程小剛，郭 韌，陳永紅

（1.華僑大學(xué) 計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，福建 泉州362021；2.華僑大學(xué) 工商管理學(xué)院，福建 泉州362021）

0 引 言

環(huán)簽名［1］是指一群中任一用戶(hù)可在群成員中任選一個(gè)包含自己的子集，做出簽名，之后任何人可驗(yàn)證此簽名的確由此子集中的某個(gè)人所簽署 （不可偽造性），但不能分辨出到底是誰(shuí)簽的 （匿名性）。

環(huán)簽名最早的應(yīng)用是匿名消息發(fā)布，如一不愿透露身份的某組織高層可利用此機(jī)制向新聞界發(fā)布一個(gè)消息，記者們可驗(yàn)證此消息的確是由某高層權(quán)威發(fā)布，但不能分辨出到底是哪一位，還可簡(jiǎn)單實(shí)現(xiàn)指定驗(yàn)證者簽名 （designated verifier signature，DVS），即簽名只能由發(fā)布方指定的驗(yàn)證者才能驗(yàn)證其合法性，其他人都不行，利用環(huán)簽名機(jī)制很容易實(shí)現(xiàn)DVS簽名，只要發(fā)布方發(fā)布一個(gè)包含自己和驗(yàn)證方的環(huán)簽名即可，驗(yàn)證方知道自己未簽署此消息，所以只可能是發(fā)布方簽署的，但外界對(duì)此簽名則分不清到底是兩人中誰(shuí)簽的。

早期的環(huán)簽名方案效率較低，尤其是簽名大小通常是O（k），k是子集成員數(shù)目，即簽名大小線性依賴(lài)于子集的大小，這對(duì)大規(guī)模環(huán)簽名的應(yīng)用是個(gè)大問(wèn)題；也有作者構(gòu)造了一個(gè)簽名大小為常數(shù)的環(huán)簽名方案，但其安全性基于ROM模型，而ROM模型近來(lái)又收到一些學(xué)者的批判；Chandran等構(gòu)建了在標(biāo)準(zhǔn)模型下安全的環(huán)簽名方案［2］，但其簽名大小為O（k1／2），效率較低；近來(lái)一些學(xué)者將基于身份的密碼技術(shù)用于環(huán)簽名構(gòu)建［3－7］，但這些基于身份的環(huán)簽名方案存在 “密鑰托管”的問(wèn)題，即密鑰分發(fā)中心掌握所有人的密鑰，因而其可以冒充任一用戶(hù)進(jìn)行環(huán)簽名，且一旦密鑰分發(fā)中心被黑客攻破，整個(gè)系統(tǒng)崩潰；也有學(xué)者提出了在標(biāo)準(zhǔn)模型下基于格的環(huán)簽名方案［8，9］，但簽名大小也依賴(lài)于環(huán)的大小，效率較低。

本文基于群結(jié)構(gòu)保持簽名 （structure preserving signa－ture，SPS）［10］與 Groth－Sahai證明系統(tǒng)［11］構(gòu)建了一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)模型下安全、簽名大小為常數(shù)的環(huán)簽名方案，同以前的環(huán)簽名方案相比，增加了一個(gè)環(huán)管理員 （ring manager，RM）角色和一個(gè)用戶(hù)加入過(guò)程，解決了基于身份的環(huán)簽名中的“密鑰托管”問(wèn)題；方案中簽名／驗(yàn)證的效率較高，達(dá)到了“近似常量級(jí)”的計(jì)算效率，對(duì)于大的環(huán)來(lái)說(shuō)效率遠(yuǎn)優(yōu)于現(xiàn)有標(biāo)準(zhǔn)模型下的方案 （因大都線性依賴(lài)于環(huán)的大?。?；由于RM角色的存在，環(huán)簽名的匿名性在出現(xiàn)爭(zhēng)議的情形下，可由RM來(lái)撤銷(xiāo)掉，找出真正的簽名者；構(gòu)建中采用了模塊化的密碼系統(tǒng)構(gòu)建思想，使得方案的安全性分析與驗(yàn)證較為直接。黃大威等也構(gòu)建一個(gè)匿名性可撤銷(xiāo)的環(huán)簽名方案［12］，但其構(gòu)建是基于ROM模型的，而所提構(gòu)建是基于標(biāo)準(zhǔn)模型的。

1 定義與數(shù)學(xué)假設(shè)

下面我們給出匿名性可撤銷(xiāo)環(huán)簽名的定義與所用到的數(shù)學(xué)假設(shè)：

定義1 我們的環(huán)簽名方案由下列5個(gè)多項(xiàng)式時(shí)間算法構(gòu)成：

（1）Setup：RM根據(jù)給定的安全參數(shù)，生成環(huán)的主密鑰和公開(kāi)參數(shù)PP；

（2）Join：RM和用戶(hù)之間執(zhí)行一交互協(xié)議，之后成員獲得證書(shū)和私鑰成為環(huán)成員 （可生成環(huán)簽名），RM更新相關(guān)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)并公布成員的公鑰，以接納此用戶(hù)成為環(huán)成員；

（3）Sign：環(huán)成員可任選環(huán)成員的一個(gè)子集R（包含其自身），利用R中成員的公鑰、環(huán)公開(kāi)參數(shù)PP和其自身的證書(shū)與私鑰生成環(huán)簽名；

（4）Verify：任何人由PP及R的描述與R中成員的公鑰，可驗(yàn)證某一環(huán)簽名是否合法 （即簽名由R中某成員生成，雖然不能判斷到底是誰(shuí)）；

（5）Open：在出現(xiàn)爭(zhēng)議的情況下，RM可打開(kāi)某合法的環(huán)簽名，找出真正的簽名者。

注意同一般的環(huán)簽名定義相比，我們的方案中有一管理員負(fù)責(zé)環(huán)成員的加入；但我們的方案維持了環(huán)簽名的核心概念：自主選擇的匿名性。

定義2 DLIN （decision linear）假設(shè)：在階為大素?cái)?shù)p的群中，給定一個(gè)隨機(jī)的生成元g、（ga，gb，gac，gbd），其中a，b，c，d∈Z＊p是隨機(jī)的，分辨隨機(jī)元素T或T＝gc＋d是困難的。

定義3 SDH （strong Diffie－Hellman）假設(shè)，在階為大 素 數(shù) p 的 群 中， 給 定 （g，ga，ga2，…，gan）， 生 成（g1／（a＋c），c）是困難的。

定義4 SDP （simultaneous double pairing）假設(shè)：在對(duì)稱(chēng)雙線性群 （G，GT）中，給定 （gz，gr，hz，hu）∈G，找到非 平 凡 的 （z，r，u）∈ G，滿(mǎn) 足e（gz，z）e（gr，r）＝ 1 且e（hz，z）e（hu，u）＝1是困難的。

注意DLIN假設(shè)是蘊(yùn)含SDP假設(shè)的［13］。

2 工 具

（1）群結(jié)構(gòu)保持簽名

群結(jié)構(gòu)保持簽名 （SPS）指的是此種簽名方案中，簽名、公鑰、消息都是雙線性群中的元素，而對(duì)簽名的驗(yàn)證只是驗(yàn)證一些雙線性對(duì)乘積方程 （pairing product equation，PPE）是否成立。定義SPS簽名的目的在于其可與Groth－Sahai證明系統(tǒng)［11］很好的融合，來(lái)零知識(shí)證明我有一個(gè)簽名 （如某個(gè)CA頒發(fā)的證書(shū)），因而可用于許多需要匿名或隱私保護(hù)的場(chǎng)合。

近來(lái)Abe等提出一個(gè)十分高效 （簽名大小為O（1））的SPS方案［10］，安全性基于標(biāo)準(zhǔn)的DLIN假設(shè)。此SPS方案基于 TOT （tagged one－time）簽名和rSIG （RMA－secure）簽名方案：

Setup：生成TOT公私鑰對(duì) （pkt，skt）和rSIG公私鑰對(duì) （pkr，skr）；

Sign：對(duì)待簽消息msg，先選隨機(jī)的tag用TOT對(duì)msg簽名δt＝TOT.Sign （skt，msg，tag），在用rSIG對(duì)tag簽名δr＝rSIG.Sign （skr，tag），最后的簽名為δ＝ （tag，δt，δr）；

Verify：只要驗(yàn)證簽名中的兩種簽名都是合法的即可。

TOT就是對(duì)某個(gè)消息簽名之前先生成一個(gè)隨機(jī)的標(biāo)簽（tag），再用此標(biāo)簽來(lái)對(duì)消息簽名，只要此標(biāo)簽只使用一次，那么此簽名方案是安全的；rSIG就是只要所簽的多是隨機(jī)消息，那么方案是安全的；上述SPS構(gòu)造就是先用TOT和一隨機(jī)標(biāo)簽對(duì)消息簽名，再用rSIG對(duì)標(biāo)簽進(jìn)行簽名；基于DLIN假設(shè)Abe等構(gòu)造了常數(shù)大小的TOT和rSIG方案［10］，綜合起來(lái)就得到常數(shù)大小的SPS簽名。

（2）Groth－Sahai證明系統(tǒng)

Groth－Sahai證明系統(tǒng)是第一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)模型下、高效的NIWI／NIZK證明系統(tǒng)，可用于證明一大類(lèi)在雙線性群中的二次方程。其安全性可基于各種不同的數(shù)學(xué)假設(shè)如DLIN、SXDH和子群分辨等，這里我們介紹基于DLIN假設(shè)的實(shí)現(xiàn)。

首先要生成大素?cái)?shù)階的雙線性群e：G×G→GT，并設(shè)置CRS（common reference string）為其中要對(duì)X∈G進(jìn)行承諾的話，計(jì)算其中⊙表示向量中對(duì)應(yīng)元素相乘，能設(shè)置成兩種不同而又計(jì)算上 “不可分辨”的形式，而分別給出 “完全正確”和“證據(jù)不可分”的結(jié)果：在 “完全正確”的情況中，設(shè)置因而C是X的DLIN加密，可通過(guò)β1＝loggf1，β2＝loggf2進(jìn)行解密得到唯一的那個(gè)X；而在 “證據(jù)不可分”情景下，設(shè)置成是線性獨(dú)立的，因而C是一個(gè)完全隱藏的承諾 （即X被完全隱藏）；而基于DLIN假設(shè)，這兩種情況 （兩個(gè)不同的）是計(jì)算不可分的。

要對(duì)Zp中的元素x進(jìn)行承諾的話，計(jì)算C＝用同上面類(lèi)似，ψ可被設(shè)置成兩種不同而又計(jì)算不可分的值以分別實(shí)現(xiàn) “完全正確”和 “證據(jù)不可分”。要實(shí)現(xiàn) “正確性”，是線性獨(dú)立的；要 “證據(jù)不可分”，設(shè)得到一個(gè)完全隱藏的承諾，因?yàn)榇藭r(shí)不管x是多少，C都是1的DLIN加密。

要證明一些 “承諾”中的變量滿(mǎn)足一組二次方程，證明者要對(duì)每個(gè)方程生成一個(gè)NIWI／NIZK證明 （此證明可能包含多個(gè)群元素）。

對(duì)雙線性群中的PPE方程和 MEE （multi－exponential equation）方程，存在這樣的NIWI／NIZK證明，PPE就是

其中X1，…Xn∈G是變量，tT∈G，A1，…An∈G，aij∈Zp是常量。

而MEE方程是指

其中X1，…Xn∈G，y1，…ym∈Zp是變量，T，A1，…Am∈G和γij，b1，…bn∈Zp是常量

3 構(gòu) 建

下面是我們的環(huán)簽名的構(gòu)建：

（1）Setup：RM生成階為素?cái)?shù)p的雙線性群e：G×G→GT，選隨機(jī)的x1，…，xn∈Zp，y1，…，yn∈Zp設(shè)置環(huán)公鑰rpk＝ ｛G1，…，Gn；H1，…，Hn｝＝ ｛gx1，…，gxn；hy1，…，hyn｝，RM 私鑰為rsk＝ ｛x1，…，xn；y1，…，yn｝；初始化成員列表User＿List＝；生成上述SPS簽名的公私鑰對(duì)，并發(fā)布對(duì)G1，…，Gn；H1，…，Hn的簽名；

（2）Join：RM與用戶(hù)i之間執(zhí)行一交互協(xié)議，具體可參見(jiàn)Groth［14］，之后用戶(hù)成為環(huán)中一員，RM得到其公鑰Vi，而成員得到私鑰si，滿(mǎn)足關(guān)系Vi＝gsi；GM添加 （Vi，Vxii）和（Vi，Vyii）到User＿List中去；

為提高簽名和驗(yàn)證效率，RM同同時(shí)公布e（Gi，Vi）和e（Hi，Vi）值，這樣在簽名和驗(yàn)證時(shí)就省去了此配對(duì)計(jì)算的工作量，而只需要2（k－1）次普通點(diǎn)乘即可（k是簽名時(shí)所選環(huán)的大?。?。

（3）Sign：設(shè)待簽名消息為m，成員i先計(jì)算δi（m）＝g1／（H（m）＋si），H 是一哈希函 數(shù)，再 從環(huán)中隨 機(jī) 選 一子集 R（包含其自身），計(jì)算：令然后用Groth－Sahai證明系統(tǒng)證明：

PK｛（Wg，Wh，Gi，Hi，Vi，δ）：e（g，Wg）e（Gi，Vi）＝Cg∧e（h，Wh）e（Hi，Vi）＝ Ch∧ Gi是 G1…Gn之 一 ∧ Hi是H1…Hn之一 ∧e（δ，gH（M）Vi）＝e（g，g）｝

其中實(shí)現(xiàn)Gi是G1，…，Gn之一的技巧是證明其知道Gi的SPS簽名 （類(lèi)似證明Hi），上面的方程以及SPS簽名的驗(yàn)證方程都是PPE方程，因而存在Groth－Sahai證明；

（5）Open：握有Groth－Sahai證明系統(tǒng) “證據(jù)”提取密鑰的RM可從一合法的環(huán)簽名中提取出承諾值中的成員公鑰Vi，從而找出真正的簽名者。

4 安全性

環(huán)簽名安全性一般包括兩個(gè)方面：匿名性與不可偽造性，下面來(lái)證明我們的方案滿(mǎn)足這兩種安全特性：

定理1 基于DLIN假設(shè)，上述環(huán)簽名方案滿(mǎn)足匿名性。

證明：上述環(huán)簽名主要是一NIZK證明，公開(kāi)的是R，Cg，Ch不包含特定簽名者的信息，而包含簽名者的信息如Vi，Gi，Wg，Whδ等都以 “承諾值”的形式給出，因而是匿名的，相關(guān)的證明元素由Groth－Sahai證明系統(tǒng)的安全性（基于DLIN）也不會(huì)透露簽名者的信息，所以我們的方案是匿名的。

定理2 基于DLIN、SDH假設(shè)，上述環(huán)簽名方案滿(mǎn)足不可偽造性。

證明：由上述環(huán)簽名的構(gòu)造可見(jiàn)，在Groth－Sahai證明系統(tǒng)安全的前提下，要偽造簽名可分為兩種情況：一是用真正的證據(jù)Wi，而偽造簽名δ；二是偽造V，Wh，Wg使得但有e（Hi，V）e（h，Wh）＝Ch和e（Gi，V）e（g，Wg）＝Cg，下面來(lái)證明這兩種情況都是不可行的：

Case1：Wi用真的，此時(shí)要根據(jù)公鑰Vi來(lái)偽造Boneh－Boyen簽名δ，而根據(jù)BB簽名的安全性 （基于SDH假設(shè)），這是計(jì)算上不可行的；

Case2：偽造Vfake使得Vfake不是R中的一個(gè)公鑰，但有 e（G1，Vfake）e（g，）＝ Cg＝ e（G1，V1）e（g，）和e（H1，Vfake）e（h，）＝ Ch＝e（H1，V1）e（h，），其 中V1是R中第一個(gè)成員的公鑰，下面我們來(lái)證明基于DLIN假設(shè)，這是不可行的；假設(shè)存在A能找到這樣的V與Wh，Wg，我們顯示如何用A來(lái)解決SDP難題，而解決SDP難題就意味著解決DLIN（因SDP是有DLIN所蘊(yùn)含的）難題。

給定SDP問(wèn)題 （gz，gr，hz，hu）∈G，要找到 （z，r，u）∈G 滿(mǎn)足e（gz，z）·e（gr，r）＝1且e（hz，z）·e（hu，u）＝1；在上述環(huán)簽名方案中令G1＝gz，H1＝hz，g＝gr，h＝hu，利用A可找到滿(mǎn)足和顯 然 令是原SDP問(wèn)題的解。

5 性能比較

在表1中我們比較了本文方案與現(xiàn)有的標(biāo)準(zhǔn)模型下的環(huán)簽名方案的效率。

表1中k表示的是簽名時(shí)環(huán)的大小，n表示所支持環(huán)成員的最大數(shù)目。因?yàn)樵诜治龊灻?yàn)證復(fù)雜度時(shí)，通常只考慮比較耗時(shí)的配對(duì)運(yùn)算與指數(shù)運(yùn)算［4］，而群中的點(diǎn)乘運(yùn)算由于耗時(shí)較少經(jīng)常被忽略，而本文方案簽名／驗(yàn)證計(jì)算中與環(huán)大小k相關(guān)的運(yùn)算是和 Wg＝等，都是點(diǎn)乘運(yùn)算，其它的運(yùn)算如配對(duì)、指數(shù)運(yùn)算都是常數(shù)級(jí)別O（1）的，因而我們稱(chēng)其復(fù)雜度為 “Almost O（1）”。

表1中的前3個(gè)方案是基于身份的環(huán)簽名方案，第4個(gè)不是基于身份的。顯然從表1可見(jiàn)本文方案的效率要優(yōu)于現(xiàn)有的標(biāo)準(zhǔn)模型下安全的環(huán)簽名方案 （包括基于或不基于身份的方案），尤其是當(dāng)環(huán)的大小k很大時(shí)，優(yōu)勢(shì)更加明顯，也即本文方案更適合環(huán)成員數(shù)目很多的場(chǎng)合。

表1 本文方案與現(xiàn)有標(biāo)準(zhǔn)模型下的環(huán)簽名方案的效率比較

6 結(jié)束語(yǔ)

本文基于SPS與Groth－Sahai證明系統(tǒng)，提出了一種新的匿名性可撤銷(xiāo)環(huán)簽名構(gòu)建方法，同以往的環(huán)簽名方案相比，一個(gè)不同是增加了一個(gè)環(huán)簽名員，且用戶(hù)成為環(huán)成員之前有一個(gè)加入過(guò)程，解決了基于身份的環(huán)簽名中的 “密鑰托管”問(wèn)題，此外其效率較高，簽名大小為常數(shù)，且其安全性不依賴(lài)與ROM，而是基于標(biāo)準(zhǔn)模型的；且匿名性在必要是可由RM來(lái)撤銷(xiāo)。未來(lái)可能的一個(gè)研究方向是如何提高效率，尤其是雖然我們方案的簽名大小為常數(shù)，但具體數(shù)值較大 （由于采用的SPS簽名的大小較大），可進(jìn)一步研究如何減小此具體數(shù)值。

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