李崔春,孟秀云,劉藻珍

(北京理工大學(xué), 北京 100081)

考慮動(dòng)力剛化的撓性飛行器動(dòng)力學(xué)建模與仿真*

李崔春,孟秀云,劉藻珍

(北京理工大學(xué), 北京 100081)

文中以撓性飛行器的剛?cè)狁詈衔锢砟Ｐ蜑檠芯繉?duì)象,引入非慣性系中的力學(xué)問題理論,建立了考慮動(dòng)力剛化的模型,明確地闡明了動(dòng)力剛化是一種非慣性系中的力學(xué)現(xiàn)象。首先分別應(yīng)用材料力學(xué)和角動(dòng)量定理建立了兩個(gè)子系統(tǒng)的連續(xù)動(dòng)力學(xué)模型,而后基于正則約束模態(tài)的正交化結(jié)論,建立了離散動(dòng)力學(xué)模型。數(shù)值仿真結(jié)果表明,文中建立的一次動(dòng)力學(xué)模型考慮了動(dòng)力剛化,能夠準(zhǔn)確預(yù)測(cè)大角度機(jī)動(dòng)下?lián)闲燥w行器的動(dòng)力學(xué)響應(yīng),可直接用于控制器設(shè)計(jì)。

非慣性系;大角度機(jī)動(dòng);剛?cè)狁詈?動(dòng)力剛化

0 引言

隨著航空航天技術(shù)的不斷發(fā)展,帶有各種撓性附件的飛行器日益增多。以往對(duì)這類剛?cè)狁詈舷到y(tǒng)的研究多是基于傳統(tǒng)的零次模型[1-2],但當(dāng)系統(tǒng)進(jìn)行大范圍高速姿態(tài)機(jī)動(dòng)時(shí),零次耦合模型將得到附件撓性變形無限增大的結(jié)果。針對(duì)這一問題,1987年Kane[3]研究了移動(dòng)基上懸臂梁的精確動(dòng)力學(xué)建模問題,首次提出了“動(dòng)力剛化”概念,指出撓性梁的大位移旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)將引起其剛度的增加。自Kane提出動(dòng)力剛化以來,學(xué)術(shù)界給予了極大的關(guān)注[4-9]。對(duì)于此類剛?cè)狁詈舷到y(tǒng)的建模主要有兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn):一是考慮剛性運(yùn)動(dòng)與撓性變形的互耦作用,二是模型的響應(yīng)需包含動(dòng)力剛化。文中將撓性飛行器的典型物理模型(中心剛體+撓性梁結(jié)構(gòu))采用材料力學(xué)和角動(dòng)量定理分別對(duì)其兩個(gè)子系統(tǒng)進(jìn)行了建模,并對(duì)建立的模型進(jìn)行了大角度姿態(tài)機(jī)動(dòng)為已知的動(dòng)力剛化數(shù)值仿真驗(yàn)證。

1 基于非慣性系中力學(xué)問題的連續(xù)動(dòng)力學(xué)建模

文中采用的表征撓性飛行器的剛?cè)狁詈夏Ｐ腿鐖D1所示,由中心剛體(Hub)和撓性梁(Beam)組成。中心剛體相對(duì)慣性空間做定軸轉(zhuǎn)動(dòng),以懸臂方式連接撓性梁。假設(shè)撓性梁為小變形小應(yīng)變下的等截面Euler-bernoulli梁。建立空間慣性坐標(biāo)系OIXIYI,同時(shí)在撓性梁上建立浮動(dòng)坐標(biāo)系OXY,撓曲線y=y(x,t)用以描述撓性梁的橫向振動(dòng)變形,角度θ表征了中心剛體相對(duì)慣性空間的姿態(tài)運(yùn)動(dòng)。將圖1所示的剛?cè)狁詈舷到y(tǒng)分割成兩個(gè)子系統(tǒng):系統(tǒng)1為撓性梁(Beam),長(zhǎng)度為l,線密度為ρb,彈性模量為E,截面慣性矩為I。系統(tǒng)2為中心剛體(Hub),其繞轉(zhuǎn)軸OI的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為Jstar,半徑為b,受到外加的力矩Th作用。

圖1 剛?cè)狁詈舷到y(tǒng)物理模型

1.1 基于材料力學(xué)的撓性體建模

圖2所示為大角度機(jī)動(dòng)下?lián)闲粤旱臋M向變形。中心剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)使得OXY成為非慣性坐標(biāo)系,因此研究此時(shí)梁的橫向振動(dòng)變形是求解一類典型的非慣性系下的力學(xué)問題。根據(jù)材料力學(xué),撓性梁的橫向振動(dòng)位移與梁上作用的彎矩有關(guān),對(duì)應(yīng)的原理式為:

(1)

其中M(x,t)為梁上一點(diǎn)處的彎矩。根據(jù)圖2可知,梁上作用的彎矩只與梁垂直方向的分布慣性載荷有關(guān)。

圖2 中心剛體大角度機(jī)動(dòng)下?lián)闲粤旱臋M向變形

為研究梁上的垂直分布載荷,取梁上任一點(diǎn)M處的質(zhì)量微元ρbdx如圖2所示:直線tt為切線,直線nn為法線,M的坐標(biāo)為M(x,y(x,t)),設(shè)OIM的瞬時(shí)長(zhǎng)度為|OIM|=r。由于OXY相對(duì)慣性空間運(yùn)動(dòng),撓性梁將受到慣性力的作用。在圖3中,假定質(zhì)量微元M相對(duì)OXY的瞬時(shí)運(yùn)動(dòng)速率為Vr(沿OY方向),根據(jù)理論力學(xué),其上受到的慣性力如圖3所示。因此,作用于撓性梁上的外加垂直分布載荷形式為:

圖3 梁上M處的慣性力

(2)

根據(jù)圖2中所示的幾何關(guān)系,結(jié)合梁變形的小位移小角度假設(shè),同時(shí)忽略三角級(jí)數(shù)展開形式中的二次小量,簡(jiǎn)化后的外加垂直分布載荷形式如下:

(3)

將式(3)代入式(1)中,可得撓性梁橫向振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程為:

(4)

1.2 基于角動(dòng)量定理的中心剛體建模

中心剛體上影響姿態(tài)運(yùn)動(dòng)的受力如圖4所示。其中Th(t)為作動(dòng)機(jī)構(gòu)施加的外力矩,FS(0,t)和M(0,t)為撓性梁在連接處對(duì)中心剛體的反作用。根據(jù)材料力學(xué),梁上作用的剪力和彎矩的分布函數(shù)為:

(5)

圖4 中心剛體上的受力

基于式(3)和式(5),利用角動(dòng)量定理可得中心剛體的連續(xù)動(dòng)力學(xué)方程如下:

(6)

2 基于正則約束模態(tài)正交化結(jié)論的離散動(dòng)力學(xué)建模

采用前N階正則約束模態(tài)展開近似描述梁的橫向振動(dòng)變形:

(7)

(8)

基于式(8),對(duì)式(4)中撓性梁橫向振動(dòng)的連續(xù)動(dòng)力學(xué)方程進(jìn)行離散化,得到對(duì)應(yīng)的離散動(dòng)力學(xué)方程如下:

(9)

同理,得到中心剛體的離散動(dòng)力學(xué)方程為:

(RN-HN)·q=Th

(10)

3 動(dòng)力剛化的數(shù)值仿真驗(yàn)證

本節(jié)以撓性飛行器剛?cè)狁詈想x散動(dòng)力學(xué)模型為對(duì)象,對(duì)大范圍運(yùn)動(dòng)為已知時(shí)撓性梁的動(dòng)力剛化行為進(jìn)行數(shù)值仿真驗(yàn)證。參考文獻(xiàn)[8]中的系統(tǒng)參數(shù)和仿真條件。撓性梁的長(zhǎng)度l=8 m,彈性模量E=6.895 2×1010Pa,截面積A=7.296 8×10-5m2,體積密度ρ=2.766 7×103kg/m3,截面的慣性矩I=8.218 9×10-9m4;中心剛體半徑b=0.5 m,轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Jstar=300 kg·m2。設(shè)已知的大范圍運(yùn)動(dòng)規(guī)律為:

(11)

其中:ωm為機(jī)動(dòng)的終態(tài)角速度,仿真中分別取ωm為0.6 rad/s、2 rad/s和3 rad/s。圖5為式(11)定義的大范圍運(yùn)動(dòng)下,撓性梁末端的橫向振動(dòng)位移響應(yīng)。其中虛線對(duì)應(yīng)零次模型(ZDM),實(shí)線對(duì)應(yīng)一次模型(FDM)。分析梁的固有振動(dòng)頻率可知,其自由振動(dòng)的一階和二階固有頻率分別為2.91 rad/s和18.24 rad/s。

圖5 大范圍運(yùn)動(dòng)已知時(shí)撓性梁的末端位移響應(yīng)

綜上,ZDM由動(dòng)力柔化效應(yīng)主導(dǎo)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為,ωm的值越大,柔化作用越明顯。而對(duì)于FDM,即使中心剛體機(jī)動(dòng)的角速度較大,其仿真結(jié)果仍收斂,對(duì)應(yīng)了FDM的剛度矩陣保持正定的分析結(jié)論?？梢?FDM成功地將動(dòng)力剛化納入了系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)響應(yīng),符合工程實(shí)際。

4 結(jié)論

文中以中心剛體-撓性梁結(jié)構(gòu)系統(tǒng)作為撓性飛行器的物理模型,通用引入非慣性系中力學(xué)問題的處理方法,分別采用了不同的力學(xué)原理對(duì)兩個(gè)子系統(tǒng)建立了連續(xù)動(dòng)力學(xué)模型,并基于正則約束模態(tài)的正交化結(jié)論推演了系統(tǒng)模型的離散形式。文中的分系統(tǒng)建模思想成功地解決了以往文獻(xiàn)中由于使用單一動(dòng)力學(xué)原理建模引起的推演形式復(fù)雜、耦合度高等問題,大大簡(jiǎn)化了建模過程。此外,文中將動(dòng)力剛化視為非慣性系中的一種力學(xué)現(xiàn)象,將其成功地納入了系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)響應(yīng),闡明了其產(chǎn)生的力學(xué)理論背景:源自梁上分布的非慣性載荷與其撓性變形的耦合作用。數(shù)值仿真驗(yàn)證表明,文中建立的一次動(dòng)力學(xué)模型FDM考慮了動(dòng)力剛化,仿真收斂性好,能夠準(zhǔn)確的預(yù)測(cè)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)響應(yīng),可直接用于控制器的設(shè)計(jì)。

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Dynamic Modeling and Simulation for Flexible Aerocraft with Dynamic Stiffening

LI Cuichun,MENG Xiuyun,LIU Zaozhen

(Beijing Institute of Technology, Beijing 100081, China)

The rigid flexible coupling physical model of flexible aerocraft investigated in this paper. By introducing the theory of mechanics problems in a non-inertial coordinate system, the model with dynamic stiffening established, and it is clearly elucidate that, dynamic stiffening is a typical mechanics phenomenon in a non-inertial coordinate system. First, material mechanics and angular momentum principle are employed to establish continuous dynamic models of the subsystems. Then, based on the conclusions of orthogonalization of the normal constrained modes, the finite dimensional dynamic models are obtained. The numerical simulations show that, the first-order dynamic model established in this paper has considered dynamic stiffening. Thus, it could predict the dynamic responses of the flexible aerocraft with large accurately, and can be directly used in controller design.

non-inertial coordinate system; large; rigid flexible coupling; dynamic stiffening

2014-05-08

李崔春(1984-),男,河北唐山人,博士研究生,研究方向:撓性航天器的動(dòng)力學(xué)建模、仿真與控制技術(shù)研究。

V414

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