☉江蘇省張家港市樂余高級中學張森焱

重視反思，培養(yǎng)學生的數(shù)學思維能力

☉江蘇省張家港市樂余高級中學張森焱

學生若能在課前預習、課堂教學或者課后完成作業(yè)的基礎(chǔ)上，主動反思成功的經(jīng)驗，總結(jié)失敗的教訓，概括自己所學及其所應(yīng)用的數(shù)學思想方法，那么一定會達到培養(yǎng)自身數(shù)學思維能力的目的·本文中筆者將結(jié)合課堂教學實例，從三個方面來探討學生數(shù)學思維能力的培養(yǎng)·

一、重視對書本例題、課后習題的反思

高考數(shù)學試題越來越重視對以思維能力為核心的數(shù)學能力的考查·命題“來源于課本，又高于課本，是課本的創(chuàng)新”的趨勢越來越明顯，即命題不再是課本例題、課后習題的簡單再現(xiàn)，而是取于課本，加以變式得到·這就要求教師在平時的數(shù)學教學中，對課本中的例題、課后習題不能停留在照搬照用上，而應(yīng)以課本中的例題、習題為依據(jù)，精心設(shè)計問題串，引導探索發(fā)現(xiàn)，展現(xiàn)形成過程，從而達到既適應(yīng)高考又培養(yǎng)學生數(shù)學思維能力的目的·

在蘇教版必修2立體幾何教學部分有這樣一道習題（書本第71頁）：設(shè)P、A、B、C是球O表面上的四個點，PA、PB、PC兩兩垂直，且PA=PB=PC=1m，求球的體積和表面積·

筆者執(zhí)教的是鄉(xiāng)鎮(zhèn)上一所三星級普通高中，初次接觸這個題目，學生在處理上都出現(xiàn)了很大問題·作為教師，不妨先降低題目的難度，在解決書本上這道習題之前我們可以先引入這樣的一個問題：已知長方體的長、寬、高分別為1、2、3，求此長方體外接球的表面積·

評析：在教學中我們通過實物展示和電子白板再現(xiàn)讓學生發(fā)現(xiàn)長方體的體對角線的長度即為球體的直徑，積S=4πR2=14π.

引申：在上述例題講解的基礎(chǔ)上，教師可以引導學生反思長方體的長、寬、高與其外接球的直徑的關(guān)系·通過教學過程中的實物展示，學生發(fā)現(xiàn)若長方體的長、寬、高分別為a、b、c，則其外接球的直徑為其體對角線的長，

有了本題作為突破口，我們再來解決書本上的這道例題·雖然在本題中我們看不到長方體的影子，但是同學們可以想象PA、PB、PC兩兩垂直，即從同一個點出發(fā)有三條線相互垂直，有點像我們平時生活中遇到的什么問題？同學們會聯(lián)系到我們立體幾何中常說的“墻角”問題，于是構(gòu)造長方體就產(chǎn)生了·

《普通高中數(shù)學課程標準（實驗）》提出“應(yīng)提高數(shù)學地提出、分析和解決問題（包括簡單的實際問題）的能力·”筆者以上面的兩個問題為契機，引出了下面的練習：已知正四面體的棱長為求其外接球的體積·

事實上，學生經(jīng)過總結(jié)反思發(fā)現(xiàn)這三個題目是同一個類型·在教學中，教師可以從書本上的例題、課后習題出發(fā)，以問題串的形式，不斷引導學生進行積極的思維活動·在解決問題過程中，通過觀察、發(fā)現(xiàn)、歸納、類比、猜想、推理、證明等一系列數(shù)學活動來培養(yǎng)學生的數(shù)學思維能力·

二、重視對解題教學的反思

1·反思解題方法

在數(shù)學解題教學中，不同的數(shù)學問題存在不同的解決方法·教師應(yīng)適當?shù)匾龑W生反思解決問題的方法·對解題方法的反思，其教學價值不是單純讓學生知道如何解出這個數(shù)學題，而是督促學生站在不同的視角、用不同的方法去思考、去審視、去理解這個題目，從而開闊學生的思路，培養(yǎng)學生的數(shù)學思維能力·

在高二“圓錐曲線與方程”教學中筆者曾經(jīng)執(zhí)教過這樣一個例題：已知A（-2，0）、B（2，0），動點M（x，y）滿足則動點M的軌跡是什么？

第一次接觸這個題目，在教學中筆者發(fā)現(xiàn)很多學生第一思路是通過移項、完全平方解決，這時教師不要立刻制止學生的做法·等學生的做法結(jié)束后，教師可以慢慢引導學生觀察經(jīng)過移項、兩邊完全平方最終算出動點的軌跡是以（-2，0）、（2，0）為焦點，2a=6的橢圓·做到這里，教師不妨反問一下學生：大家現(xiàn)在反思一下剛才的解題方法，發(fā)現(xiàn)了什么？這個解決的過程有點類似什么的解決方法？哦！學生此時才明白，努力了半天的化簡過程就相當于把橢圓方程又推導了一遍·教師追問：我們能否直接用橢圓的定義進行解決呢？經(jīng)過觀察我們發(fā)現(xiàn)定點（-2，0）、（2，0）的距離和，式子右邊是定值6·于是順理成章地就又回到了橢圓的定義上：平面內(nèi)到兩個定點的距離和為定長（2a＞2c）的點的軌跡是橢圓·于是可以根（-2，0）、（2，0），定值為2a=6，從而得出橢圓的標準方程·

在解題教學中，教師要努力培養(yǎng)學生的主動精神，要先給學生提供獨立“攻堅”的機會，教師要“延遲判斷”，在學生嘗試、探索的過程中允許他犯錯誤·缺乏經(jīng)驗的教師通常認為需要克服困難的地方是學生容易犯錯誤的地方，因此，常常在學生犯錯誤之前就提醒學生加以注意，甚至直接給學生正確的示范·事實上，學生自己思考出來的結(jié)果，往往是應(yīng)用策略多種多樣，有的甚至比已知應(yīng)用的策略好得多·教師要轉(zhuǎn)變“講得越多、越細，學生就掌握得越好”的師本位的觀念為學生自主地進行積極探索和嘗試的生本位的觀念，這樣學生可能獲得對思維策略的更深刻理解和認識·

2.對解題結(jié)果的再反思

學習數(shù)學不僅要在理解的基礎(chǔ)上掌握知識，還要學會應(yīng)用所學知識解決問題，更要養(yǎng)成數(shù)學地看待問題的習慣·G·波利亞在“怎樣解題表”中將解題過程分為弄清問題、擬訂計劃、實施計劃、解后回顧四個步驟·一般在解題教學中教師偏重于“審題（即弄清問題）”這一步驟，對解后的回顧與反思做的較少·事實上，解題后的回顧與反思，一方面可以檢驗解題過程和結(jié)果，另一方面可以對解題思路進一步整理、歸納、引申、發(fā)散，既有助于學生對數(shù)學知識的融會貫通，更有利于學生數(shù)學思維品質(zhì)的培養(yǎng)·筆者仍以例題“已知A（-2，0）、B（2，0），動點跡是什么？”做研究·

教師在引導學生觀察可將代數(shù)方程語言轉(zhuǎn)化為幾何語言后，可以繼續(xù)啟發(fā)學生思考：若修改條件，軌跡又是什么？

方案1：6改成4，軌跡又是什么？

方案2：4改成3，軌跡又是什么？

這些方案的一一引出，可以加深學生對圓錐曲線的定義的認識·通過對一系列問題的探究，深化對數(shù)學問題的理解，培養(yǎng)思維品質(zhì)的深刻性、創(chuàng)造性、科學性和批判性，提高了學生的想象力及分析、解決問題的能力·通過對問題的不斷引申，精心設(shè)問，引導學生學習解題的一般方法及聯(lián)想、類比、猜測、證明和合情推理等方法·

三、重視對錯題的反思

在教學中，我們不難發(fā)現(xiàn)對同一種類型的數(shù)學問題，即使做了多次后，學生還是經(jīng)常出錯·究其原因，學生習慣于做完題就了事，并不會主動考慮在應(yīng)用數(shù)學知識解決這類問題時，對解題方法、解題中反映出的數(shù)學思想作深刻的再認識，即沒有反思的習慣·筆者在執(zhí)教“基本不等式及其應(yīng)用”這節(jié)內(nèi)容時曾讓學生到黑板上展示這樣的兩道課堂練習的錯誤解法·

在學生展示錯誤的基礎(chǔ)上，教師可以引導學生自查自糾，反思錯在哪里·通過小組間合作討論，從而總結(jié)出錯誤原因，即用基本不等式求最值必須具備三個條件：一“正”、二“定”、三“相等”·對于展示1，因為0＜x＜1，故lnx＜0，所以不滿足基本不等式求最值的第一個條件“正”，解決本題必須“變負為正”·對于展示2，事實上t=中的新元“t”是有范圍的，即t≥2·注意這一細節(jié)之后發(fā)現(xiàn)用基本不等式求最值的第三個條件：三“相等”中的等號是取不到的，那么展示2的最值只能通過函數(shù)的單調(diào)性來解決了·

在解題教學中，教師對學生出現(xiàn)的錯誤解法未必每次都要及時指出，教師可以從學生錯誤的地方入手展開教學，在認知沖突中加深學生的印象，從而培養(yǎng)學生的數(shù)學思維能力·A