程(8)的對(duì)偶方程為方程(2)，利用此對(duì)偶方程，(23)式可化為

再由變分方程(8)得

(24)

由(24)式可得

(25)

將(25)式除以ρ，再令ρ→0，由Lebesgue點(diǎn)定義得

由于H(x，u)的Lebesgue點(diǎn)集在Ω中稠密，因此

[1] CASAS E. Control of an elliptic problem with pointwise state constraints[J]. SIAM J Control Optim，1986，24(6):1309-1318.

[2] BONNANS J F，TIBA D.Pontryagin’s pyinciple in the control of semilinear variational inequalities [J].Appl Math Optim，1991，23(2):299-312.

[3] 高夯.半線(xiàn)性橢圓方程支配系統(tǒng)的最優(yōu)條件[J].數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2001，44(2)：319-332.

[4] YE YUQUAN，CHEN Q.Optimal control of the obstacle in a quasilinear semilinear variational inequalities [J].J Math Anal Appl，2004，29(4):258-272.

[5] OLEINIK O A，RADKEVIC E V.Second order equations with nonnegative characteristic form [M].New York：Springer，1973，28-70.

[6] CACDIROLI P，MUSINA R.On a variational degenerate elliptic problem [J].Nonlinear Differ Equ Appl，2000，7:187-199.

[7] 何躍.一類(lèi)二階退化半線(xiàn)性橢圓型方程邊值問(wèn)題的適定性和解的正則性[J].數(shù)學(xué)年刊，2004，25(2):225-242.

[8] 萬(wàn)寶成，李建，王增輝.一類(lèi)擬線(xiàn)性橢圓型方程非平凡解的存在性[J].東北師大學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2013，45(2):25-29.

[9] 伍卓群，尹景學(xué)，王春朋.橢圓與拋物型方程引論 [M].北京：科學(xué)出版社，2003:199-211.

[10] ADAMS R A，F(xiàn)OURNIER J J F.Sobolev Space[M].2nd ed.Singapore:Elsevier Pte Ltd，2003:79-101.

(責(zé)任編輯：李亞軍)

Condition of optimal control for system governed by a class of degenerate semilinear elliptic equation

ZHANG Jin1，GAO Hang2

(1.School of Science，Qiqihar University，Qiqihar 161006，China； 2.School of Mathematics and Statistics，Northeast Normal University，Changchun 130024，China)

Optimal control problems for distributed parameter system governed by a class of degenerate semilinear elliptic equation are considered.When the measure of degenerate-points is zero，necessary condition for optimal control of the distributed parameter system is obtained by using regularization method and variational thought.

degenerate semilinear elliptic equation；optimal control；regularization method；variational thought；maximum principle

1000-1832(2015)04-0001-06

10.16163/j.cnki.22-1123/n.2015.04.001

2014-06-30

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11071036)；黑龍江省教育廳科學(xué)技術(shù)研究項(xiàng)目(12541891).

張敬(1969—)，女，碩士，教授，主要從事控制論與偏微分方程研究；高夯(1956—)，男，博士，教授，博士研究生導(dǎo)師，主要從事控制論與偏微分方程研究.

O 232 [學(xué)科代碼] 120·30

A