張 穎，胡紹海，劉帥奇，孫宇恒

(北京交通大學(xué) 信息科學(xué)研究所，北京 100044)

基于分裂Bregman算法的單幀運(yùn)動(dòng)圖像盲去模糊

張 穎，胡紹海，劉帥奇，孫宇恒

(北京交通大學(xué) 信息科學(xué)研究所，北京 100044)

提出一種基于分裂Bregman算法的單幀運(yùn)動(dòng)圖像盲去模糊方法，該算法分為模糊核估計(jì)和圖像復(fù)原兩個(gè)階段。在估計(jì)模糊核時(shí)，首先利用雙邊濾波器去除圖像中的噪聲，再采用改進(jìn)的沖激濾波器對(duì)圖像進(jìn)行邊緣增強(qiáng)，選取有用的邊緣信息估計(jì)模糊核，并對(duì)估計(jì)出的模糊核進(jìn)行修正，從而得到高質(zhì)量的模糊核。圖像復(fù)原階段，利用分裂Bregman算法交替迭代得到去模糊后的圖像。該算法具有降噪和邊緣增強(qiáng)的功能，并能保持圖像總變分不變，使圖像復(fù)原效果更好且計(jì)算時(shí)間有大幅降低。

盲去運(yùn)動(dòng)模糊；圖像邊緣；沖激濾波器；模糊核修正；分裂Bregman迭代

近年來，圖像去模糊一直是數(shù)字圖像處理領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)，按照模糊核性質(zhì)可將圖像去模糊分為盲去模糊和非盲去模糊兩類。盲去模糊就是在模糊核未知的情況下恢復(fù)出清晰的圖像，在這種情況下，除了采集到的模糊圖像，沒有其他任何輔助信息。非盲去模糊是在模糊核已知的情況下恢復(fù)出清晰的原始圖像。相對(duì)于非盲去模糊，盲去模糊更受青睞，特別是單幀圖像盲去運(yùn)動(dòng)模糊更是具有很高的實(shí)用價(jià)值和科研價(jià)值。

2006年Fergus提出利用圖像先驗(yàn)知識(shí)進(jìn)行盲去運(yùn)動(dòng)模糊之后，圖像去運(yùn)動(dòng)模糊的效果取得很大提高[1]。根據(jù)自然圖像的梯度符合重尾分布的特性，采用混合高斯分布擬合該分布，最后通過變分貝葉斯算法估計(jì)出模糊核和清晰圖像。該算法振鈴效應(yīng)明顯且計(jì)算量大。在文獻(xiàn)[2]中，Shan針對(duì)混合高斯概率分布擬合重尾分布速度較慢的缺點(diǎn)，提出了利用分段函數(shù)來擬合該分布的思想，該算法可抑制振鈴現(xiàn)象的產(chǎn)生，但計(jì)算量大、運(yùn)行速度慢。Cho提出快速去運(yùn)動(dòng)模糊算法[3]，選取有用的邊緣信息來估計(jì)模糊核，并充分利用多尺度圖像復(fù)原思想。該算法能夠充分利用圖像信息，估計(jì)的模糊核精度較高。但是，如果當(dāng)圖像中存在大量的細(xì)節(jié)部分時(shí)，會(huì)影響算法的效果。

因此，本文采用一種改進(jìn)的沖激濾波器對(duì)圖像進(jìn)行邊緣增強(qiáng)，該沖激濾波器具備降噪和邊緣增強(qiáng)的功能，并能保持圖像總變分不變，信號(hào)能量不會(huì)隨著時(shí)間流逝而被削弱。然后對(duì)增強(qiáng)的圖像邊緣建立梯度篩選準(zhǔn)則，選取有用的邊緣信息來估計(jì)模糊核，并對(duì)估計(jì)出的模糊核進(jìn)行修正，從而得到高質(zhì)量的模糊核。最后，本文采用基于分裂Bregman算法的圖像反卷積方法得到清晰圖像，提高圖像去模糊算法的速度。

1 模糊核估計(jì)

圖像的運(yùn)動(dòng)模糊過程可以通過以下模型表示

B=K?L+N

(1)

式中：B表示模糊圖像；K表示運(yùn)動(dòng)模糊核，即點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)PSF(Point Spread Function)；L表示原始清晰圖像；N表示噪聲。在圖像去模糊過程中，已知的變量為B，需要估計(jì)的未知變量為K和L，可見未知變量的個(gè)數(shù)超過已知變量的個(gè)數(shù)，因此圖像去模糊過程是一個(gè)病態(tài)問題。

在一般的去模糊算法中，先提取有用的圖像邊緣進(jìn)行模糊核估計(jì)，然后通過去模糊算法對(duì)圖像進(jìn)行圖像復(fù)原。由于盲去運(yùn)動(dòng)模糊過程對(duì)噪聲極其敏感，即使很小的噪聲也會(huì)嚴(yán)重影響圖像復(fù)原的效果。因此，得到精確的模糊核來估計(jì)出清晰圖像的兩個(gè)前提是：恢復(fù)突出的邊緣和噪聲抑制。本文通過改進(jìn)這兩個(gè)方面得到一種新的圖像去模糊算法。

1.1 圖像邊緣提取及選擇

由于圖像復(fù)原過程對(duì)噪聲極其敏感，即使很小的噪聲也會(huì)嚴(yán)重影響圖像復(fù)原的效果。本文采用雙邊濾波器[4]，能在降低圖像噪聲的同時(shí)保持圖像邊緣。雙邊濾波器公式為

(2)

式中：Ix表示雙邊濾波器處理結(jié)果；k為歸一化因子；L表示模糊圖像；x表示目標(biāo)像素點(diǎn)；Ω是以x為中心的鄰域；ξ表示鄰域像素點(diǎn)；f函數(shù)表示x與ξ兩個(gè)像素之間的空間距離；g函數(shù)表示像素值之間的相似程度。

雙邊濾波器綜合像素間的距離與像素間差值來計(jì)算權(quán)重。在該濾波器中，像素間距離越遠(yuǎn)，像素值大小相差越大，權(quán)重就會(huì)越小，該像素點(diǎn)對(duì)目標(biāo)像素點(diǎn)的影響就越小。因此在圖像邊緣處，所含的高頻能量較高，邊緣內(nèi)外的像素差值較大，導(dǎo)致權(quán)重較小(見圖1a)，這有效地避免了邊緣被外部鄰近像素干擾。圖1b為噪聲干擾的信號(hào)邊緣，圖1c為雙邊濾波器處理后的信號(hào)邊緣，可直觀看出雙邊濾波器在降低噪聲的同時(shí)保持邊緣特征。

本文采用改進(jìn)的沖激濾波器對(duì)模糊圖像進(jìn)行邊緣增強(qiáng)，使沖激濾波器具備降噪和邊緣增強(qiáng)的同時(shí)，還能保持圖像總變分不變[5]，信號(hào)能量不會(huì)隨著時(shí)間流逝而被削弱。首先，Osher[6]提出沖激濾波器的原型，它的數(shù)學(xué)模型為

(3)

本文改進(jìn)的沖激濾波器模型為

(4)

圖1 雙邊濾波器的示意圖

在處理初始階段，信號(hào)所含的噪聲比較強(qiáng)烈，此時(shí)時(shí)間較小，濾波器主要表現(xiàn)為降噪能力，因此通過結(jié)合時(shí)間因素可以達(dá)到降噪與邊緣增強(qiáng)的目的。隨著時(shí)間的流逝，沖激濾波器的權(quán)重逐漸增大，最終達(dá)到增強(qiáng)圖像邊緣的目的。

當(dāng)模糊核尺度過大時(shí)，圖像中某些突出邊緣會(huì)不利于模糊核估計(jì)，因此要選取有用的邊緣來進(jìn)行模糊核估計(jì)是非常重要的。設(shè)置選取準(zhǔn)則[2]為

(5)

式中：B表示模糊圖像；Nh(x)表示以像素x為中心的h×h的窗口；B是梯度，因此在平坦位置，B(y)值很小，在尖峰位置，B(y)值有正有負(fù)，在計(jì)算公式的分子部分時(shí)，B(y)值會(huì)有很大的抵消。因此，r值較小時(shí)代表此處是平坦區(qū)域或者尖峰。

為了去掉圖像中的噪聲，最終選擇的圖像邊緣為

1.2 模糊核估計(jì)

根據(jù)式(1)模糊圖像的退化過程，可以推導(dǎo)出清晰圖像邊緣與模糊圖像邊緣存在類似的退化過程，如式(7)，利用上文提取到的圖像邊緣Ls作為圖像先驗(yàn)知識(shí)，并用K的L1范數(shù)作為正則項(xiàng)來抑制模糊核中的噪聲，構(gòu)造如下目標(biāo)函數(shù)式(8)來估計(jì)模糊核

(7)

(8)

式中：‖K?Ls-B‖2表示數(shù)據(jù)匹配項(xiàng)，它要求邊緣退化的前后差異最小；‖K‖2表示模糊核高斯正則項(xiàng)；η是正則化因子。由于該目標(biāo)函數(shù)中采用高斯正則項(xiàng)進(jìn)行擬合，所以該目標(biāo)函數(shù)是一個(gè)凸函數(shù)，其一定存在一個(gè)閉合的解，且可通過最小化目標(biāo)函數(shù)來求得。

由于目標(biāo)函數(shù)中的變量都是矩陣，所以可用如下方程式重新表達(dá)

f(K)=‖K?Ls-B‖T‖K?Ls-B‖+ηKTK

(9)

對(duì)式(9)兩邊求偏導(dǎo)，可得

(10)

(11)

運(yùn)用快速傅里葉變化(FFT)技術(shù)，將矩陣的空間卷積運(yùn)算轉(zhuǎn)化到頻率域的點(diǎn)乘運(yùn)算，以此可大大地降低計(jì)算量。

(12)

1.3 模糊核修正

由于噪聲的干擾，估計(jì)出的模糊核K不是很精確，也同樣充滿了噪聲。因此需要根據(jù)模糊核的特性對(duì)模糊核進(jìn)行修正，使模糊核更加精確，從而能夠復(fù)原出更好的圖像。

1)針對(duì)模糊核的非負(fù)特性，將剔除模糊核K中過小的元素以及負(fù)值。定義模糊核最小元素值的閾值Tk如下

(13)

式中：max(K)表示模糊核K中最大元素值；d表示最大元素與最小元素的倍數(shù)關(guān)系，噪聲越高，該值也應(yīng)越大，從而保留更多的模糊核元素。最后將模糊核小于閾值Tk的元素置零來保證PSF的非負(fù)性，并降低模糊核的噪聲。

2)針對(duì)模糊核的能量守恒特性，最后需要對(duì)模糊核進(jìn)行正規(guī)化，使元素和等于1。

圖2為2組模糊核的修正效果?？煽闯鲞\(yùn)用本節(jié)方法，可以最大程度降低模糊核噪聲，并保留模糊核最主要的結(jié)構(gòu)，其更接近真實(shí)的模糊核。

圖2 運(yùn)動(dòng)模糊核的修正過程

2 盲去模糊算法

估計(jì)出模糊核之后，即可用非盲反卷積的方法估計(jì)出清晰圖像。在圖像去模糊時(shí)常把邊緣統(tǒng)計(jì)特性作為一個(gè)正則化項(xiàng)，從而把反卷積問題轉(zhuǎn)化為適定問題。由于邊緣分布往往比較復(fù)雜，如何有效地對(duì)邊緣統(tǒng)計(jì)特性進(jìn)行精確建模以及如何對(duì)該問題進(jìn)行優(yōu)化是該類方法的難點(diǎn)。運(yùn)用自然圖像邊緣分布的圖像反卷積算法，通常可以用以下數(shù)學(xué)模型表示

(14)

式中：D表示一階有限差分算子；‖DL‖1表示TV正則項(xiàng)，可看作是圖像L梯度的L1范數(shù)。

可用分裂Bregman算法[7]解決這類問題，首先引入一個(gè)輔助變量及其二次懲罰泛函，把去模糊優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)等價(jià)的無約束優(yōu)化問題，然后利用Bregman算法將其分解為兩個(gè)子優(yōu)化問題，并采用交替迭代最小化方法進(jìn)行求解。

首先，引入輔助變量G代替DL，公式(17)轉(zhuǎn)化為關(guān)于L和G的約束優(yōu)化模型

(15)

增加變量L和G的二次懲罰項(xiàng)，得到與式(15)對(duì)應(yīng)的無約束優(yōu)化模型

(16)

利用Bregman算法，可將式(16)分解成兩個(gè)子優(yōu)化問題來求解

(17)

(18)

根據(jù)分裂Bregman算法，為了解決式(17)、式(18)兩個(gè)子優(yōu)化問題，可以利用交替最小化方法來交替求解，在每次迭代過程中，式(17)、式(18)轉(zhuǎn)化為方程為

(19)

(20)

式中：g=DL+b，由于本文去模糊算法的圖像邊界條件設(shè)為周期型邊界；K和D都是塊循環(huán)矩陣，因此式可利用FFTs簡(jiǎn)化計(jì)算式(19)、式(20)。

3 實(shí)驗(yàn)

本實(shí)驗(yàn)針對(duì)真實(shí)的運(yùn)動(dòng)模糊圖像進(jìn)行處理，實(shí)現(xiàn)真正意義的盲去運(yùn)動(dòng)模糊。在模糊核估計(jì)過程中，參數(shù)μ設(shè)置為2e+3。為證明本文算法的有效性，選取了3幅真實(shí)運(yùn)動(dòng)模糊圖像，圖3和圖4是本文算法的處理結(jié)果，在圖5中，將本文算法與當(dāng)前對(duì)去除運(yùn)動(dòng)模糊效果較好的兩種算法進(jìn)行對(duì)比，來進(jìn)行盲復(fù)原實(shí)驗(yàn)。

圖3 去運(yùn)動(dòng)模糊算法結(jié)果

圖4 去運(yùn)動(dòng)模糊算法結(jié)果

從結(jié)果對(duì)比可看出，對(duì)兩組真實(shí)模糊圖像的復(fù)原效果，本文算法復(fù)原效果明顯優(yōu)于Fergus[1]和Cho[3]的復(fù)原效果，且本文算法能夠很好地恢復(fù)圖像中的細(xì)節(jié)部分，估計(jì)出的模糊核符合運(yùn)動(dòng)模糊相機(jī)軌跡的特征，達(dá)到了運(yùn)動(dòng)去模糊的效果。

4 結(jié)束語

本文提出一種基于分裂Bregman方法的單幀運(yùn)動(dòng)圖像盲去模糊方法。利用雙邊濾波器及改進(jìn)的沖激濾波器選取有用的圖像邊緣信息估計(jì)模糊核，并對(duì)估計(jì)出的模糊核進(jìn)行修正，之后利用分裂Bregman方法交替迭代得到清晰圖像。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，該算法能有效消除圖像的運(yùn)動(dòng)模糊且運(yùn)行速度較快，證明了該算法的有效性。另外，算法存在振鈴效應(yīng)明顯的缺陷，所以未來的工作將著重于振鈴效應(yīng)的消除，以及圖像紋理細(xì)節(jié)的處理。

圖5 去運(yùn)動(dòng)模糊算法結(jié)果對(duì)比

[1]FERGUS R，SINGH B，HERTZMANN A，et al. Removing camera shake from a single photograph[C]//Proc. ACM Trans. Graphics(TOG).[S.l.]：ACM Press，2006：787-794.

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[3]CHO S，LEE S. Fast motion deblurring[C]//Proc. ACM Trans. Graphics(TOG). [S.l.]：ACM Press，2009：145.

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[6]OSHER S，RUDIN L. Feature-oriented image enhancement using shock filters[J]. SIAM Journal on Numerical Analysis，1990，27(4)：919-940.

[7]OSHER S，BURGER M，GOLDFARB D，et al. An iterative regularization method for total variation-based image restoration[J]. Multiscale Modeling & Simulation，2005(2)：460-489.

張 穎(1988— )，女，碩士生，主研信息處理；

胡紹海(1964— )，博士，教授，主研智能信息處理；

劉帥奇(1986— )，博士生，主研智能信息處理；

孫宇恒(1989— )，碩士生，主研模式識(shí)別。

責(zé)任編輯：時(shí) 雯

Single Image Blind Motion Deblurring with Split Bregman Method

ZHANG Ying，HU Shaohai，LIU Shuaiqi，SUN Yuheng

(InstituteofInformationScience，BeijingJiaotongUniversity，Beijing100044，China)

A single image motion deblurring algorithm based on split Bregman method is proposed in this paper. It is divided into two stages，blur kernel estimation and image restoration. When estimating blur kernel， bilateral filter is used to do image denoising，and then improved shock filter is chosen for edge enhancement. After selecting useful edges and fine-tuning， a high-quality blur kernel is obtained. When image restoration，a clean image can be obtained using iterated split Bregman approach. This algorithm has the effect of image denosing and edge enhancement，at the same time of keeping total-variation unchanged. Experimental results show that this algorithm has better visual effect than other exiting algorithms， and computation time is greatly reduced.

blind motion deblur；image edge；shock filter；amend the kernel；split Bregman iteration

TN911.73；TP391

A

10.16280/j.videoe.2015.01.001

2014-02-18

【本文獻(xiàn)信息】張穎，胡紹海，劉帥奇,等.基于分裂Bregman算法的單幀運(yùn)動(dòng)圖像盲去模糊[J].電視技術(shù),2015，39(1).