李 瑩, 查秀秀, 王方圓(聊城大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 山東 聊城 252059)

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矩陣和關(guān)于{1,2}-逆與{1,4}-逆的混合吸收律

李 瑩, 查秀秀, 王方圓
(聊城大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 山東 聊城 252059)

定義2個(gè)矩陣和關(guān)于廣義逆的混合第一和第二吸收律的概念,利用矩陣的廣義逆Schur補(bǔ)、秩方法及奇異值分解(SVD)得到2個(gè)矩陣和關(guān)于{1,2}-逆與{1,4}-逆的混合第一、第二吸收律成立的充要條件.

M-P逆; {i,j,k}-逆; 廣義schur補(bǔ); 秩方法; SVD; 混合吸收律

1 引言及預(yù)備知識(shí)

本文中以Cm×n表示所有m×n復(fù)矩陣的集合.A*、r(A)、R(A)分別表示矩陣A的共軛轉(zhuǎn)置、秩與值域.給定矩陣A∈Cm×n,其廣義逆G[1-2]是滿足下列4個(gè)方程中某些方程的矩陣

AGA=A,GAG=G,

(AG)*=AG, (GA)*=GA.

令?≠η={i,j,k}?{1,2,3,4},Aη表示滿足以上(i)、(j)、(k)方程的矩陣G的集合,G稱為矩陣A的一個(gè){i,j,k}-逆,記為A(i,j,k).若η={1,2,3,4},則稱G為A的M-P逆,記為A+.EA=I-AA+,FA=I-A+A,分別為A*和A的零空間上的正交投影.

矩陣的廣義逆在概率統(tǒng)計(jì)、數(shù)學(xué)規(guī)劃、控制論、測(cè)量學(xué)、博弈論和網(wǎng)絡(luò)理論等領(lǐng)域都有廣泛而重要的應(yīng)用[3],同時(shí)在最小二乘問(wèn)題、長(zhǎng)方及病態(tài)線性方程問(wèn)題、馬爾可夫鏈等統(tǒng)計(jì)問(wèn)題中也是一種基本的研究工具.廣義逆應(yīng)用的廣泛性要求它自身理論發(fā)展不斷地充實(shí)完善.

如果A、B為可逆矩陣,則必有A-1+B-1=A-1(A+B)B-1.否則,對(duì)于{1}-逆,文獻(xiàn)[4]舉例說(shuō)明了不一定存在A(1)和B(1),使得A(1)+B(1)=A(1)(A+B)B(1).本文考慮將上式中的{1}-逆換成2種不同的{i,j,k}-逆,若仍有等式成立,則稱矩陣和關(guān)于2個(gè)廣義逆滿足混合吸收律,定義如下.

定義 1.1 設(shè)A,B∈Cm×n,如果存在G∈Aη,H∈Bζ使得

A(G+H)B=A+B,

則稱A、B關(guān)于η-逆和ζ-逆滿足混合第一吸收律.若使得

G+H=G(A+B)H,

則稱A、B關(guān)于η-逆和ζ-逆滿足混合第二吸收律.

在定義1.1中,若η=ζ,則為矩陣和關(guān)于某一種廣義逆的第一、第二吸收律.

文獻(xiàn)[5-12]提出了一種秩方法.該方法被大量應(yīng)用到廣義逆矩陣、矩陣方程、矩陣不等式、反序律、正序律、最小二乘以及統(tǒng)計(jì)量分析等問(wèn)題的研究中[13-14].本文擬用秩方法、廣義Schur補(bǔ)及矩陣的奇異值分解對(duì)矩陣和關(guān)于廣義逆的混合吸收律進(jìn)行研究,推導(dǎo)關(guān)于{1,2}-逆與{1,4}-逆的混合第一、第二吸收律成立的充要條件.

引理 1.1[9]設(shè)A∈Cm×n,B∈Cm×k,C∈Cl×n,D∈Cl×k,則有

r(D-CA+B)=

(1)

(2)

引理 1.2[10]設(shè)A∈Cm×n,B∈Cm×k,C∈Cl×n,D∈Cl×k,則有

min {r(A)+r(D),r(C,D),

(3)

(4)

其中

(5)

(6)

引理 1.3[12]設(shè)A∈Cm×n,B∈Cm×k,C∈Cl×n,則有

r(A,B)=r(A)?R(B)?R(A),

引理 1.4[12]設(shè)A∈Cm×n,B∈Cm×k,C∈Cl×n,若R(AQ)=R(A),R((PA)*)=R(A*),則有

r(AQ,B)=r(A,B),

2 矩陣和關(guān)于{1,2}-逆與{1,4}-逆的混合第一吸收律

定理 2.1 設(shè)A,B∈Cm×n,則有

(7)

(8)

證明 由(1)及(3)式

由于

r(A,B)≤r(A)+r(B),

所以

由引理1.4有

又

所以

r(A)+r(B),

而

r(B)≤r(A)+r(B),

因而

(7)式成立.下證(8)式.由(1)及(4)式有

下面對(duì)r1和r2進(jìn)行化簡(jiǎn)并比較大小.

所以r2≤r1,從而

r(B)+max{r1,r2}=r(A,B)+

推論 2.1 設(shè)A,B∈Cm×n,則下列敘述等價(jià):

1) 任意A(1,2)∈A{1,2},B(1,4)∈B{1,4},都有

A+B=A(A(1,2)+B(1,4))B;

2) 存在A(1,2)∈A{1,2},B(1,4)∈B{1,4}使得

A+B=A(A(1,2)+B(1,4))B;

3 矩陣和關(guān)于{1,2}-逆與{1,4}-逆的混合第二吸收律

定理 3.1 設(shè)A,B∈Cm×n,則有

min{n,m,n+m-r(A)-r(B)}.

(9)

(10)

證明 由(3)及(5)式有

(-In)A(1,2)(Im-(A+B)B(1,4)))=

min{n,m,n+m-r(A)-r(B)}.

(9)式成立.下證(10)式.由(6)式有

r(B,Im-AA(1,2))).

設(shè)

其中

P=(P1,P2),Q=(Q1,Q2),

分別為m和n階酉矩陣,P1∈Cm×r(A),Q1∈Cn×r(A),∑r(A)=diag(σ1,σ2,…,σr(A)),σ1≥σ2≥…≥σr(A)為A的非零奇異值,則有

其中,A12和A21為適當(dāng)階數(shù)的任意矩陣.計(jì)算得

r((In-A(1,2)A)B*)=

r(B,Im-AA(1,2))=

r(P*B,P*(Im-AA(1,2))P)=

則有

r(B,Im-AA(1,2)))=

下面分別計(jì)算上式中的2個(gè)極秩.Q為列滿秩陣,所以

由(2)式,上式等于

又

min{m,m+r(B)-r(A)},

所以

A(1,2)(A+B)B(1,4))=

max {r(B)-r(BQ1),r(A)-r(BQ1)}.

由A的奇異值分解

從而

所以

又

根據(jù)引理1.4

故結(jié)論成立.

推論 3.1 任意A(1,2)∈A{1,2},B(1,4)∈B{1,4}都有

A(1,2)+B(1,4)=A(1,2)(A+B)B(1,4),

當(dāng)且僅當(dāng)A,B為非奇異陣.

推論 3.2 存在A(1,2)∈A{1,2},B(1,4)∈B{1,4}使得

A(1,2)+B(1,4)=A(1,2)(A+B)B(1,4),

當(dāng)且僅當(dāng)

證明 存在A(1,2)∈A{1,2},B(1,4)∈B{1,4}使得

A(1,2)+B(1,4)=A(1,2)(A+B)B(1,4),

當(dāng)且僅當(dāng)

A(1,2)(A+B)B(1,4))=0.

若r(A)≥r(B),則r(BQ1)=r(A),而r(BQ1)≤r(B),所以r(BQ1)=r(A)=r(B).若r(A)≤r(B),則r(BQ1)=r(B),而

r(BQ1)=r(BA+AB*)≤r(A),

從而r(BQ1)=r(A)=r(B).所以結(jié)論成立.

注 3.1 文獻(xiàn)[4]中給出了存在A(1)和B(1)使得

A(1)+B(1)=A(1)(A+B)B(1)

成立的等價(jià)條件,即r(A)=r(B).有如下結(jié)論,若存在A(1,2)和B(1,4)使得混合第二吸收律成立,則關(guān)于A(1)和B(1)的第二吸收律必成立,反之,則不一定.

本文中所有吸收律等式中所涉及的某種廣義逆均為同一個(gè)矩陣,若不同,則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為考察關(guān)于矩陣及其廣義逆的表達(dá)式構(gòu)成的2個(gè)集合之間的關(guān)系,此時(shí)問(wèn)題將復(fù)雜得多,也是下一步將要研究的課題.

致謝 聊城大學(xué)科研基金(31805)對(duì)本文給予了資助,謹(jǐn)致謝意.

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2010 MSC：15A09

(編輯 李德華)

The Mixed Absorption Laws of the Sum of Two Matrices on {1,2}-Inverse and {1,4}-Inverse

LI Ying, CHA Xiuxiu, WANG Fangyuan
(CollegeofMathematicsScience,LiaochengUniversity,Liaocheng252059,Shandong)

The concept of the mixed first absorption laws and the mixed second absorption laws on generalized inverse is given. Using the matrix rank method, the generalized Schur complement and SVD, necessary and sufficient conditions about the mixed first absorption laws and the mixed second absorption laws on {1,2}-inverse and {1,4}-inverse are established.

M-P inverse; {i,j,k}-inverse; generalized Schur complement; matrix rank method; SVD; mixed absorption laws

2014-05-22

國(guó)家自然科學(xué)基金(11301247)

李 瑩(1974—),女,副教授,主要從事矩陣?yán)碚摰难芯?E-mail:liyingld@163.com

O151.21

A

1001-8395(2015)06-0851-05

10.3969/j.issn.1001-8395.2015.06.012