●楊 虎 (禮縣職業(yè)中等專業(yè)學(xué)校 甘肅禮縣 742200)

一道一元二次方程根的分布題的探索、變式及推廣

●楊 虎 (禮縣職業(yè)中等專業(yè)學(xué)校 甘肅禮縣 742200)

一元二次方程與一元二次函數(shù)、一元二次不等式在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中占有重要地位，特別是一元二次方程根的分布問(wèn)題，更突顯方程與函數(shù)、不等式之間的緊密聯(lián)系.雖然這部分知識(shí)在高考中的考查有降低要求的趨勢(shì)，直接考查更是不多，但從培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力、數(shù)學(xué)素養(yǎng)方面來(lái)說(shuō)，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)對(duì)一元二次方程根的分布問(wèn)題的深入思考，進(jìn)一步鞏固一元二次方程的相關(guān)知識(shí)，加強(qiáng)對(duì)函數(shù)及不等式學(xué)習(xí)的理解，體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想方法的重要性有很大的幫助.下面對(duì)一道一元二次方程根的分布問(wèn)題進(jìn)行探索，對(duì)其變式進(jìn)行探究并加以推廣，從而歸納總結(jié)一元二次方程根的分布問(wèn)題的類型及解題規(guī)律，以達(dá)到觸類旁通之效.

1 問(wèn)題的思考及探索

題目 已知一元二次方程x2+(m+2)x+3+m=0的2個(gè)根都小于3，求參數(shù)m的取值范圍.

錯(cuò)誤解法 設(shè)方程的2個(gè)根分別為x1,x2，根據(jù)題意

即

思考 學(xué)生在此解法中，由于對(duì)題目沒(méi)有作深入的分析，對(duì)已知條件x1<3，x2<3運(yùn)用不當(dāng)，想當(dāng)然而為之，誤認(rèn)為x1<3,x2<3，便可以得到x1+x2<6.在這里x1<3,x2<3是x1+x2<6的充分條件而不是充要條件，因此出現(xiàn)了以上錯(cuò)誤的解法，那么此題應(yīng)如何正確解答呢？

探索1 運(yùn)用求根公式，直接求解

解法1 設(shè)方程的2個(gè)根分別為x1,x2，由求根公式得

“直接”也就是用平時(shí)常用的、最容易想到的方法解題.由于本題是一元二次方程根的問(wèn)題，自然想到用求根公式，在上面的探索中我們體會(huì)到，此解法思維過(guò)程簡(jiǎn)捷，列式簡(jiǎn)單，但是運(yùn)算較復(fù)雜，特別是對(duì)無(wú)理不等式的處理，需要學(xué)生有扎實(shí)的基本功.此時(shí)我們不禁發(fā)問(wèn)：能否把問(wèn)題轉(zhuǎn)化，使其簡(jiǎn)單一點(diǎn)呢？

探索2 運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，韋達(dá)定理求解

遇到一元二次方程問(wèn)題，我們自然會(huì)想到韋達(dá)定理，那么此題運(yùn)用韋達(dá)定理解決能否將問(wèn)題簡(jiǎn)化呢？我們不妨一試.

解法2 設(shè)方程的2個(gè)根分別為x1,x2，由韋達(dá)定理知

x1+x2=-(m+2)，x1x2=3+m,

要使方程的2個(gè)根都小于3，則需Δ=(m+2)2-4(3+m)≥0且x1<3,x2<3，可等價(jià)轉(zhuǎn)化為

即

得

很顯然上述探索將問(wèn)題巧妙地轉(zhuǎn)化后再用韋達(dá)定理，達(dá)到了簡(jiǎn)化問(wèn)題的效果.那么此題是否還有更簡(jiǎn)單的方法呢？

圖1

探索3 運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，根據(jù)函數(shù)圖像求解

如圖1，一元二次方程的2個(gè)根都小于3，也就是一元二次函數(shù)與x軸的2個(gè)交點(diǎn)都在3的左邊，故此題也可用數(shù)形結(jié)合思想(利用一元二次函數(shù)的圖像)來(lái)求解，即通過(guò)對(duì)函數(shù)f(x)=x2+(m+2)x+3+m的開(kāi)口方向、對(duì)稱軸、判別式、特殊點(diǎn)等方面的考查來(lái)解決(有時(shí)某個(gè)方面可以省略，如判別式、對(duì)稱軸等).

解法3 設(shè)一元二次方程為x2+(m+2)x+3+m=0,所對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)為

f(x)=x2+(m+2)x+3+m,

二次項(xiàng)系數(shù)a=1，函數(shù)圖像開(kāi)口向上.要使得方程x2+(m+2)x+3+m=0的2個(gè)根都小于3，也就是一元二次函數(shù)x2+(m+2)x+3+m=0與x軸的2個(gè)交點(diǎn)都在3的左邊，則需

得

至此，我們發(fā)現(xiàn)在以上的3種探索方法中，探索3運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想、根據(jù)函數(shù)圖像求解，思維過(guò)程最為簡(jiǎn)捷，運(yùn)算最為簡(jiǎn)單，故不失為此題最精妙的解法.不難概括其基本思路是：設(shè)出一元二次方程對(duì)應(yīng)的一元二次函數(shù)，結(jié)合函數(shù)圖像的特征，對(duì)方程的判別式、給定定義域上的函數(shù)值、對(duì)稱軸在定義域上的分布情況進(jìn)行全面分析，再列出合適的不等式求解.那么這樣的思維方法是否也適用于其他同類問(wèn)題呢？

2 變式探究

變式探究1 若一元二次方程x2+(m+2)x+3+m=0的2個(gè)根都大于3，求參數(shù)m的取值范圍.

變式探究2 若一元二次方程x2+(m+2)x+3+m=0的一根大于3，另一根小于3，求參數(shù)m的取值范圍.

變式探究3 若一元二次方程x2+(m+2)x+3+m=0的2個(gè)根都在[3,4]外，且一根比3小，另一根比4大，求參數(shù)m的取值范圍.

探究過(guò)程 由以上探索3的基本思路，設(shè)一元二次方程x2+(m+2)x+3+m=0對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)為f(x)=x2+(m+2)x+3+m，根據(jù)函數(shù)圖像特征有:

1)如圖2,要使一元二次方程x2+(m+2)x+3+m=0的2個(gè)根都大于3，也就是一元二次函數(shù)f(x) =x2+(m+2)x+3+m與x軸的交點(diǎn)都在3的右邊，則需

得

解得m的值不存在.

圖2 圖3 圖4

2)如圖3,要使一元二次方程x2+(m+2)x+3+m=0的一根大于3，另一根小于3，只需f(3)<0，即

9+3(m+2)+3+m<0,

3)如圖4,要使一元二次方程x2+(m+2)x+3+m=0的2個(gè)根都在[3,4]外，且一根比3小，另一根比4大，則需

即

在對(duì)以上變式的探索中我們發(fā)現(xiàn)，設(shè)出一元二次方程對(duì)應(yīng)的一元二次函數(shù)，結(jié)合函數(shù)圖像的特征，對(duì)方程的判別式、給定定義域上的函數(shù)值、對(duì)稱軸在定義域上的分布情況(有時(shí)某個(gè)方面可以省略，如判別式、對(duì)稱軸等)進(jìn)行全面分析，再列出合適的不等式求解，這種解題思路及基本方法具有一般性，完全適用于其他一元二次方程根的分布問(wèn)題.

3 推廣

基于以上的探索思考、探究歸納，對(duì)一元二次方程根的分布類型及解題規(guī)律進(jìn)行推廣如下：

對(duì)一元二次方程ax2+bx+c=0(其中a≠0)和二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c=0，有：

推廣1 方程f(x)=0的2個(gè)根都比k小的充要條件是

推廣2 方程f(x)=0的2個(gè)根都比k大的充要條件是

推廣3 方程f(x)=0的一根都在(m,n)內(nèi)，另一根在(p,q)內(nèi)的充要條件是

推廣4 方程f(x)=0的2個(gè)根都在[m,n]內(nèi)的充要條件是

推廣5 方程f(x)=0的一根比k大，一根比k小的充要條件是af(k)<0.

推廣6 方程f(x)=0的2個(gè)根都在[m,n]外，且一根比m小，另一根比n大的充要條件是

結(jié)束語(yǔ) 一元二次方程、一元二次不等式的許多問(wèn)題常常要借助于與之對(duì)應(yīng)的一元二次函數(shù)圖像的性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合思想探求解題方法，同時(shí)也有不少二次函數(shù)問(wèn)題的解決又常與對(duì)應(yīng)的一元二次方程的根及一元二次不等式的解集密切相關(guān).因此，熟練掌握“3個(gè)二次”的內(nèi)在聯(lián)系與相互轉(zhuǎn)化，借助函數(shù)的圖像，是解決諸如此類問(wèn)題的最佳思路.

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