趙明清+尚鸝+李田

摘要 在復(fù)合PoissonGeometric風(fēng)險(xiǎn)模型的基礎(chǔ)上，引入利率因素，并將保費(fèi)收入由線性過(guò)程推廣為復(fù)合Poisson過(guò)程，建立了一類(lèi)推廣的帶常利率復(fù)合PoissonGeometric風(fēng)險(xiǎn)模型，該模型描述現(xiàn)實(shí)的能力更強(qiáng)，更具有實(shí)際意義.然后，利用盈余過(guò)程的強(qiáng)馬氏性推導(dǎo)出了首個(gè)預(yù)警區(qū)的條件矩母函數(shù)所滿足的積分方程，并進(jìn)一步在保費(fèi)額和索賠額都服從指數(shù)分布的情形下得出了其解析解.

關(guān)鍵詞 預(yù)警區(qū)；復(fù)合PoissonGeometric風(fēng)險(xiǎn)模型；常利率；條件矩母函數(shù)

中圖分類(lèi)號(hào) F224.7 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼 A

AbstractOn the basis of the compound PoissonGeometric risk model， by introducing interest rate and extending the Premium income from linear to compound Poisson process， this paper set up a Generalized Compound PoissonGeometric Risk Model with Constant Interest Rate. The ability of the model to describe the realistic is more stronger. At the same time， it has more practical significance. Then taking full advantage of the strong Markov property of the surplus process， an integral differential function for the first duration of negative surplus was obtained. Finally， the explicit expression was given when the Premium and the claim were exponential distributions.

Key words duration of negative surplus； compound PoissonGeometric risk model； constant interest rate； conditional moment generating function

1引言

預(yù)警區(qū)，即負(fù)盈余所持續(xù)的時(shí)間.對(duì)預(yù)警區(qū)的研究不僅可以為保險(xiǎn)公司的財(cái)務(wù)預(yù)警系統(tǒng)提供支持，還可以為保險(xiǎn)監(jiān)管部門(mén)制定決策提供理論依據(jù).國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)此做了大量的研究.Gerber（1990）[1]針對(duì)經(jīng)典風(fēng)險(xiǎn)模型，運(yùn)用鞅方法，得出了第一個(gè)和最后一個(gè)預(yù)警區(qū)的條件矩母函數(shù)；Reis（1993）[2]在文獻(xiàn)[1]的基礎(chǔ)上，得出了各預(yù)警區(qū)及整體預(yù)警區(qū)的條件矩母函數(shù)；Dickson和Reis（1996）[3]進(jìn)一步導(dǎo)出了整體預(yù)警區(qū)的分布函數(shù)；Henrikas Pranevicius（2008）[4]在特定分布情形下還得到了各預(yù)警區(qū)的期望和方差；David C.M.Dickson（2013）[5]研究了Erlang（2）風(fēng)險(xiǎn)模型下的首達(dá)時(shí)間和預(yù)警區(qū)分布.鐘朝艷（2012）[6]研究了復(fù)合PoissonGeometric風(fēng)險(xiǎn)模型的預(yù)警區(qū)問(wèn)題，推導(dǎo)出了首個(gè)預(yù)警區(qū)的條件矩母函數(shù)所滿足的積分方程，并進(jìn)一步在索賠額服從指數(shù)分布的情形下給出了它的解析解；考慮到利率的影響，鐘朝艷（2014）[7]將常利率因素引入該模型，得到了常利率下第一個(gè)預(yù)警區(qū)的條件矩母函數(shù)所滿足的積分方程，并在索賠額服從指數(shù)分布的情形下給出其解析解.考慮到保費(fèi)收入的隨機(jī)性，張淑娜（2009）[8]將保費(fèi)收入由線性推廣到復(fù)合Poisson過(guò)程，得到了破產(chǎn)概率所滿足的積分方程，并在保費(fèi)額和索賠額都服從指數(shù)分布的情形下給出了它的解析解，但沒(méi)有考慮利率因素的影響，也沒(méi)有對(duì)預(yù)警區(qū)問(wèn)題進(jìn)行研究.

基于以上研究，在復(fù)合PoissonGeometric風(fēng)險(xiǎn)模型中引入利率因素，并將保費(fèi)收入由線性過(guò)程推廣為復(fù)合Poisson過(guò)程，建立了一類(lèi)推廣的帶常利率復(fù)合PoissonGeometric風(fēng)險(xiǎn)模型，使得模型描述現(xiàn)實(shí)的能力更強(qiáng)，更具有實(shí)際意義.然后，利用盈余過(guò)程的強(qiáng)馬氏性推導(dǎo)出了首個(gè)預(yù)警區(qū)的條件矩母函數(shù)所滿足的積分方程，并進(jìn)一步在保費(fèi)額和索賠額都服從指數(shù)分布的情形下得出了其解析解.

5結(jié)論

文中所研究的復(fù)合PoissonGeometric風(fēng)險(xiǎn)模型，不僅引入了利率因素，而且將保費(fèi)收取過(guò)程從線性過(guò)程推廣到了復(fù)合Poisson過(guò)程，因此模型更具有實(shí)際意義.還利用盈余過(guò)程的強(qiáng)馬氏性，得出了首個(gè)預(yù)警區(qū)的條件矩母函數(shù)所滿足的積分方程，當(dāng)保費(fèi)額和索賠額均服從指數(shù)分布時(shí)，進(jìn)一步給出了其解析解.在此研究的基礎(chǔ)上，還可以考慮將常利率擴(kuò)展到隨機(jī)利率情形進(jìn)行相關(guān)研究.

參考文獻(xiàn)

[1]U H GERBER.When does the surplus reach a given target[J].Insurance：Mathematics.and Economics，1990（9）：115-119.

[2]D A EGIDIO.How long is the surplus below zero [J]. Insurance：Mathematics.and Economics，1993（12）：23-38.

[3]M C DICKSON， D A EGIDIO.On the distribution of the duration of negative surplus[J].Scandinavian Actuarial Jouanal，1996（2）：148-164.

[4]H PRANEVICIUS， K SUTIENE. Modeling of the Negative Surplus in insurance[J]. Information technology and control，2008，37（2）：114-123.

[5]C DAVID.M DICKSON，Shuanming LI.The distributions of the time to reach a given level and the duration of negative surplus in the Erlang（2） risk model[J]. Insurance：Mathematics.and Economics，2013（52）：490-497.

[6]鐘朝艷.復(fù)合PoissonGeometric風(fēng)險(xiǎn)模型的預(yù)警區(qū)問(wèn)題[J].經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)，2012，29（2）：83-86.

[7]鐘朝艷.一類(lèi)常利率復(fù)合PoissonGeometric風(fēng)險(xiǎn)模型的預(yù)警區(qū)問(wèn)題[J].西南大學(xué)學(xué)報(bào)，2014，39（3）：35-40.

[8]張淑娜，陳紅燕，胡亦鈞.一類(lèi)推廣的復(fù)合PoissonGeometric風(fēng)險(xiǎn)模型破產(chǎn)概率[J].數(shù)學(xué)雜志，2009，29（4）：567-572.

[9]毛澤春，劉錦萼.免賠額和NCD賠付條件下保險(xiǎn)索賠次數(shù)的分布[J].中國(guó)管理科學(xué)，2005，13（5）：1-5.

[10]毛澤春，劉錦萼.索賠次數(shù)為復(fù)合Poisson-Geometric過(guò)程的風(fēng)險(xiǎn)模型及破產(chǎn)概率[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)， 2005，26（3）：419 -428.