柴雙龍, 李樹勇(1. 四川師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與軟件科學(xué)學(xué)院, 四川 成都 610066; 2. 綿陽師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)學(xué)院, 四川 綿陽 621006)

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含非線性擾動的變時滯隨機微分系統(tǒng)的均方漸近穩(wěn)定性

柴雙龍1,2, 李樹勇1*
(1. 四川師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與軟件科學(xué)學(xué)院, 四川 成都 610066; 2. 綿陽師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)學(xué)院, 四川 綿陽 621006)

研究一類含有非線性擾動的變時滯隨機系統(tǒng)的均方漸近穩(wěn)定性問題.通過構(gòu)造Lyapnov-Krasovskii泛函,運用It公式,借助Lyapunov穩(wěn)定性理論思想,利用Riccati矩陣方程相關(guān)知識,建立該系統(tǒng)的均方漸近穩(wěn)定的充分條件.最后給出數(shù)值實例,驗證所得結(jié)果的有效性.

非線性擾動; 變時滯; 隨機微分系統(tǒng); Riccati矩陣方程; 均方漸近穩(wěn)定

1 預(yù)備知識

近幾十年來,時滯隨機微分系統(tǒng)的穩(wěn)定性研究一直是人們關(guān)注的重點,并取得了豐碩的研究成果[1-13],建立了時滯隨機微分系統(tǒng)穩(wěn)定性的技巧,如Riccati矩陣方程[3]、Moon不等式技巧[4]、比較原理[5]、Lasalle不變原理[6]、線性矩陣不等式(LMI)[7-9]、自由權(quán)矩陣[10-11]、非負半鞅收斂定理[12]、不等式分析技巧[13].Riccati矩陣方程是研究時滯隨機系統(tǒng)的一個有力工具.利用Riccati矩陣方程性質(zhì)研究穩(wěn)定性能夠巧妙的構(gòu)造出Lyapnov泛函,以克服構(gòu)造Lyapnov泛函不易的困難.文獻[3]展示了利用Riccati方程研究時滯隨機微分系統(tǒng)均方漸近穩(wěn)定性的優(yōu)點.本文利用Riccati矩陣方程的性質(zhì)研究一類含有非線性擾動的變時滯隨機系統(tǒng)的均方漸近穩(wěn)定性,通過構(gòu)造Lyapnov-Krasovskii泛函,運用It公式,引入適當?shù)淖杂蓹?quán)矩陣,借助Lyapunov穩(wěn)定性定理獲得系統(tǒng)的均方漸近穩(wěn)定的充分條件,通過例子顯示本文方法的有效性.

2 系統(tǒng)描述

考慮具有非線性擾動的時變時滯隨機微分系統(tǒng)

(1)

其中,x(t)∈Rn是狀態(tài)向量;A,B∈Rn×n,C,D∈Rm×n是不確定的常數(shù)矩陣,時變向量函數(shù)f:[0,+∞)×Rn×Rn→Rn,w(t)是定義在具有自然濾波{Ft}t≥0且完備的概率空間(Ω,F,P)上的1維標準Brownian運動;初始條件φ(t)是定義在[-τ,0]上的連續(xù)向量值函數(shù).τ(t)表示時變時滯,并滿足如下條件:

變時滯τ(t)可微并滿足

(2)

其中,τ是正常數(shù),μ是常數(shù).

假設(shè)矩陣B滿足條件

(3)

時變向量函數(shù)f(t,x(t),x(t-τ(t)))是具有系統(tǒng)當前狀態(tài)和時滯狀態(tài)的非線性擾動,滿足下面的不等式條件

(4)

其中αi≥0(i=0,1).

3 基本準備

考慮時滯隨機系統(tǒng)

dx(t)=h(t,xt)dt+g(t,xt)dw(t),t>0,

(5)

其中,x(t)∈Rn,w(t)是(Ω,F,P)上m維的布朗運動,h:R+×C|→Rn,g:R+×C|→Rn×m.(5)式的初始函數(shù)為x(s)=φ(s)∈Rn是隨機變量,s∈[-τ,0],這里τ為正常數(shù).取泛函V∈C1,2(R+×C;R+),通過定義(5)式生成的微分算子LV為

其中Tr表示矩陣的跡.

本文的目的是研究(1)式在滿足條件(2)～(4)式的均方漸近穩(wěn)定性.為此,需要引用下列引理.

引理3.1[3]若存在一個泛函V(t,xt):[0,∞)×C→R+滿足如下條件

ELV(t,xt)≤ExT(t)D(t)x(t)+

矩陣

其中K是以ki,(i=1,…,n)為對角元素的對角型矩陣,若G(t)是一致負定矩陣.即:xTG(t)x≤-c|x|2,c>0,x∈Rn,則(1)式的零解是均方漸近穩(wěn)定的.

引理3.2[13]對具有適當維數(shù)的任意向量a、b及任意對稱正定矩陣X>0有

aTb+bTa≤aTXa+bTX-1b.

4 主要結(jié)果

定理4.1 在假設(shè)(2)和(4)式成立的條件下,如果存在適當維數(shù)實對稱矩陣P>0,以及任意n×n維的正定矩陣R1、R2、R3、Q,使得Riccati矩陣方程

(6)

成立,且

(7)

(8)

則具有非線性擾動(4)式,滿足時滯約束條件(2)式的變時滯隨機系統(tǒng)(1)式是均方漸近穩(wěn)定的.

證明 構(gòu)造如下Lyapunov-Krasovskii泛函

V(t,xt)=xT(t)Px(t),

(9)

其中P∈Rn×n是對稱正定矩陣.

LV(t,xt)=[Ax(t)+Bx(t-τ(t))+

f(t,x(t),x(t-τ(t)))]TPx(t)+xTP[Ax(t)+

Bx(t-τ(t))+f(t,x(t),x(t-τ(t)))]+[Cx(t)+Dx(t-τ(t))]TP[Cx(t)+Dx(t-τ(t))]=

xT(t)[ATP+PA+CTPC]x(t)+

xT(t-τ(t))DTPDx(t-τ(t))+

xT(t-τ(t))BTPx(t)+xT(t)PBx(t-τ(t))+

xT(t-τ(t))DTPCx(t)+

xT(t)CTPDx(t-τ(t))+fT(t,x(t),x(t-

τ(t)))Px(t)+xTPf(t,x(t),x(t-τ(t))).

(10)

由引理3.2,若取a=x(t-τ(t)),b=BTPx(t),知對任意的對稱正定矩陣R1使得下面不等式成立

xT(t-τ(t))BTPx(t)+xT(t)PBx(t-τ(t))≤

xT(t-τ(t))R1x(t-τ(t))+

(11)

若取a=x(t-τ(t)),b=DTPCx(t),則對任意的對稱正定矩陣R2有下面不等式成立

xT(t-τ(t))DTPCx(t)+xT(t)CTPDx(t-τ(t))≤

xT(t-τ(t))R2x(t-τ(t))+

(12)

若取a=f(t,x(t),x(t-τ(t))),b=Px(t),可得對任意的對稱正定矩陣R3有

fT(t,x(t),x(t-τ(t)))Px(t)+

xTPf(t,x(t),x(t-τ(t)))≤

fT(t,x(t),x(t-τ(t)))R3f(t,x(t),

(13)

由非線性擾動條件(4)式有

(14)

綜合(11)～(14)式可得

ELV(t,xt)≤E{xT(t)[ATP+PA+CTPC+

R1+R2+α12R3]x(t-τ(t))}.

由(6)～(8)式有

(15)

成立,則由引理3.1知,(1)式的零解是均方漸近穩(wěn)定的,即只要(6)～(8)式成立,則具有非線性擾動(4)式,滿足時滯約束條件(2)式的變時滯隨機系統(tǒng)(1)式是均方漸近穩(wěn)定的.定理得證.

推論 4.1 在假設(shè)(2)和(4)式成立的條件下,如果存在n×n維實對稱矩陣P>0,以及任意的n×n維正定矩陣R1、R2、R3、Q,使得Riccati矩陣方程

ATP+PA+CTPC+PR1P+CPR2PC+

(16)

成立,且

ATP+PA+CTPC+PR1P+

(17)

則具有非線性擾動(4)式,滿足時滯約束條件(2)式的變時滯隨機系統(tǒng)(1)式是均方漸近穩(wěn)定的.

證明 利用引理3.2,對于R1,取a=Px(t),b=Bx(t-τ(t));對于R2,取a=PCx(t),b=Dx(t-τ(t)).替換(11)和(12)式得

ELV(t,xt)≤E{xT(t)[ATP+PA+CTPC+

由(16)～(18)式知

D(t)=ATP+PA+CTPC+PR1P+

(19)

成立.則由引理3.1知,(1)式的零解是均方漸近穩(wěn)定的,即只要(16)～(18)式成立,則有(2)式,滿足(2)式的變時滯隨機系統(tǒng)(1)是均方漸近穩(wěn)定的.定理得證.

定理 4.2 若常數(shù)μ<0,在假設(shè)(2)～(4)式成立的條件下,如果存在適當維數(shù)實對稱矩陣P,H4,H5,H6>0,以及任意n×n維的正定矩陣H1、H2、H3、Q,使得Riccati矩陣方程

P(A+B)+(A+B)TP+CTPC+H1+

成立,則有(4)式,滿足時滯約束條件(2)和(3)式的變時滯隨機系統(tǒng)(1)是均方漸近穩(wěn)定的.

證明 現(xiàn)將系統(tǒng)(1)改寫為如下的中立型時滯隨機系統(tǒng)

(21)

構(gòu)造Lyapunov-Krasovskii泛函V(t,xt)=V1(t,xt)+V2(t,xt),其中

V1(t,xt)=zT(t)Pz(t),

計算V1(t,xt)沿著(21)式的軌線生成的算子LV1(t,xt).

LV1(t,xt)=zT(t)P[(A+B)x(t)+

x(t-τ(t)))]TPz(t)+[Cx(t)+

Dx(t-τ(t))]TP[Cx(t)+Dx(t-τ(t))]=

xT(t)[P(A+B)+(A+B)TP+CTPC]x(t)+

xT(t-τ(t))DTPDx(t-τ(t))+

xT(t)CTPDx(t-τ(t))+

xT(t-τ(t))DTPCx(t)+

xT(t-τ(t))BTPx(t)]+

xT(t)Pf(t,x(t),x(t-τ(t)))+fT(t,x(t),

x(t-τ(t)))Px(t)+

xT(t)(A+B)TPBx(s)]ds+

xT(t-τ(t))BTPBx(s)]ds+

fT(t,x(t),x(t-τ(t)))PBx(s)]ds.

(22)

利用引理3.2,對于任意n×n維的正定矩陣H1:取a=x(t),b=CTPDx(t-τ(t));H2:取a=x(t),b=PBx(t-τ(t));H3:取a=x(t),b=Pf(t,x(t),x(t-τ(t)));H4:取a=x(s),b=BTP(A+B)x(t);H5:取a=x(s),b=BTPBx(t-τ(t));H6:取a=x(s),b=BTPf(t,x(t),x(t-τ(t))),得到不等式

xT(t)CTPDx(t-τ(t))+

xT(t-τ(t))DTPCx(t)≤xT(t)H1x(t)+

(24)

xT(t)Pf(t,x(t),x(t-τ(t)))+fT(t,x(t),

x(t-τ(t)))Px(t)≤xT(t)H3x(t)+fT(t,x(t),

xT(t)(A+B)TPBx(s)]ds≤

(26)

xT(t-τ(t))BTPBx(s)]ds≤

fT(t,x(t),x(t-τ(t)))PBx(s)]ds≤

(28)

由非線性擾動條件(4)式有

(29)

(30)

綜合(22)～(30)式可得

ELV1(t,xt)≤E{xT(t)[P(A+B)+(A+B)TP+

(31)

沿著系統(tǒng)(21)式的軌線計算生成的算子LV2(t,xt),

xT(t)Ωx(t)-xT(t-τ(t))Ωx(t-τ(t)).

(32)

由(31)和(32)式得

ELV(t,xt)≤E{xT(t)[P(A+B)+

由條件(20)式知

G(t)=D(t)=P(A+B)+(A+B)TP+

成立.則由引理3.1知,系統(tǒng)(1)式的零解是均方漸近穩(wěn)定的.定理得證.

P(A+B)+(A+B)TP+CTPC+

(33)

成立.則具有非線性擾動(4)式,滿足條件(2)和(3)式的變時滯隨機系統(tǒng)(1)式是均方漸近穩(wěn)定的.

注 1 推論4.2的證明類似于定理4.2.當α0=α1=0時,定理4.1和4.2得到了無非線性擾動的均方漸近穩(wěn)定的充分條件.

5 數(shù)值實例

考慮如下具有非線性擾動的變時滯隨機微分系統(tǒng)

驗證了本文方法的有效性.

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2010 MSC：65C30; 34K20; 60H35

(編輯 鄭月蓉)

Asymptotically Mean-Square Stability for Stochastic Differential Systems with Nonlinear Perturbation and Time-Varying Delay

CHAI Shuanglong1,2, LI Shuyong2
(1.CollegeofMathematicsandSoftwareScience,SichuanNormalUniversity,Chengdu610066,Sichuan;2.InstituteofMathematicsandComputerScience,MiangyangNormalCollege,Mianyang621006,Sichuan)

In this paper, the asymptotically mean-square stability for stochastic differential systems with nonlinear perturbation and time-varying delay is concerned. By establishing a Lyapunov-Krasovskii functional, using the Itformula and by virtue of Lyapunov stability theory, the sufficient conditions for the asymptotically mean-square stability of the system are obtained in terms of the matrix Riccati equation. Finally, the numerical example is provided to demonstrate the effectiveness of the result received.

nonlinear perturbation; time-varying delay; stochastic differential systems; matrix Riccati equation; asymptotically mean-square stability

2014-10-09

國家自然科學(xué)基金(11271270)和四川省教育廳自然科學(xué)重點課題(10ZA125)

O211.63

A

1001-8395(2015)06-0791-06

10.3969/j.issn.1001-8395.2015.06.001

*通信作者簡介：李樹勇(1964—),男,教授,主要從事時滯隨機微分系統(tǒng)穩(wěn)定性的研究,E-mail:shuyongli@263.net