王清娟

(福州大學(xué)陽光學(xué)院基礎(chǔ)教研部， 福建 福州 350015)

兩種群都有收獲率的Holling-Ⅳ型系統(tǒng)的定性分析

王清娟

(福州大學(xué)陽光學(xué)院基礎(chǔ)教研部， 福建 福州 350015)

研究了一類捕食者種群和食餌種群都有非常數(shù)收獲率的Holling-Ⅳ型系統(tǒng)，分析該系統(tǒng)的平衡點性態(tài),討論極限環(huán)的不存在性、存在性條件.

Holling-Ⅳ型功能反應(yīng);定性分析;平衡點;極限環(huán)

(1)

(2)

近年來,許多學(xué)者研究Holling-Ⅳ型系統(tǒng),取得很好的結(jié)論[4-6].文獻[6]研究下列系統(tǒng):

(3)

(4)

(5)

其中b0=a-q1E>0,b1=d+q1E>0.

1 平衡點的性態(tài)分析

根據(jù)系統(tǒng)(5)知:該系統(tǒng)的平衡點有3種情況:

顯然,O(0,0)總為系統(tǒng)的平衡點.

令p(x)=b0-bx-cx2,則

p′(x)=-b-2cx<0(x>0)；

且p(x)=0有兩個不相等的實根:

令q(x)=-b1x4+k2x2-βb1,則:

當(dāng)k22-4βb12< 0時,q(x)=0無實根;

當(dāng)k22-4βb12= 0時,q(x)=0有唯一正根:

當(dāng)k22-4βb12> 0時,q(x)=0有兩個正根:

于是系統(tǒng)(5)可寫為:

(6)

則系統(tǒng)(6)的平衡點對應(yīng)的Jacobian矩陣為:

定理1 (Ⅰ) 平衡點O(0,0)總為鞍點.

(Ⅳ)若k22-4βb12> 0,則

1)當(dāng)x2

2)當(dāng)x30)時,C(x3,y3)為穩(wěn)定(不穩(wěn)定)的焦點或結(jié)點.

3)當(dāng)x30)時,C(x3,y3)為穩(wěn)定(不穩(wěn)定)的焦點或結(jié)點.D(x4,y4)為鞍點.其中：

k2=b1(x32+x42),β=x32x42,

yi= (β+xi4)p(xi)(i=3,4),

證明 (Ⅰ)系統(tǒng)在O(0,0)的Jacobian矩陣

其中p(0)=b0>0,q(0)=-βb1<0.則

所以O(shè)(0,0)為鞍點.

(Ⅱ)若k22-4βb12< 0,則系統(tǒng)在A(x2,0)處的Jacobian矩陣

其中p′(x2)<0,q(x2)<0，則

所以A(x2,0)為穩(wěn)定的結(jié)點.

p(x0)>0,y0>0,q(x0)=0,

q′(x0) = -4b1x03+ 2k2x0= 0,

故B(x0,y0)為正平衡點.

系統(tǒng)在B(x0,y0)處的Jacobian矩陣

顯然DB=0,所以B(x0,y0)為高次奇點.

(Ⅳ)若k22-4βb12> 0,則

1)當(dāng)x2

2)當(dāng)x3

y3>0,y4<0,p′(x2)<0,q(x2)>0,

故系統(tǒng)僅有一正平衡點:C(x3,y3).

此時對于平衡點A(x2,0),有

所以A(x2,0)為鞍點.

系統(tǒng)在C(x3,y3)處的Jacobian矩陣

則

又

所以DC>0,于是當(dāng)TC<0(>0)時,C(x3,y3)為穩(wěn)定(不穩(wěn)定)的焦點或結(jié)點.

3)當(dāng)x3

p(xi)>0,yi>0,(i=3,4).

故系統(tǒng)有兩個正平衡點:C(x3,y3)與D(x4,y4).其中A(x2,0)是穩(wěn)定的結(jié)點,證明同(Ⅱ);C(x3,y3)的性態(tài)同(Ⅳ)中的2).

系統(tǒng)在D(x4,y4)處的Jacobian矩陣

因為

故

所以D(x4,y4)為鞍點.證畢.

2 極限環(huán)的不存在性、存在性

定理2 當(dāng)系統(tǒng)(5)滿足下列條件之一時:

則該系統(tǒng)在第一象限內(nèi)不存在任何閉軌線.

證明 (1)取Dulac函數(shù)B(x,y)=x-1y-1,則

令

m(x)=-6cx5-5bx4+4b0x3-2βcx-βb,

則

m′(x)=-30cx4-20bx3+12b0x2-2βc,

m″(x)=-12x(10cx2+5bx-2b0).

令g(x)=10cx2+5bx-2b0,則g(x)=0有一正根:

當(dāng)0

g(x)<0,m″(x)>0;

當(dāng)x>K時,有

g(x)>0,m″(x)<0.

定理3 若k22-4βb12> 0,x30,則系統(tǒng)(5)至少存在一個穩(wěn)定的極限環(huán).其中

yB= [(b0-bx3-cx32)(β+x24) + 2k2x22]

yC>yB,

yB-y3= (b0-bx3-cx32)(x24-x34) + 2k2x22

又

x3 0,

xy(-b1x4+k2x2-βb1)

[1]匡奕群,邱梅青. 具常數(shù)存放的非線性功能反應(yīng)捕食模型的定性分析[J]. 數(shù)學(xué)的實踐與認識,2007,37(15):104-109.

[3]王萬雄,段永紅,曹薇. 兩種群都有收獲率的HollingⅢ類模型的定性分析[J]. 生物數(shù)學(xué)學(xué)報,2009,24(6):674-680.

[4]RuanShigui,XiaoDongmei.Globalanalysisinapredator-preysystemwithnonmonotonicfunctionalresponse[J].SIAMJournalonAppliedMathematics, 2001, 61:1445-1472.

[5]王繼華,曾憲武. 一類具有簡化Holling-Ⅳ類功能反應(yīng)的捕食-食餌模型的定性分析[J]. 數(shù)學(xué)雜志,2004, 24(6):701-705.

[6]張敬,蘆雪娟,何延治. 一類具有Holling-Ⅳ型功能性反應(yīng)捕食模型的定性分析[J].延邊大學(xué)學(xué)報, 2013, 39(2):93-96.

[7]羅定軍,張祥,董梅芳. 動力系統(tǒng)的定性與分支理論[M].北京: 科學(xué)出版社, 2001: 95-100.

(責(zé)任編輯 穆 剛)

Qualitative analysis of a predator-prey system with harvesting rate under Holling-Ⅳ functional response

WANG Qingjuan

(FoundationDepartment,SunshineCollege，F(xiàn)uzhouUniversity,FuzhouFujian350015，China)

A predator-prey system with non-constant harvesting rate under Holling-Ⅳ functional response is investigated. The system’s equilibrium points are analyzed. The conditions for the nonexistence and existence of limit cycle are discussed.

Holling-Ⅳ functional response; qualitative analysis; equilibrium point; limit cycle

2014-11-05

王清娟(1989—), 女, 福建莆田人, 助教, 碩士, 主要從事微分方程定性分析方面的研究.

O175.12

A

1673-8004(2015)02-0048-04