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        有關(guān)“定點”問題的探究

        2015-05-08 11:10:10內(nèi)蒙古赤峰市赤峰二中孫廣仁
        中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2015年9期
        關(guān)鍵詞:弦長過點圓心

        ☉內(nèi)蒙古赤峰市赤峰二中孫廣仁

        有關(guān)“定點”問題的探究

        ☉內(nèi)蒙古赤峰市赤峰二中孫廣仁

        有關(guān)“定點”問題在近幾年的高考試題中頻繁出現(xiàn)·本文將結(jié)合例題圍繞有關(guān)“定點”問題展開,以饗讀者·

        一、探究直線過“定點”問題

        例1(2009年高考江蘇第18題)在平面直角坐標系xOy中,已知圓C1:(x+3)2+(y-1)2=4和圓C2:(x-4)2+(y-5)2= 4·

        (1)若直線l過點A(4,0),且被圓C1截得的弦長為,求直線l的方程;

        (2)設(shè)P為平面上的點,滿足:存在過點P的無窮多對互相垂直的直線l1和l2,它們分別與圓C1和圓C2相交,且直線l1被圓C1截得的弦長與直線l2被圓C2截得的弦長相等,試求所有滿足條件的點P的坐標·

        解:(1)略·

        (2)設(shè)點P的坐標為(m,n),直線l1、l2的方程分別為:

        因為直線l1被圓C1截得的弦長與直線l2被圓C2截得的弦長相等,兩圓半徑相等,由垂徑定理,得圓心C1到直線l1的距離與圓心C2到直線l2的距離相等·

        化簡得:(2-m-n)k=m-n-3或(m-n+8)k=m+n-5·

        點評:本題實際上是探究兩條直線過同一“定點”問題,由于“過點P有無窮多對互相垂直的直線l1和l2”,注意到直線l1和l2的斜率是變化的,為此我們可以選擇l1的斜率k為變量·因為兩圓的半徑相等,由垂徑定理得到圓心C1到直線l1的距離與圓心C2到直線l2的距離相等,從而得到關(guān)于k的方程(2-m-n)k=m-n-3或(m-n+8)k=m+n-5有無窮多解,亦即與k無關(guān)·

        變式:(2010年高考江蘇第18題)在平面直角坐標系xOy中,如圖,已知點為A、B,右焦點為F,設(shè)過點T(t,m)的直線TA、TB與橢圓分別交于點M(x1,y1)、N(x2,y2),其中m>0,y1>0,y2<0·

        (1)設(shè)動點P滿足|PF|2-|PB|2=4,求點P的軌跡;(2)設(shè)x=2,x=,求點T的坐標;12

        (3)設(shè)t=9,求證:直線MN必過x軸上的一定點(其坐標與m無關(guān))·

        點評:考生普遍反映第三問計算量大·因為涉及的動點T(9,m)的縱坐標m的不確定性,所以要求的定點肯定與m的值無關(guān)·不妨先研究特殊情況,當直線MN與x軸垂直時,過x軸上的定點D(1,0),然后研究一般情況下直線MN過點D(1,0),這里又有兩條途徑:一是求出直線MN的方程,令y=0,解得x=1;二是運用kDM=kND證明M、N、D三點共線·

        二、探究圓過“定點”問題

        例2在平面直角坐標系xOy中,已知拋物線y2=2px上橫坐標為4的點到該拋物線的焦點的距離為5·

        (1)求拋物線的標準方程;

        (2)設(shè)點C是拋物線上的動點,若以C為圓心的圓在y軸上截得的弦長為4,求證:圓C過定點·

        變式:已知圓O:x2+y2=1,直線l1過點A(3,0),且與圓O相切·

        (1)求直線l1的方程·

        (2)設(shè)圓O與x軸相交于P、Q兩點,M是圓O上異于P、Q的任意一點,過點A且與x軸垂直的直線為l2,直線PM交直線l2于點P′,直線QM交直線l2于點Q′·求證:以P′Q′為直徑的圓C總經(jīng)過定點,并求出定點的坐標·

        點評:因為M是圓O上異于P、Q的動點,所以直線PM的斜率是變化的·故本題處理的方法有兩種:一是設(shè)動點M(x0,y0),由圓C的方程與x0、y0無關(guān),確定定點;二是設(shè)直線PM的斜率k,由圓C的方程與k無關(guān),令y=0,求出定點·

        三、探究平面內(nèi)存在定點問題

        例3已知⊙O:x2+y2=1和點M(4,2)·

        (1)過點M向⊙O引切線l,求直線l的方程·

        (2)求以點M為圓心,且被直線y=2x-1截得的弦長為4的⊙M的方程·

        (3)設(shè)P為(2)中⊙M上任一點,過點P向⊙O引切線,切點為Q·試探究:平面內(nèi)是否存在一定點R,使得|PQ| |PR|為定值?若存在,請舉出一例,并指出相應(yīng)的定值;若不存在,請說明理由·

        所以⊙M的方程為(x-4)2+(y-2)2=9·

        (3)假設(shè)存在這樣的點R(a,b),點P的坐標為(x,y),相應(yīng)的定值為λ·

        (1)求圓C的方程·

        (2)若直線FG與直線l交于點T,且G為線段FT的中點,求直線FG被圓C所截得的弦長·

        點評:對于第三問,設(shè)P(s,t),G(x0,y0),和點G在圓C上,得兩個關(guān)于x0、y0的方程,聯(lián)立可得一個關(guān)于x0、y0的方程,比較系數(shù),得到點P的坐標為(4,0)·

        總之,處理有關(guān)“定點”問題,要注意動與靜的轉(zhuǎn)化,確定好誰為變量,加深對概念本質(zhì)的理解,培養(yǎng)思維的深刻性·同時也要對動與靜的關(guān)系仔細觀察,便于尋求規(guī)律,培養(yǎng)思維的靈活性與廣闊性·A

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