何 鵬, 舒乾宇(四川師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與軟件科學(xué)學(xué)院, 四川 成都 610066)

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有極小理想的半環(huán)

何 鵬, 舒乾宇*
(四川師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與軟件科學(xué)學(xué)院, 四川 成都 610066)

首先討論了半環(huán)中極小理想的存在性問題,給出了極小理想存在的一些充要條件,其次給出了極小理想的一些特征,最后描述了有極小理想的半環(huán)的結(jié)構(gòu).

半環(huán); 極小理想; Wedderburn結(jié)構(gòu)

1 引言及預(yù)備知識(shí)

1934年,H. S. Vandiver[1]引入了半環(huán)的概念,作為對(duì)環(huán)和分配格概念的一種推廣,半環(huán)被廣泛的應(yīng)用于分析學(xué)、拓?fù)鋵W(xué)以及非交換環(huán)論等數(shù)學(xué)學(xué)科,還被廣泛應(yīng)用于自動(dòng)機(jī)理論、語言理論、選擇理論和其它一些應(yīng)用數(shù)學(xué)的分支[2-8].同時(shí),半環(huán)作為重要的代數(shù)工具也被廣泛應(yīng)用于計(jì)算機(jī)科學(xué)技術(shù)、代數(shù)編碼理論[4-5,7].

理想在半環(huán)的結(jié)構(gòu)中起著非常重要的作用,許多研究者[9-10]都曾討論過半環(huán)上理想的相關(guān)性質(zhì).然而這些性質(zhì)與通常環(huán)中理想的性質(zhì)卻不一致[11-12],于是研究者們加強(qiáng)了條件,以期能得到一些和環(huán)上類似的結(jié)果[13-14].盡管如此,結(jié)果仍然不如人意.半環(huán)中所有理想連同半環(huán)本身構(gòu)成一個(gè)格,稱為理想格,理想格中都有極大元,也就是說任意半環(huán)都有極大理想.實(shí)際上,極大理想在素理想和半環(huán)結(jié)構(gòu)的刻畫中都起著非常重要的作用[15].一個(gè)很自然的問題是在理想格中是否有極小元,也就是每個(gè)半環(huán)是否有極小理想?極小理想又有些什么樣的性質(zhì)?本文將首先討論半環(huán)上極小理想的存在性問題以及極小理想的相關(guān)性質(zhì),最后將刻畫有極小理想的半環(huán)的結(jié)構(gòu).

定義 1.1[16]設(shè)L是一個(gè)非空集合,若在L上有2個(gè)代數(shù)運(yùn)算“+”和“·”,使得下列條件成立:

1) (L,+,0)是交換幺半群；

2) (L,·,1)是幺半群；

3) 對(duì)任意a,b,r∈L,r·(a+b)=r·a+r·b,(a+b)·r=a·r+b·r;

4) 對(duì)任意r∈L,0·r=r·0=0;

5) 0≠1,

則稱L=〈L,+,·,0,1〉為半環(huán).

特別地,若對(duì)任意的r,r′∈L,都有r·r′=r′·r,則稱L為交換半環(huán).對(duì)任意的a,b∈L,若由a+b=0蘊(yùn)含a=b=0,則稱半環(huán)L是Zerosumfree的.為方便起見,在不引起混淆的前提下,以下用ab代替a·b.

定義 1.2[16]1) 半環(huán)L上的一個(gè)非空集合I稱為L(zhǎng)的左理想,若I滿足以下條件:

(i) 若a,b∈I,則a+b∈I;

(ii) 若a∈I,r∈L,則ra∈I;

(iii)I≠L.

類似地,可以定義L的右理想.既是左理想又是右理想就稱為L(zhǎng)的理想.

2) 設(shè)I≠{0}是L的(左,右)理想.如果除了{(lán)0}和它自身外,I不再包含其他任何理想,則稱I是L的極小(左,右)理想.

3) 設(shè)I≠{0}是L的(左,右)理想.如果I不包含于L的任意理想中,則稱I是L的極大(左,右)理想.

例 1.1 在半環(huán)L=〈N∪{∞},+,·,0,1〉中,I={0,∞}即為L(zhǎng)的極小理想,其中,N表示自然數(shù)集,+和·分別表示整數(shù)的普通加法和乘法運(yùn)算.

例 1.2 理想I={0,1}是半環(huán)L=〈N∪{∞},+,·,0,∞〉的唯一極小理想,其中,對(duì)任意的a,b∈N∪{∞}都有a+b=max{a,b},a·b=min{a,b}.

例 1.4 設(shè)L=〈L,+,·,0,1〉是布爾半環(huán)且S=Mn(L),其中L={0,1},則有

是L的極小右理想.

設(shè)I1、I2和I都是半環(huán)L的理想.定義集合

I1I2={aibi|ai∈I1,bi∈I2}

與

I1+I2={ai+bi|ai∈I1,bi∈I2}

分別稱為理想I1與I2的積與和.特別地,對(duì)任意的a∈L,{a}I簡(jiǎn)記為aI.如果I1∩I2={0},則I1與I2的和稱為直和,記作I1+I2=I1⊕I2.

注 1.1 設(shè)L是半環(huán)且ideal(L)={I|I是L的理想}∪L,則(ideal(L),+,∩)是完備格,稱為理想格.然而值得注意的是,即使L是交換半環(huán),這個(gè)格也不一定是模格.例如在例1.1所指的半環(huán)L=〈N∪{∞},+,·,0,1〉中,I1=2N{2},I2=2N,I3=N{1,2,5},I4=N{1,2},I5=N{1}都是集合ideal(N)中元素,且I1?I2?I5,I1?I3?I4?I5.因此(ideal(L),+,∩)不是模格.

定義 1.3[12]設(shè)H1?H2?…?Hn?…是半環(huán)L中的一理想降鏈.若存在正整數(shù)n0使得Hn0=Hn0+1=…,則稱該降鏈?zhǔn)欠€(wěn)定的.

定義 1.4[16]設(shè)L=〈L,+,·,0,1〉為半環(huán),

1) 對(duì)任意的r∈L{0},如果存在a∈L{0}使得ar=ra=a,則稱a是乘法吸收元;

2) 設(shè)a、b是L中的2個(gè)非零元,如果ab=0,則稱a是L的左零因子,b是L的右零因子.既是左零因子又是右零因子的元稱為零因子.不含零因子的半環(huán)L稱為整半環(huán);

3) 設(shè)a是L中的非零元,若存在b∈L使得a=aba,則稱a是乘法正則的.若L中任意元都是乘法正則的,則稱半環(huán)L是乘法正則的;

4) 設(shè)a∈L,若存在正整數(shù)m使得am=0,則稱a是冪零元,使得am=0成立的最小的正整數(shù)m稱為元素a的冪零指數(shù).

定義 1.5[16]設(shè)I是半環(huán)L的理想.若存在元素a∈L使得I=〈a〉,則稱I是L的主理想,a為I的生成元,其中

}.

若L是交換半環(huán),則〈a〉={ra|r∈L}.設(shè)S是非空子集,則集合

表示由S生成的理想.

定義 1.6 設(shè)I是半環(huán)L的理想,

1) 對(duì)任意的a,b∈L,若a∈I且a+b∈I蘊(yùn)含b∈I,則稱I是半負(fù)的.不包含半負(fù)理想的半環(huán)L稱為Austere的[16];

2) 若存在理想H使得I+H=L且I∩H={0},則稱H是I的補(bǔ)理想[16];

3) 若存在正整數(shù)m使得Im={0},則稱I是冪零的.使得Im={0}成立的最小正整數(shù)m稱為I的冪零指數(shù);

4) 若I2=I,則稱I是冪等的.

定義 1.7[17]設(shè)e是半環(huán)L中的任意非零元.如e2=e,則稱e為冪等元,用I×(L)={e∈L|e2=e}表示L中所有冪等元構(gòu)成的集合.對(duì)任意的e,f∈I×(L),若ef=0,則稱e與f正交.設(shè)e∈I×(L).若e不能表示成2個(gè)正交的冪等元的和,則稱e是本原的.

2 極小理想的存在性

以下都假設(shè)L是交換的Zerosumfree半環(huán).用|A|表示集合A中所含元素的個(gè)數(shù).若|L|<∞,則稱L是有限的,否則就稱為無限的.令

U(L)={a∈L|ab=ba=1,b∈L},

V(L)={a∈L|a+b=b+a=0,b∈L}.

由定義1.2和1.4易知下列命題成立.

命題 2.1 設(shè)I是半環(huán)L的理想.若|I|=2,則I是L的極小理想.

命題 2.2 設(shè)a∈L是乘法吸收元,則I=〈a〉是半環(huán)L的極小理想.

值得注意的是,一般情況下,命題2.2的逆命題不一定成立.例如,半環(huán)〈Z6,+,·〉中不含乘法吸收元,但由例1.3知該半環(huán)有2個(gè)極小理想.

命題 2.3 設(shè)I是L的非零理想,則I是L的極小理想當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任意的理想H,要么IH={0},要么IH=I.

與極大理想不同的是,很多半環(huán)中是沒有極小理想的.例如,通過之后要證明的定理2.2和推論2.4易知半環(huán)L=〈N,+,·,0,1〉中就沒有極小理想,其中,+和·分別表示整數(shù)的普通加法和乘法運(yùn)算.接下來,將討論半環(huán)中極小理想存在的條件.

定理 2.1 半環(huán)L有極小理想的充要條件是存在非零元a∈L使得對(duì)任意的r∈L,若ra≠0,則存在r′∈L使得r′ra=a.

證明 必要性 設(shè)I是半環(huán)L上的極小理想,則存在非零元a∈L使得〈a〉?I.從而由定義1.2知〈a〉=I.而對(duì)任意的r,a∈L,若ra≠0,則〈ra〉=〈a〉=I.因此,存在元素r′∈L使得r′ra=a.

充分性 設(shè)I=〈a〉,則對(duì)任意的r∈L都有〈ra〉?〈a〉.而由已知條件存在元素r′∈L使得r′ra=a可知若ra≠0,則〈a〉?〈ra〉.因此I=〈a〉=〈ra〉.設(shè)J是半環(huán)L的理想滿足{0}J?I,則存在非零元b∈J使得〈b〉?J?I=〈a〉.因此存在元素r1∈L使得b=r1a≠0.又由已知條件可知存在使得a.由此可知從而〈a〉?〈b〉.因此〈a〉=〈b〉=I=J,即I是極小理想.

由定理2.1可知下列推論成立.

推論 2.1 設(shè)I是半環(huán)L的理想,則I是極小理想的充要條件是存在非零元a∈I使得I=〈a〉且對(duì)任意的r∈L,ra≠0蘊(yùn)含〈ra〉=〈a〉=I.即非零理想是極小理想當(dāng)且僅當(dāng)該理想是主理想,且其中的任意非零元都是生成元.

推論 2.2 半環(huán)L中任一非零理想都包含極小理想的充要條件是半環(huán)L的任意非零理想H都滿足:對(duì)任意的r∈L,存在a∈H{0},若ra≠0,則存在r′∈L使得r′ra=a.

定理 2.2 半環(huán)L有極小理想當(dāng)且僅當(dāng)L中有一條穩(wěn)定的理想降鏈.

證明 必要性 設(shè)I是L的極小理想,則I所在的任一降鏈都是穩(wěn)定的.反之,設(shè)I0?I1?I2?…?In?…是一條穩(wěn)定的理想降鏈,則由定義1.3知存在正整數(shù)n0使得In0=In0+1=….從而對(duì)L的任意理想J,由{0}?J?In0可知,要么J=In0,要么J={0}.因此In0是L的極小理想.

由定理2.2有下面結(jié)論成立.

推論 2.3 半環(huán)L的任一非零理想都包含極小理想的充要條件是L的任意非零理想都在一條穩(wěn)定的理想降鏈上.

定理 2.3 設(shè)I是半環(huán)L的任一理想,則I是極小理想當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任意的理想I1、I2,若I=I1+I2,則要么I=I1,要么I=I2.

證明 必要性顯然成立.反之,若半環(huán)L的理想J滿足{0}?J?I,則J+〈IJ〉=I.若J≠{0},則I=J且IJ={0}.若J={0},則I=〈IJ〉.因此,要么J={0},要么J=I,即I是極小理想.

引理 2.1[16]若U(L)=L{0},則半環(huán)L中沒有非零理想.

定理 2.4 設(shè)半環(huán)L中乘法消去律成立,則L中沒有極小理想.但反之不然.

證明 對(duì)任意的0≠a∈L,r∈L,如果ra=0,則r=0.因此L是整的.假設(shè)L中有極小理想.由定理2.1知,存在非零元a∈L,使得對(duì)任意的非零元r∈L都有ra≠0.進(jìn)而存在r′∈L使得r′ra=a,從而r′r=1.因此L是除半環(huán),由引理2.1可知半環(huán)L沒有非零理想,矛盾.因此L沒有極小理想.反之不然,如半環(huán)〈[0,1],+,·,0,1〉中沒有極小理想且消去律也不成立,其中,對(duì)任意的a,b∈[0,1],a+b=max{a,b},a·b=min{a,b}.

推論 2.4 半環(huán)〈N,+,·,0,1〉中沒有極小理想,其中,+和·分別表示整數(shù)的普通加法和乘法運(yùn)算.

定理 2.5 設(shè)L是滿足消去律的Austere半環(huán),則L中沒有極小理想.

證明 對(duì)任意的a,b∈L,令I(lǐng)={r∈L|ra=rb},則對(duì)任意的r1,r2∈I,r∈L有

r1a=r1b,r2a=r2b,

(r1+r2)a=(r1+r2)b,

r1+r2∈I且rr1a=rr1b,即rr1∈I.若I≠L,則I是L的理想.假設(shè)r1∈I且r1+r2∈I,則r1a=r1b且r1a+r2a=r1b+r2b,從而r2a=r2b,r2∈I.于是I是半負(fù)的,而這與半環(huán)L是Austere的矛盾.因此I=L且1∈I,即a=b,亦即L是乘法可消的.由定理2.4知,L中沒有極小理想.

定理 2.6 設(shè)L是有限階半環(huán),則L有極小理想當(dāng)且僅當(dāng)L有非零理想.

證明 必要性顯然,下證充分性.設(shè)I是L的非零理想.若I不是極小理想,則存在理想J1使得{0}J1I.若J1不是極小理想,則存在理想J2使得{0}J2J1.重復(fù)以上步驟,由L是有限階的知,必存在正整數(shù)k使得Jk是L的極小理想.

3 極小理想的性質(zhì)

極小理想作為一類特殊的理想,有著一些其它理想所不具有的特殊性質(zhì),下面將討論極小理想的一些性質(zhì).

引理 3.1[16]設(shè)I和H都是半環(huán)L的理想,則IH?I∩H.

引理 3.2 設(shè)I是半環(huán)L的極小理想,H是L的任一理想,則要么I∩H=I,要么I∩H={0}.

定理 3.1 設(shè)I1、I2是半環(huán)L的2個(gè)極小理想,則有:

1) 要么I1I2={0},要么有I1I2=I1=I2;

2) 對(duì)L的任意理想H都有I1H=I1∩H;

3)I1+I2也是極小理想當(dāng)且僅當(dāng)I1=I2;

4) 如果I1和I2中至少有負(fù)理想,那么I1∪I2是半環(huán)L的理想當(dāng)且僅當(dāng)I1=I2.

證明 1) 若I1I2≠0,則存在非零元a∈L使得0≠a∈I1I2?I1.因此〈a〉=I1I2=I1.同理,知〈a〉=I1I2=I2.

2) 由引理3.2可知,要么I1∩H=I1,要么I1∩H={0}.若I1∩H={0},則顯然有I1H=I1∩H.而若I1∩H=I1,則I1?I1H=I1∩H=I1.因此I1H=I1∩H.

3) 若I1+I2是極小理想,則由I1?I1+I2和I2?I1+I2可知I1=I2=I1+I2.反之,由推論2.1不妨設(shè)I1=I2=〈a〉,則有

〈a〉+〈a〉={r1a+r2a|r1,r2∈L}=

{ra|r∈L}=〈a〉.

因此I1+I2是極小理想.

4) 充分性顯然.反之,設(shè)I1≠I2,I1=〈a〉且I2=〈b〉,其中,a,b∈L,則a?I2,b?I1且I1∩I2={0}.從而由I1∪I2是半環(huán)L的理想可知a+b∈I1∪I2.由已知不妨設(shè)I1是負(fù)理想,則b∈I1,矛盾.因此I1=I2.

由定理3.1可知下面2個(gè)推論成立.

推論 3.1 極小理想要么是乘法冪等的,要么是冪零的.若是冪零的,則冪零指數(shù)為2且該極小理想中任意非零元的冪零指數(shù)都為2.

推論 3.2 不同極小理想的生成元正交.

定理 3.2 設(shè)I是半環(huán)L的極小理想,則有:

(i) 對(duì)任意的t∈L,要么tI={0},要么tI=I;

(ii)I2=I當(dāng)且僅當(dāng)存在0≠a,b∈I使得ab≠0;

(iii)I2={0}的充要條件是存在0≠a,b∈I使得ab=0;

(iv)I是半環(huán)的充要條件是I中存在乘法冪等元.進(jìn)一步地,若I是半環(huán),則I是乘法正則的除半環(huán);

(v) 若I2≠{0},則I中有乘法冪等元.

證明 (i) 若tI≠{0},則tI?I且tI是理想.因此tI=I.

由定理2.1知,(ii)和(iii)顯然成立.

(iv) 充分性 設(shè)e是I中的乘法冪等元.由推論2.1,不妨設(shè)I=〈e〉,則顯然(I,+)是幺半群,(I,·)是半群,且對(duì)任意的re∈I,由ree=re可知e是I中的單位元.因此〈I,+,·,0,e〉是半環(huán).進(jìn)一步地,對(duì)任意的r∈L,若re≠0,則存在r′∈L使得r′re=e且r′ere=r′ree=r′re=e.因此r′e是re的乘法逆元,即I是除半環(huán).又對(duì)任意的0≠re∈I,其中,r∈L,存在r′∈L使得re=ere=r′rere=re(r′e)re,因此I是乘法正則的.反之顯然成立,因?yàn)閑2=e,其中,e是I的單位元.

(v) 首先證明對(duì)任意的0≠a∈I,有Ia=I.若存在非零元a0∈I,使得Ia0={0}.令J={a∈I|Ia={0}}且I=〈c〉,其中c∈L.于是有IJ={0}且對(duì)任意的a1,a2∈J有

I(a1+a2)={rc(a1+a2)|r∈L}=

{rca1+rca2|r∈L}={0},

因此a1+a2∈J.又對(duì)任意的r∈L,由Ira1={0}可知J是L的非零理想且J?I,從而I=J且IJ=I2={0},矛盾.因此對(duì)任意的0≠a∈I都有Ia=I.這意味著對(duì)任意的a,b∈I,方程ax=b在I中都有解.對(duì)任意的a,c∈L,令ae=a且c=ar,其中,e,r∈L,則由L是交換半環(huán)可知ce=are=rae=ra=c,這意味著e是I的單位元.因此〈I,+,·,0,e〉是半環(huán)且e2=e.

由定理3.2的(ii)和(iii)可知,如果在極小理想I中有零因子,則I的任意非零元都是零因子.相應(yīng)地,如果I中存在元素不是零因子,則I中不含零因子.1958年,S. Bourne在文獻(xiàn)[15]中,應(yīng)用Euler的論證方法證明了當(dāng)I是L的有限階極小右理想時(shí),要么I2={0},要么I含有乘法冪等元.1993年,陳培慈[17]在L是有效半環(huán)且L的每個(gè)非零理想都包含極小左理想與極小右理想的條件下證明了L的每個(gè)非零理想包含乘法冪等元.

定理 3.3 設(shè)I=〈e〉是半環(huán)L的極小理想.若I是半環(huán),則e不能表示成2個(gè)正交的乘法冪等元的和.若I2=I且e不是本原的,則I不是極小理想.

證明 若e不是本原的,即存在元素a,b∈I×(L)使得ab=0且e=a+b,則有

ea=a2+ab=a∈I,

eb=b2+ab=b∈I.

因此由定理3.2(iv)可知a和b都是I的乘法單位元,從而由單位元的唯一性知a=b=e,而這與ab=a=b≠0矛盾.因此e是本原的.進(jìn)而由定義1.7知道I能分解成2個(gè)主理想的直和.因此I不是極小理想.

推論 3.3 若半環(huán)L中存在極小理想不是冪零的,則L中必存在本原的乘法冪等元.

定理 3.4 設(shè)I=〈e〉是半環(huán)L的極小理想.若e是乘法冪等元,則I要么是Zerosumfree半環(huán),要么是域.

證明 若I不是Zerosumfree半環(huán),則V(I)≠{0}.對(duì)任意的a,b∈V(I),存在a1,b1∈I使得a+a1=0,b+b1=0,故a+b∈V(I).又對(duì)任意的r∈L,由ra+ra1=0可知ra∈V(I)且V(I)?I,從而1?V(I).因此V(I)是L的理想且V(I)=I,即I是域.

定理 3.5 設(shè)I和H分別是半環(huán)L的極小理想和極大理想,則要么I+H=H,要么I+H=L.

引理 3.3[16]半環(huán)的任意理想都包含于它的極大理想.

定理 3.6 極小理想I在半環(huán)L中是可補(bǔ)的當(dāng)且僅當(dāng)存在L的一極大理想H,使得I∩H={0}.

證明 若存在理想K滿足I+K=L且I∩K={0},則存在r1∈I,r2∈K使得r1+r2=1.設(shè)H是包含K的極大理想,則I+H=L.若I∩H≠{0},則I?H且r1,r2∈H,這意味著1∈H,即H=L,矛盾.因此I∩H={0}.反之,H即是I的補(bǔ)理想.

4 有極小理想的半環(huán)的結(jié)構(gòu)

下面將討論有極小理想的半環(huán)的性質(zhì)并給出相應(yīng)半環(huán)的Wedderburn結(jié)構(gòu).

定理 4.1 設(shè)半環(huán)L有極小理想I,則L是整的當(dāng)且僅當(dāng)I是L的唯一極小理想且I中無零因子.

證明 必要性 設(shè)半環(huán)L是整的,J是它的極小理想,則JI≠{0}且I=IJ?I∩J.因此I=J.反之,由定理3.2易知I2=I.若存在0≠a,b∈L使得ab=0,則由極小理想的唯一性知I?〈a〉,I?〈b〉且I2?〈a〉〈b〉={0},矛盾.因此L是整的.

定義 4.1[17]L是Artin半環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)ideal(L)的任意子集都包含極小元.若Artin半環(huán)不含非零的冪零理想,則稱該Artin半環(huán)為半單的.

引理 4.1[12]L是Artin半環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)L中的任意理想降鏈都是穩(wěn)定的.

由引理4.1和定義4.1易見L是Artin半環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)L的任意非零理想都包含極小理想.

推論 4.1 任意有極小理想的整半環(huán)都是Artin半環(huán).

由定理3.2(iv)的證明知下面定理顯然成立.

定理 4.2 設(shè)L是有極小理想的乘法冪等半環(huán),則L的任一極小理想都只包含非零元.

由定理4.1和4.2可知下面推論成立.

推論 4.2 設(shè)L是Artin半環(huán),則下面3個(gè)條件等價(jià):

1) 半環(huán)L中不含非零冪零理想;

2) 半環(huán)L的任意極小理想都是冪等的;

3) 半環(huán)L是半單的.

定義 4.2[16]設(shè)L和S是2個(gè)半環(huán).若映射γ:L→S滿足下列條件:

1)γ(0L)=0S,γ(1L)=1S;

2)γ(r+r′)=γ(r)+γ(r′);

3) 對(duì)任意的r,r′∈L,γ(rr′)=γ(r)γ(r′),

則稱γ是半環(huán)L到S的同態(tài)映射.特別的,若同態(tài)映射γ是單射,則稱之為單同態(tài),若同態(tài)映射γ是滿射,則稱為滿同態(tài).既是單同態(tài)又是滿同態(tài),則稱之為同構(gòu)映射.

定理 4.3 設(shè)I是半環(huán)L上的極小理想.若I是冪等的,則存在L到I的滿同態(tài).

證明 不妨設(shè)I=〈e〉,對(duì)任意的r∈L,令γ:L→I,r|→re,則容易看出γ是滿射且γ(0R)=0I,γ(1R)=1I.又對(duì)任意的r∈L有

γ(r+r′)=(r+r′)e=

re+r′e=γ(r)+γ(r′),

γ(rr′)=rr′e=rer′e=γ(r)γ(r′).

因此γ(r)是L到I的滿同態(tài).

定理 4.4 設(shè)L是有極小理想的半環(huán),且

則M2(L)既有極小左理想也有極小右理想.

證明 設(shè)I=〈e〉是半環(huán)L的極小理想,令

則對(duì)任意的A∈M2(L),

AI1∈Δ,從而Δ是M2(L)的理想.現(xiàn)設(shè)J是M2(L)的一左理想且{0}≠J?Δ,則存在非零矩陣

J.

設(shè)

J.

因此Δ是M2(L)的一極小左理想.對(duì)極小右理想的情況同理可證.

定理 4.5 設(shè)γ:L→S是半環(huán)L到半環(huán)S的滿同態(tài),I=〈a〉是L的極小理想,則γ(I)是S的極小理想當(dāng)且僅當(dāng)γ(a)≠0S.且若I是冪等的,則γ(I)也是冪等的.

證明 必要性顯然成立,因此只需證明充分性即可.設(shè)γ(a)=b≠0S,則對(duì)任意的0S≠s∈S,存在0L≠r∈L使得γ(r)=s.由定理2.1知要么r′ra=a,r′∈L,要么ra=0L.如果r′ra=a,r′∈L有

γ(a)=γ(r′ra)=γ(r′)γ(r)γ(a).

從而對(duì)任意的s∈S,都存在s′=γ(r′)使得s′sb=b.因此由定理2.1可知γ(I)=γ(〈a〉)=〈b〉是S的極小理想.如果ra=0L,有s′b=0S.因此γ(I)是S的極小理想.進(jìn)一步地,若I是冪等的,則γ(I)也是冪等的.

引理 4.2[16]設(shè)γ:L→S是半環(huán)L到半環(huán)S的滿同態(tài),H是L的極小理想,則γ(H)也是S的理想.

定理 4.6 設(shè)γ:L→S是半環(huán)L到半環(huán)S的滿同態(tài),H=〈b〉是S的極小理想,其中,γ(a)=b,a∈L,b∈S,則γ(〈a〉)=H=〈γ(a)〉,且對(duì)任意的理想J,若0≠J?γ-1(H),則γ(J)=H.

證明 首先證明

γ-1(H)={r∈L|γ(r)∈H}

是L的理想.對(duì)任意的r1,r2∈γ-1(H),由

γ-1(r1+r2)=γ-1(r1)+γ-1(r2)∈H

可知r1+r2∈γ-1(H).又若r∈L,c∈γ-1(H),則

γ(rc)=γ(r)γ(c)∈H,

從而rc∈γ-1(H).因此γ-1(H)是L的理想.進(jìn)一步,因?yàn)棣檬菨M射,知道存在a∈L使得γ(a)=b,從而a∈γ-1(H)且a≠0L.因此〈a〉?γ-1(H)且γ(〈a〉)?γγ-1(H)?H.又由引理4.2知道γ(〈a〉)是S的理想,因此γ(〈a〉)=H=〈γ(a)〉.

設(shè)J是L的理想使得{0}≠J?γ-1(H),則存在非零元c∈J使得c∈γ-1(H).也就是說γ(c)∈H且〈c〉?γ-1(H).因此

γ(〈c〉)?γ(J)?γγ-1(H)?H,

于是γ(〈c〉)=H=γ(J).

定義 4.3[16]設(shè)I是半環(huán)L的理想.對(duì)任意的r∈L,令

r/I={r′|r+a=r′+b,a,b∈I},

L/I={r/I|r∈L}.

在L/I上定義算子+和·如下:對(duì)任意的r,r′∈L,r/I+r′/I=r+r′/I,r/I·r′/I=r·r′/I,則L/I=〈L/I,+,·,0/I,1/I〉是半環(huán),稱為L(zhǎng)的商半環(huán).

定理 4.7 設(shè)L是Artin半環(huán),則對(duì)L的任意理想I,L/I也是Artin半環(huán).

證明 定義映射f:L→L/I滿足：對(duì)任意的r∈L,f(r)=r/I,易見f是滿射.設(shè)H1?H2?…?Hn?…是L/I上的任一理想降鏈,則f-1(H1)?f-1(H2)?…?f-1(Hn)?….又L是Artin半環(huán),故存在n0使得f-1(Hn0)=f-1(Hn0+1)=…,因此ff-1(Hn0)=ff-1(Hn0+1)=…,即H1?H2?…?Hn?…也是穩(wěn)定的.因此L/I是Artin半環(huán).

引理 4.3 設(shè)I和J是半環(huán)L的2個(gè)理想.若0?I?J,則J=I+〈JI〉.

由引理4.3知下面引理成立.

引理 4.4 商半環(huán)L/I的任意理想都可表示成形如(I+H)/I的形式,其中H是L的理想.

定理 4.8 設(shè)(ideal(L),+,∩)是模格.若L/A是Artin半環(huán),其中,A是L的非零理想且A的任意非零理想都包含極小理想,則L是Artin半環(huán).

證明 任取L中的一理想降鏈I1?I2?…?In?….若L/A是Artin半環(huán),則存在m使得

Im+A=Im+i+A,i=1,2,….

因此Ip∩A,p=1,2,…,是A的理想,從而存在n≥m使得

In∩A=In+i∩A,i=1,2,….

若Ip?Iq,則Ip∩(Iq+A)=Iq+(Ip∩A),從而

In=In∩(In+A)=

In∩(In+i+A)=In+i+(In∩A)=

In+i+(In+i∩A)=In+i.

因此L是Artin半環(huán).

引理 4.5 2個(gè)冪零理想的和仍是冪零的.

}.

因此I1+I2是冪零的.

引理 4.6 設(shè)L是半環(huán)且I×(L)≠{0},則L中存在唯一最大冪零理想N,它包含L中所有冪零理想且L/N中沒有非零的冪零理想.

證明 設(shè)N是L中所有冪零理想的和,則由引理4.5知N是冪零的,且由I×(L)≠{0}知N≠L.若B/N是L/N的非零的冪零理想,則NB.如果(B/N)m=Bm/N=0/N且Nn={0},則(Bm)n?Nn={0}.因此B是冪零的,矛盾.

定理 4.9 設(shè)L是Artin半環(huán),則L的任一非冪零理想都包含乘法冪等元.

定理 4.10 (Artin半環(huán)的Wedderburn結(jié)構(gòu))半環(huán)L是半單的當(dāng)且僅當(dāng)它是有限個(gè)冪等的極小理想的直和.

證明 充分性 設(shè)L=I1⊕I2⊕…⊕In,其中,I1,I2,…,In都是L的極小理想,則L的任意理想H都是某些Ii的直和且都包含一極小理想,從而ideal(L)是模.因此H2=H且L中沒有冪零理想.下證L是Artin半環(huán).n=2時(shí)結(jié)論顯然成立,假設(shè)n=k時(shí)結(jié)論成立.設(shè)L=I1⊕I2⊕…⊕Ik+1且A=I1⊕I2⊕…⊕Ik,則由歸納假設(shè)知A是Artin的,因此L/A也是Artin的.從而由定理4.8知L是Artin的,因此L是半單的.反之,若L是半單的且有極小理想I1,則

L=I1+〈L/I1〉.

若〈L/I1〉是L的極小理想,則由定理3.1的2)知I1∩〈L/I1〉={0},也就意味著I1⊕〈L/I1〉=L.否則存在極小理想I2使得

〈L/I1〉=I2+〈〈L/I1〉/I2〉.

若〈〈L/I1〉/I2〉是極小理想,則

〈L/I1〉=I2⊕〈〈L/I1〉/I2〉,

且要么

L=I2⊕〈〈L/I1〉/I2〉,

要么

L=I1⊕I2⊕〈〈L/I1〉/I2〉.

若〈L/I1〉/I2〉不是極小理想,則按以上方法如此下去,能得到理想降鏈

〈L/I1〉?〈〈L/I1〉/I2〉?〈〈〈L/I1〉/I2〉/I3〉…,

由L是Artin的必有L是有限個(gè)極小理想的直和.

值得注意的是,定理4.9與文獻(xiàn)[15,18]中的結(jié)論是不同的,我們給出了半環(huán)是半單的充要條件,這與Artin環(huán)的Wedderburn結(jié)構(gòu)相似.

推論 4.3 若L是半單半環(huán),則它的單位元1能分解成有限個(gè)正交乘法冪等元的和.

5 結(jié)論

本文主要討論了有極小理想的半環(huán)的結(jié)構(gòu).首先給出了極小理想存在的一些充要條件,然后借助極小理想給出了半環(huán)的Wedderburn結(jié)構(gòu).值得指出的是,上面所有的結(jié)果都建立在交換半環(huán)上,然而同樣的結(jié)論在非交換半環(huán)上是否成立仍然是公開問題.

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2010 MSC：16Y60

(編輯 李德華)

Semirings with Minimal Ideals

HE Peng, SHU Qianyu
(CollegeofMathematicsandSoftwareScience,SichuanNormalUniversity,Chengdu610066,Sichuan)

This paper investigates the existence of minimal ideal in semirings and the structure of semiring with minimal ideal. Some sufficient and necessary conditions for the existence of minimal ideals in a semiring are given, some characterizations of minimal ideals are studied and the structure of semirings with minimal ideals is described.

semiring; minimal ideal; Wedderburn structure

2014-06-23

國(guó)家自然科學(xué)基金(11401410)、教育部博士點(diǎn)基金(20105134110002)和四川省教育廳自然科學(xué)青年基金(13ZB0165)

O153.3

A

1001-8395(2015)06-0810-08

10.3969/j.issn.1001-8395.2015.06.004

*通信作者簡(jiǎn)介：舒乾宇(1982—),女,副教授,主要從事半環(huán)的研究,E-mail:34956229@qq.com