許國(guó)昌，陳 武，沈云中，江 楠，蔣春華

高斯無奇點(diǎn)衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)方程的數(shù)學(xué)推導(dǎo)
——謹(jǐn)以本文恭賀師兄歐吉坤教授七十壽辰

許國(guó)昌1，2，陳 武3，沈云中4，江 楠5，1，蔣春華1

(1.山東大學(xué) 空間科學(xué)研究院，山東 威海 264209；2.中國(guó)空間技術(shù)研究院 中國(guó)航天錢學(xué)森實(shí)驗(yàn)室，北京 100094； 3.香港理工大學(xué)，中國(guó) 香港 999077；4.同濟(jì)大學(xué) 測(cè)繪與地理信息學(xué)院，上海 200092；5.柏林工業(yè)大學(xué)，德國(guó) 柏林 10623)

本文給出高斯無奇點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方程的嚴(yán)格數(shù)學(xué)推導(dǎo)。該方程的無奇點(diǎn)特性使軌道力學(xué)中的奇點(diǎn)問題獲得了完全的解決。

天體力學(xué)；解析方法；奇點(diǎn)問題；高斯無奇點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方程；拉格朗日無奇點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方程

0 引言

牛頓在1687年首先在其著作數(shù)學(xué)原理中提出萬有引力和運(yùn)動(dòng)方程[1-5]。其后，天體力學(xué)和N體問題的理論研究主要基于拉格朗日方程和源于拉格朗日方程的高斯方程[6-10]。奇點(diǎn)問題一直是天體力學(xué)和N體問題研究中的核心問題之一[11-16]。人們?yōu)槔碚撗芯窟M(jìn)展作了很多努力[17-24]。衛(wèi)星軌道理論研究主要基于二體問題的攝動(dòng)理論[31-39]。二階攝動(dòng)理論解研究近年來有了系統(tǒng)的進(jìn)展[26-28，30]，所以奇點(diǎn)問題的解決成為迫切的需要。無奇點(diǎn)理論2012年以不定積分的解的形式提出[29]并于2013年有了以微分方程描述的版本[25]。但其公式推導(dǎo)主要是邏輯推理，2014年有了拉格朗日無奇點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方程純數(shù)學(xué)的嚴(yán)格具體的證明推導(dǎo)[40]。本文給予高斯無奇點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方程純數(shù)學(xué)的嚴(yán)格具體的證明推導(dǎo)。

1 高斯無奇點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方程的數(shù)學(xué)推導(dǎo)

拉格朗日無奇點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方程的數(shù)學(xué)推導(dǎo)已在文獻(xiàn)[40]中詳細(xì)給出。高斯運(yùn)動(dòng)方程的推導(dǎo)的基礎(chǔ)是拉格朗日運(yùn)動(dòng)方程，其推導(dǎo)可以在很多文獻(xiàn)[24-25]中找到，為了獲得優(yōu)化的推導(dǎo)公式，直接從拉格朗日無奇點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方程開始。

拉格朗日無奇點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方程[40]即Lagrange-Xu運(yùn)動(dòng)方程為

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

R對(duì)各軌道根數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)為[24]：

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

式(7)～式(12)中fa、fh、fr分別表示軌道坐標(biāo)系的攝動(dòng)力分量。軌道參數(shù)之間還有關(guān)系

(13)

rcosf=a(cosE-e)

(14)

(15)

式(13)～式(15)中E為偏近點(diǎn)角。下面我們分別將式(7)～式(15)代入無奇點(diǎn)拉格朗日運(yùn)動(dòng)方程式(1)～式(6)來推導(dǎo)高斯無奇點(diǎn)方程。

將式(12)代入式(1)，可得

(16)

將式(11)、式(12)代入式(2)得

(17)

(18)

(19)

否則，

(20)

或者表示成

(21)

將式(10)、式(11)代入式(4)得：

(22)

將式(9)代入式(5)，同理

(23)

(24)

則

(25)

(26)

(27)

(28)

(29)

(30)

(31)

(32)

式(27)～式(32)即為無奇點(diǎn)的高斯運(yùn)動(dòng)方程，亦稱無奇點(diǎn)的Gauss-Xu方程。上述推導(dǎo)數(shù)學(xué)上是嚴(yán)格的。

2 與原始高斯方程的比較

與如下原始高斯衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)方程相比[19-20，32，35，37，40]

(33)

很容易注意到原高斯方程僅適用于非奇異情形。而無奇點(diǎn)的高斯方程即Gauss-Xu方程式(27)～式(32)則一般地成立，且不存在奇異的可能性。式(27)與式(33) 的第一個(gè)方程相同，因其不會(huì)奇異。式(28)與式(30)實(shí)際上可以直接從式(33)中的第二個(gè)和第四個(gè)方程通過把奇異因子e和 sini從右側(cè)移到左側(cè)而獲得。

3 與文獻(xiàn)[25]的比較

高斯運(yùn)動(dòng)方程可作如下變形：

(34)

文獻(xiàn)[25]將高斯方程式(34)改寫成[25，29]

(35)

式(35)中，δ及其下標(biāo)表示式(34)的右邊各項(xiàng)。式(35)中的第二和第六個(gè)方程乘以e，第四個(gè)和第五個(gè)方程乘以sini，第三個(gè)方程乘以esini，有

(36)

式(36)是無奇點(diǎn)的 (n在第六個(gè)方程中被忽略)。解 (即式 (35) 的不定積分) 可用類似于[21，26-28]的方法獲得且有形式

(37)

式(37)中，右側(cè)Δy表示y的不定積分，左側(cè)Δx表示dx/dt的不定積分，x表示開普勒軌道根數(shù)。

則無奇點(diǎn)的高斯方程的解為

Δa=Δδa

Δcosi=-siniΔδi

(38)

基本高斯運(yùn)動(dòng)方程被定義為[26，40]

(39)

由式(38) 和式(39)可得

(40)

同上，分別對(duì)式 (40) 條件做進(jìn)一步的推導(dǎo)，據(jù)定義[26]

(41)

由式(41) 和 (34)，條件if(Δδω2,sini)則等價(jià)于if(δω2,sini)，

(42)

故if(Δδω2,e)的等價(jià)條件為：if(fh,sini)。

條件if(Δδω1,e)則等價(jià)于if(δω1,e)，

(43)

故if(Δδω1,e)的等價(jià)條件為：if(fa,e)∧if(fr,e)。

若if(ΔδΩ,sini)則等價(jià)于if(δΩ,sini)，

(44)

故if(ΔδΩ,sini)的等價(jià)條件為：if(fh,sini)。

若if(ΔδM2,e)則等價(jià)于if(δM2,e)

(45)

故if(ΔδM2,e)的等價(jià)條件為：if(fa,e)∧if(fr,e)

則式(40)可以寫成

(46)

式(46)與高斯無奇點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方程式(27)到式(32)除微小差別(式(46)中最后一式n被忽略)外，完全一致。

4 結(jié)束語

衛(wèi)星軌道無奇點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方程的正確性通過嚴(yán)格

的數(shù)學(xué)證明予以證實(shí)。同時(shí)高斯—許方程被以嚴(yán)格的數(shù)學(xué)方法獲得再次推導(dǎo)。

致謝：本研究受山東大學(xué)和中國(guó)空間技術(shù)研究院支持并部分地獲得山東大學(xué)學(xué)科建設(shè)經(jīng)費(fèi)和國(guó)家自然科學(xué)基金的資助。第二、三作者參與了本文有關(guān)的有價(jià)值的討論。第四、五作者分別就理論公式做了推導(dǎo)和驗(yàn)證。

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A Mathematical Derivation of Singularity-free Gaussian Equations of Planetary Motion

XUGuo-chang1，2，CHENWu3，SHENYun-zhong4，JIANGNan5，1，JIANGChun-hua1

(1.Institute of Space of Sciences Shandong University，Weihai 264209，China； 2.Qian Xuesen Laboratory，China Academy of Space Technology，Beijing 100094，China； 3.The Hong Kong Polytechnic University，Hong Kong 999077，China； 4.College of Surveying and Geo-informatics，Tongji University，Shanghai 200092，China； 5.Technical University Berlin，Berlin 10623，Germany)

An exact mathematical derivation is given for the singularity-free Gaussian equations of planetary motion.The singularity-free property of the derived equations solved the singularity problem of the orbital theory completely.

celestial mechanics；analytical method；singularity problem；singularity-free Gaussian equations of motion；singularity-free Lagrange equations of motion

許國(guó)昌,陳武, 沈云中,等.高斯無奇點(diǎn)衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)方程的數(shù)學(xué)推導(dǎo)[J].導(dǎo)航定位學(xué)報(bào),2015,3(3):05-12.(XU Guo-chang,CHEN Wu,SHEN Yun-zhong,et al.A Mathematical Derivation of Singularity-free Gaussian Equations of Planetary Motion[J].Journal of Navigation and Positioning,2015,3(3):05-12.)

10.16547/j.cnki.10-1096.20150302.

2015-05-18

國(guó)家自然科學(xué)基金(41274042)。

許國(guó)昌(1953—)，福建莆田人，博士，教授；山東大學(xué)國(guó)家特聘教授；長(zhǎng)安大學(xué)、解放軍信息工程大學(xué)兼職教授；西南交通大學(xué)榮譽(yù)教授；中國(guó)空間技術(shù)研究院國(guó)家千人特聘專家；中國(guó)航天集團(tuán)錢學(xué)森實(shí)驗(yàn)室首席科學(xué)家；德波茨坦地球科學(xué)中心資深研究員(1993年～2014年)；Springer Sciences of Geodesy主編；教育部長(zhǎng)江學(xué)者計(jì)劃海外通訊評(píng)審專家；Porto大學(xué)、柏林工業(yè)大學(xué)、德波茨坦地球科學(xué)中心及香港理工大學(xué)兼職博導(dǎo)。

P236

A

2095-4999(2015)-03-0005-08