朱自清， 吳柯銳， 侯文， 李建民， 張博川

（1.中北大學(xué)a.儀器科學(xué)與動(dòng)態(tài)測(cè)試教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，b.機(jī)械與動(dòng)力工程學(xué)院，太原030051；2.空軍駐山西地區(qū)軍事代表室，太原030024）

0 引言

滾珠絲杠副是一種高效、精密的定位傳動(dòng)部件，目前已廣泛地應(yīng)用于數(shù)控機(jī)床、航空航天、半導(dǎo)體制造等行業(yè)。滾珠絲杠副在工作過(guò)程中，由于軸向載荷的施加，使得滾珠和滾道發(fā)生彈性變形，導(dǎo)致滾珠絲杠副在換向工作的過(guò)程中會(huì)產(chǎn)生一定的滯后，在滾珠絲杠副中用空回程角來(lái)描述?？栈爻探堑拇嬖冢斐闪藵L珠絲杠副軸向定位的誤差，會(huì)對(duì)滾珠絲杠副的性能產(chǎn)生影響。之前已有相關(guān)學(xué)者對(duì)滾珠絲杠副空回程角的問(wèn)題進(jìn)行了研究，劉建佐等［1］在研究滾珠絲杠副的空回程角的問(wèn)題時(shí)，從理論上論述了空回程角的產(chǎn)生原因和影響因素，但并未推導(dǎo)出具體的計(jì)算公式；姜洪奎等［2］研究了滾珠絲杠副的彈性變形，得到了滾珠絲杠副彈性變形和各項(xiàng)參數(shù)之間的關(guān)系,但并未對(duì)空回程角和彈性變形之間的關(guān)系加以說(shuō)明。本文在現(xiàn)有研究成果的基礎(chǔ)上，通過(guò)赫茲接觸理論從理論上推導(dǎo)出空回程角的計(jì)算公式，給出了空回程角和螺旋升角、接觸角以及載荷分布系數(shù)之間的關(guān)系；最后以2004-3型滾珠絲杠副為算例，在軸向力為100 N的情況下對(duì)其空回程角進(jìn)行了理論計(jì)算，并通過(guò)和有限元分析軟件ANSYS的仿真結(jié)果進(jìn)行比照，驗(yàn)證了結(jié)論的正確性。

1 滾珠絲杠副中空回程角和螺旋升角、接觸角、載荷分布系數(shù)之間的關(guān)系

在滾珠絲杠副的工作過(guò)程中，在運(yùn)動(dòng)方向未發(fā)生改變的情況下，由于軸向力的作用，滾珠和滾道之間會(huì)發(fā)生彈性變形；當(dāng)運(yùn)動(dòng)方向突然改變時(shí)，之前所發(fā)生的彈性變形先是減小到零，然后再一次在滾珠和滾道之間發(fā)生彈性變形，在這些動(dòng)作完成之后，絲杠和螺母的運(yùn)動(dòng)才會(huì)相協(xié)調(diào)。在這個(gè)過(guò)程中所產(chǎn)生的彈性形變，正是產(chǎn)生空回程角的真正原因，所以接下來(lái)就先分析一下在換向過(guò)程中發(fā)生的彈性形變。

1.1 滾珠的受力分析

滾珠在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，主要受到沿滾道切向的摩擦力和沿滾道法向的力，而和彈性變形有關(guān)的只是法向力，所以我們?cè)谙旅娴膬?nèi)容中主要分析法向力。滾珠作為滾珠絲杠副傳動(dòng)的中間元件，各個(gè)滾珠受到的力不同，也就是說(shuō)工作載荷的分布是不均勻的，為了分析方便，假設(shè)滾珠受到的載荷是沿著螺旋滾道呈比例遞減的。設(shè)初始滾珠受到的法向載荷為P0，滾珠所承受的載荷衰減系數(shù)為α，則第i個(gè)滾珠受到的法向載荷Pi=αi-1P0。所以，總體滾珠的法向載荷與螺母受到的軸向推力Fa之間的關(guān)系為

式中：λ為螺旋升角；β為滾珠與滾道接觸角。由于α＜1，所以式（1）可寫為

1.2 滾珠和滾道發(fā)生的彈性形變

根據(jù)赫茲接觸理論，在法向載荷的作用下，滾珠和滾道的接觸處發(fā)生彈性變形（包括滾珠的變形和滾道的變形），其法向彈性變形的計(jì)算公式如下［3］：

式中，μ1、μ2及 E1、E2分別為滾珠和絲杠材料的泊松比和彈性模量；∑ρs、∑ρp分別表示螺母?jìng)?cè)和絲杠側(cè)滾道的主曲率之和；αs、αp分別為螺母?jìng)?cè)和絲杠側(cè)的載荷分布系數(shù)，Js、Jp是由赫茲接觸參數(shù)τ確定的橢圓積分。

其中，滾珠與螺母滾道接觸點(diǎn)處的4個(gè)主曲率［4］分別為

同理，滾珠與絲杠側(cè)滾道接觸點(diǎn)處的4個(gè)主曲率分別為

式中，ψ為接觸體主平面方向和接觸橢圓長(zhǎng)半軸的夾角。由于接觸體滾珠為球體，所以ρ11=ρ12，上式可簡(jiǎn)化為

因?yàn)镴為由τ確定的橢圓積分，所以在得出τ之后，通過(guò)查詢橢圓積分表［5］可得出J的值。

因?yàn)榭栈爻探堑拇嬖跁?huì)對(duì)滾珠絲杠副的軸向定位產(chǎn)生影響，所以將滾道的法向彈性位移投影到絲杠軸向上，得到絲杠的軸向彈性位移，設(shè)其值為δa，則

1.3 換向過(guò)程中產(chǎn)生的空回程角

以上分析的是在運(yùn)動(dòng)方向發(fā)生改變之前，當(dāng)運(yùn)動(dòng)方向發(fā)生改變之后，滾珠和滾道所發(fā)生的彈性變形也是δa，所以在產(chǎn)生空回的過(guò)程中，軸向彈性變形為2δa，也就是說(shuō)絲杠和螺母相對(duì)運(yùn)動(dòng)2δa之后才進(jìn)行同步的傳動(dòng)。所以在這個(gè)過(guò)程中產(chǎn)生的空回程角為

2算例

為了證明滾珠絲杠副彈性變形模型的正確性，通過(guò)理論計(jì)算和有限元仿真兩種方法對(duì)其進(jìn)行驗(yàn)證。以2004-3型滾珠絲杠副為例，其各項(xiàng)參數(shù)為：絲杠公稱直徑d0=20 mm，絲杠導(dǎo)程Ph=4 mm，滾道（雙圓弧滾道）半徑R=2.08mm，滾珠直徑Dw=2.381 mm。滾珠承載載荷的衰減系數(shù) α=0.8，載荷分布系數(shù) αs=αp=0.85，接觸角 β=45°，絲杠、滾珠和螺母的材料均為軸承鋼，絲杠和螺母的彈性模量E1=2.06×105MPa，泊松比 μ1=0.3；滾珠的彈性模量 E2=2.1×105MPa，泊松比μ2=0.3；所受的軸向力Fa=100 N。

2.1 滾珠絲杠副空回程角的理論計(jì)算結(jié)果

該型滾珠絲杠副的導(dǎo)程Ph=4 mm，所以其螺旋升角可以通過(guò)下面的公式來(lái)計(jì)算：

通過(guò)所給參數(shù)進(jìn)行計(jì)算，可得滾珠與絲杠滾道接觸點(diǎn)處的 4 個(gè)主曲率及主曲率之和為：ρ11=ρ12=839.9832m-1；ρ21=-480.769231m-1；ρ22=65.376532m-1；∑ρp=1264.573701m-1。

同理，滾珠與螺母滾道接觸點(diǎn)處的4個(gè)主曲率及主曲率之和為：ρ11=ρ12=839.983 2 m-1；ρ21=-480.769 231 m-1；ρ22=-55.224 232 m-1；∑ρp=1 143.972 937 m-1。

根據(jù)主曲率及主曲率之和的值，得出赫茲接觸參數(shù)，繼而查找橢圓積分表，得：Js=1.629 480；Jp=1.652 514。

將滾珠絲杠副的各項(xiàng)參數(shù)帶入式（13）中，得到空回程角的理論值：δa=0.33×10-4m；θ=0.103 613 rad。

2.2 滾珠絲杠副彈性變形的有限元分析

在滾珠絲杠副模型中，涉及到了滾珠和滾道的接觸，而接觸問(wèn)題作為一種邊界非線性問(wèn)題，接觸邊界隨載荷非線性變化是其難點(diǎn)，因此根據(jù)滾珠絲杠副的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，將其簡(jiǎn)化成只有單個(gè)滾珠的模型，并且選用Solid45作為它的單元類型，其他參數(shù)保持與理論計(jì)算參數(shù)一致，建立了滾珠絲杠副的有限元模型。

在建立了滾珠絲杠副的有限元接觸模型之后，對(duì)其進(jìn)行接觸對(duì)的添加。因?yàn)樵趯?shí)際工作的過(guò)程中，滾珠和滾道的接觸是點(diǎn)接觸，所以我們?cè)诮５倪^(guò)程中也選用點(diǎn)接觸。關(guān)于目標(biāo)面和接觸面的選定，我們選擇滾珠表面作為目標(biāo)面，滾道作為接觸面。建立接觸對(duì)的過(guò)程中，摩擦因數(shù)設(shè)定的是0.02。在接觸對(duì)建立好之后，對(duì)其進(jìn)行加載，給絲杠滾道的下邊線和螺母滾道的上邊線各施加一個(gè)Y方向的位移約束，防止其在受力時(shí)發(fā)生Y方向的移動(dòng)；在絲杠側(cè)和螺母?jìng)?cè)各施加100 N的恒力（此處須生成一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，便于力的施加）；對(duì)滾珠不作任何約束。然后對(duì)其進(jìn)行求解，求解完成后的結(jié)果如圖2所示。

仿真結(jié)果顯示滾珠絲杠副在受到100 N的軸向力時(shí)，由于滾珠和滾道擠壓所產(chǎn)生的彈性變形δa=0.354×10-4m，產(chǎn)生的空回程角為0.111212rad，與理論計(jì)算值0.103613rad接近，驗(yàn)證了所建立模型的正確性。

3 結(jié)論

本文利用矢量幾何學(xué)的方法，描述了滾珠絲杠副中滾珠和滾道接觸點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)；利用赫茲接觸理論，提出了滾珠絲杠副中空回程角的理論計(jì)算公式，并且利用有限元分析軟件ANSYS進(jìn)行了仿真，和理論計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，對(duì)工程實(shí)踐中空回程角的確定有一定的幫助。

［1］ 劉建佐，張成義，王向東.滾珠絲杠副空回程角研究［J］.組合機(jī)床與自動(dòng)化加工技術(shù)，2010（12）：1-4.

［2］ 姜洪奎，宋現(xiàn)春，張佐營(yíng).螺旋升角對(duì)滾珠絲杠副彈性變形的影響分析［J］.中國(guó)機(jī)械工程，2008，19（9）：1079-1083.

［3］ 宋現(xiàn)春，姜洪奎，許向榮，等.高速滾珠絲杠副彈性變形的有限元分析［J］.北京工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)，2009,35（5）：582-586.

［4］ 李凌豐，劉彩芬.滾珠絲杠副軸向變形分析［J］.中國(guó)機(jī)械工程，2011，22（7）：762-766.

［5］《橢圓積分表》編寫小組.橢圓積分表［M］.北京：機(jī)械工業(yè)出版社，1979：295.