郭空明 徐亞蘭

(西安電子科技大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，陜西 西安 710071)

最小勢(shì)能原理中總勢(shì)能表達(dá)式的理解

郭空明 徐亞蘭

(西安電子科技大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，陜西 西安 710071)

介紹了最小勢(shì)能的原理，就最小勢(shì)能原理中彈性體總勢(shì)能表達(dá)式的理解難點(diǎn)進(jìn)行了說(shuō)明，通過(guò)一個(gè)簡(jiǎn)單系統(tǒng)中能量的變化，著重闡述了外力勢(shì)能的含義，并得出了一些有助于深入理解彈性體總勢(shì)能的結(jié)論。

最小勢(shì)能原理，總勢(shì)能，外力勢(shì)能

1 最小勢(shì)能原理中彈性體的總勢(shì)能

最小勢(shì)能原理又稱為最小位能原理，其作為固體力學(xué)的重要能量原理，在《結(jié)構(gòu)力學(xué)》《彈性力學(xué)》等課程中均有講授，且在土建、航天等結(jié)構(gòu)領(lǐng)域存在廣泛的應(yīng)用。該原理可視為質(zhì)點(diǎn)與剛體系的拉格朗日—狄利克雷定理在彈性體中的推廣，其中的總勢(shì)能表達(dá)式定義為彈性體應(yīng)變能U與外力勢(shì)能V之和：

∏=U+V

(1)

代表彈性體內(nèi)儲(chǔ)存的應(yīng)變能，該表達(dá)式并不存在理解困難。下面討論外力的勢(shì)能，為簡(jiǎn)單起見，假設(shè)彈性體只受集中力作用，則外力的勢(shì)能定義為集中力與其作用點(diǎn)位移乘積的負(fù)值：

V=-PTΔ

(2)

根據(jù)該定義，一些教材將外力勢(shì)能闡述為外力做功的負(fù)值，但這就與克拉皮隆定理產(chǎn)生了矛盾。在克拉皮隆定理中，規(guī)定外力從零開始緩慢加載，因此外力做功為集中力大小與其作用點(diǎn)位移乘積的一半，且全部轉(zhuǎn)化為彈性體的應(yīng)變能。而且，運(yùn)用式(1)進(jìn)行總勢(shì)能計(jì)算時(shí)，往往會(huì)得到總勢(shì)能為負(fù)值的情況。由于加載前系統(tǒng)的總勢(shì)能為零，那么如何從能量轉(zhuǎn)換觀點(diǎn)對(duì)總勢(shì)能表達(dá)式進(jìn)行理解，是一個(gè)難點(diǎn)。由于大部分教材并未對(duì)該表達(dá)式進(jìn)行深入說(shuō)明和分析，許多初學(xué)者對(duì)此往往感到困惑。學(xué)術(shù)界也存在廣泛的爭(zhēng)議，如一些學(xué)者認(rèn)為外力的做功為虛功，而一些學(xué)者認(rèn)為，該表達(dá)式中的總勢(shì)能并不是真實(shí)的總勢(shì)能。

由于彈簧質(zhì)量系統(tǒng)可以看作最簡(jiǎn)單的彈性系統(tǒng)，為了說(shuō)明問(wèn)題，下文以一個(gè)彈簧質(zhì)量系統(tǒng)為例，分別對(duì)于無(wú)限緩慢加載和常力加載兩種情況，分析系統(tǒng)變形和恢復(fù)過(guò)程中能量和做功的問(wèn)題，指出：式(1)中的外力勢(shì)能確實(shí)是外力做功的負(fù)值，但此時(shí)的外力做功大小并非加載時(shí)所做的功，而應(yīng)是變形恢復(fù)時(shí)外力所做負(fù)功的絕對(duì)值，前者在數(shù)值上是后者的一半。而最小勢(shì)能原理中的總勢(shì)能確實(shí)代表了彈性體真實(shí)的總勢(shì)能。

2 無(wú)限緩慢加載的彈簧—質(zhì)量系統(tǒng)

對(duì)于真實(shí)的彈性體，由于慣性的存在，導(dǎo)致載荷不僅會(huì)改變系統(tǒng)的彈性勢(shì)能，也會(huì)改變系統(tǒng)的動(dòng)能。因此在靜力學(xué)教材中，都規(guī)定載荷必須無(wú)限緩慢地從零增加?？紤]無(wú)阻尼彈簧質(zhì)量系統(tǒng)，其中彈簧的剛度為k。當(dāng)系統(tǒng)不受外力作用處于平衡時(shí)，令系統(tǒng)受到一個(gè)從零緩慢變化至F的外力，這樣，系統(tǒng)可以認(rèn)為是準(zhǔn)靜態(tài)變化的，系統(tǒng)達(dá)到最終平衡狀態(tài)時(shí)將不具有動(dòng)能。由于不考慮阻尼，過(guò)程中并沒(méi)有能量損耗。顯然系統(tǒng)達(dá)到最終平衡時(shí)彈簧的變形量為Δ=F/k，則系統(tǒng)的應(yīng)變能為：

而外力所做的功為：

由上式可知應(yīng)變能完全等于外力做功，此時(shí)外力在彈性體變形階段所做的功為力與位移乘積的一半，完全轉(zhuǎn)化為系統(tǒng)的應(yīng)變能。

而根據(jù)最小勢(shì)能原理的定義，靜平衡時(shí)系統(tǒng)的總勢(shì)能為：

(3)

從總勢(shì)能的數(shù)值可以看出，存在兩個(gè)問(wèn)題，首先，系統(tǒng)的總能量似乎“不守恒”，加載前，系統(tǒng)的動(dòng)能與勢(shì)能之和顯然為零；加載后，系統(tǒng)動(dòng)能仍然為零，而勢(shì)能變成了負(fù)值，動(dòng)能和勢(shì)能之和也成為負(fù)值。其次，此時(shí)的外力勢(shì)能并不等于外力加載時(shí)所做的功，而是其2倍。

要理解這些問(wèn)題，首先要考慮力學(xué)中勢(shì)能的定義。按照力學(xué)的一般說(shuō)法，任何一個(gè)實(shí)際狀態(tài)的彈性系統(tǒng)的總勢(shì)能，等于這個(gè)系統(tǒng)從該實(shí)際狀態(tài)運(yùn)動(dòng)到某一參考狀態(tài)(通常取彈性體無(wú)形變的狀態(tài)作為參考狀態(tài))時(shí)所有作用力所做的功。

彈性系統(tǒng)的作用力包括外力和內(nèi)力，內(nèi)力勢(shì)能就是應(yīng)變能U，因?yàn)闊o(wú)論加載還是卸載，應(yīng)力總是和應(yīng)變同方向的，所以應(yīng)變能是正值。而且無(wú)論加載還是卸載時(shí)，應(yīng)力都與應(yīng)變成正比，無(wú)形變時(shí)應(yīng)力為零，因此應(yīng)變能表達(dá)式前有系數(shù)1/2。而外力勢(shì)能是結(jié)構(gòu)從實(shí)際位置恢復(fù)到它的初始狀態(tài)(未變形狀態(tài))時(shí)，外力所做的功。雖然加載方式考慮了緩慢加載，但變形后外力的大小就不再隨變形量發(fā)生變化，因此恢復(fù)變形時(shí)，外力所做的功為外力大小與變形量乘積一半的負(fù)值，沒(méi)有系數(shù)1/2。

下面具體針對(duì)彈簧質(zhì)量系統(tǒng)的問(wèn)題展開討論。顯然，矛盾來(lái)源于加載和恢復(fù)變形時(shí)外力性質(zhì)的改變。加載時(shí)，外力是從零緩慢改變至F，而為了計(jì)算系統(tǒng)總勢(shì)能而考慮系統(tǒng)的恢復(fù)變形過(guò)程時(shí)，外力的大小卻始終為F保持不變。所以加載和卸載時(shí)外力做功的大小并不相同。實(shí)際上，雖然對(duì)于加載和恢復(fù)變形這兩個(gè)過(guò)程每一個(gè)過(guò)程而言，系統(tǒng)的外力都是保守力，但是兩個(gè)過(guò)程中的力場(chǎng)是不同的，因此不宜將兩者納入同一體系研究能量的變化。

為了更好地說(shuō)明問(wèn)題，下面考慮加載和恢復(fù)變形時(shí)力場(chǎng)相同的情況。

3 以常力加載的彈簧—質(zhì)量系統(tǒng)

考慮彈簧—質(zhì)量系統(tǒng)初始狀態(tài)彈簧變形量為零，質(zhì)量塊也沒(méi)有速度的情況下，系統(tǒng)受到一個(gè)大小為F的突加載荷。在這種情況下，彈簧在靜平衡位置的變形量仍然為Δ=F/k，但是與無(wú)限緩慢加載的情況不同，當(dāng)彈簧達(dá)到靜平衡位置時(shí)外力做功大于系統(tǒng)的應(yīng)變能，多余的能量轉(zhuǎn)化為系統(tǒng)的動(dòng)能T。靜平衡狀態(tài)時(shí)系統(tǒng)的應(yīng)變能為：

而外力所做的功為：

多余的能量轉(zhuǎn)化為系統(tǒng)的動(dòng)能，為：

而此時(shí)靜平衡狀態(tài)時(shí)系統(tǒng)的總勢(shì)能仍然為：

但此時(shí)存在動(dòng)能，因此總能量為：

E=T+∏=0。

由于真實(shí)系統(tǒng)存在阻尼，動(dòng)能會(huì)逐漸衰減為零，最終系統(tǒng)將在靜平衡狀態(tài)取得平衡?？梢钥闯觯谧冃魏突謴?fù)變形過(guò)程中，力場(chǎng)均為恒定力場(chǎng)的情況下，能量的守恒是顯而易見的，加載前以及達(dá)到靜平衡位置后的總能量均為零，而且外力的勢(shì)能大小既等于加載時(shí)外力所做功，也等于卸載時(shí)外力所做功。實(shí)際上，只要加載和卸載時(shí)，力場(chǎng)的特性保持一致，均不會(huì)出現(xiàn)理解上的問(wèn)題。對(duì)于無(wú)限緩慢加載的情況，若卸載時(shí)的外力也隨著變形量與加載時(shí)保持相同的變化，也不會(huì)出現(xiàn)理解的矛盾。

4 結(jié)語(yǔ)

大部分靜力學(xué)教材為了使知識(shí)體系完全處在靜力學(xué)框架中，均認(rèn)為外力的加載是無(wú)限緩慢的，而加載達(dá)到平衡狀態(tài)后，外力大小保持不變。這就造成了加載和恢復(fù)變形兩個(gè)過(guò)程中力場(chǎng)不一致的情況，從而導(dǎo)致了理解上的難度。本文通過(guò)一個(gè)最簡(jiǎn)單的例子分析了這一點(diǎn)，指出在靜力學(xué)教材中最小勢(shì)能原理中彈性體總勢(shì)能的表達(dá)式中，外力勢(shì)能應(yīng)理解為恢復(fù)變形時(shí)外力所做的負(fù)功，因此并不是虛功。而總勢(shì)能也確實(shí)代表了彈性體真實(shí)的總勢(shì)能。

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On understanding of total potential energy formula based on principle of minimum potential energy

Guo Kongming Xu Yalan

(SchoolofMechatronicEngineering,XidianUniversity,Xi’an710071,China)

The paper introduces the principle of the minimum potential energy, indicates the difficulties in understanding the elastic total energy formula in the principle of the minimum potential energy, illustrates the concept of the external force potential energy according to the energy changes in the simple system, and concludes the deeper understanding of the elastic total potential energy.

minimum potential energy, total potential energy, external force potential energy

2015-06-27

郭空明(1985- )，男，講師； 徐亞蘭(1971- )，女，副教授

1009-6825(2015)25-0244-02

TU311

A