摘 要：計(jì)算方法是一門與計(jì)算機(jī)密切相關(guān)的課程，能夠?yàn)楦鞣N數(shù)學(xué)問(wèn)題的數(shù)值求解提供最有效的算法，已經(jīng)成為許多理工科專業(yè)學(xué)生的一門專業(yè)必修課。該文針對(duì)目前應(yīng)用型人才培養(yǎng)的目標(biāo)，結(jié)合計(jì)算方法課程的教學(xué)實(shí)踐，首先對(duì)計(jì)算方法課程教學(xué)中常見的問(wèn)題進(jìn)行了簡(jiǎn)單的分析，然后應(yīng)用多元化的教學(xué)方法，開展了一系列有關(guān)計(jì)算方法課程教學(xué)方法和手段的改革與實(shí)踐，擺脫了傳統(tǒng)教學(xué)模式下枯燥乏味的狀態(tài)，確保了教學(xué)質(zhì)量的提高和人才培養(yǎng)目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)。

關(guān)鍵詞：計(jì)算方法 教學(xué)質(zhì)量 教學(xué)改革 多元化

中圖分類號(hào)：G642 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1674-098X（2015）08（b）-0189-03

Abstract： The numerical methods course is closely related with computer science， provides the most efficient algorithm for the numerical study of the various mathematical problems and has become a required course for many science and engineering majors. In this paper， aiming at the current application personnel training objectives， combining with teaching practice of numerical methods courses， the common problems in numerical methods course teaching are firstly briefly analyzed， and then a series of reform and practice on numerical methods course teaching is carried out by using the diversification of teaching methods， which can get rid of the boring state of traditional teaching mode and ensure the enhancement of the teaching quality and the realization of the goal of talents cultivation.

Key words： Numerical methods； Teaching quality； Teaching reform； Diversification

隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的快速發(fā)展，科學(xué)計(jì)算在科學(xué)研究與工程實(shí)踐中的地位越來(lái)越重要，已經(jīng)上升為與傳統(tǒng)的實(shí)驗(yàn)測(cè)定與理論分析方法相媲美的第三種科學(xué)研究方法。作為介紹科學(xué)計(jì)算的基礎(chǔ)理論與基本方法的課程，計(jì)算方法或數(shù)值分析是一門與計(jì)算機(jī)密切相關(guān)的實(shí)用性很強(qiáng)的課程，是研究使用計(jì)算機(jī)求解各種數(shù)學(xué)問(wèn)題的方法、理論及其軟件實(shí)現(xiàn)的一個(gè)數(shù)學(xué)分支。該課程既有純數(shù)學(xué)的嚴(yán)密科學(xué)性與高度抽象性的特點(diǎn)，又有實(shí)際實(shí)驗(yàn)的高度技術(shù)性與應(yīng)用廣泛性的特點(diǎn)，已經(jīng)成為許多理工科專業(yè)學(xué)生的一門必修課[1]。由于計(jì)算方法課程在人才培養(yǎng)中的地位和作用，特別是應(yīng)用型人才培養(yǎng)中的作用，就需要教師“教好”和學(xué)生“學(xué)好”這門課程。但是由于計(jì)算方法課程自身的特點(diǎn)，要把“教好”和“學(xué)好”這二者有機(jī)地統(tǒng)一起來(lái)并不是一件容易的事。傳統(tǒng)的教學(xué)模式往往容易出現(xiàn)顧此失彼的情況，不能把二者有機(jī)地統(tǒng)一起來(lái)。為了解決教師“教好”和學(xué)生“學(xué)好”這兩個(gè)方面的問(wèn)題，就需要結(jié)合人才培養(yǎng)的目標(biāo)，開展計(jì)算方法課程教學(xué)改革方面的研究與實(shí)踐，通過(guò)多元化的教學(xué)模式，全面提高課程的教學(xué)質(zhì)量和人才培養(yǎng)的質(zhì)量[2，3]。

1 計(jì)算方法課程教學(xué)方面的問(wèn)題分析

由于計(jì)算方法課程自身的特點(diǎn)，在“教好”與“學(xué)好”兩個(gè)方面容易出現(xiàn)一些問(wèn)題，限制了課程教學(xué)的良性發(fā)展和教學(xué)質(zhì)量的提高，現(xiàn)總結(jié)如下。

（1）知識(shí)的銜接問(wèn)題。

計(jì)算方法課程涉及了微積分、線性代數(shù)、常微分方程和高級(jí)語(yǔ)言程序設(shè)計(jì)等多方面的知識(shí)，用到的許多知識(shí)點(diǎn)有相當(dāng)一部分學(xué)生已經(jīng)淡忘了，所以教師在授課時(shí)會(huì)比較費(fèi)力，而學(xué)生也往往比較茫然。因此在計(jì)算方法課程的教學(xué)中，就需要做好遺忘知識(shí)的溫習(xí)和鞏固工作，處理好新舊知識(shí)的銜接問(wèn)題，讓課程的教學(xué)工作得以順利開展。

（2）計(jì)算公式冗長(zhǎng)且難以熟記問(wèn)題。

有許多數(shù)值計(jì)算公式都比較冗長(zhǎng)繁瑣，推導(dǎo)起來(lái)費(fèi)時(shí)費(fèi)力，而學(xué)生也很難長(zhǎng)久記憶，這容易導(dǎo)致課堂教學(xué)缺乏生機(jī)和活力，而學(xué)生也容易產(chǎn)生煩躁和厭學(xué)的情緒，不利于教學(xué)工作的順利開展。為此就需要分析產(chǎn)生這種問(wèn)題的原因是什么，思考怎樣才能有效地解決計(jì)算公式冗長(zhǎng)且難以熟記問(wèn)題，怎樣才能有效地避免學(xué)生煩躁和厭學(xué)情緒的產(chǎn)生，怎樣才能讓課堂教學(xué)富有生機(jī)和活力。

（3）數(shù)值方法的應(yīng)用問(wèn)題。

有一些學(xué)生在經(jīng)過(guò)一段時(shí)間的學(xué)習(xí)之后，仍然會(huì)提出“這些方法有什么用？”和“為什么要學(xué)習(xí)這些方法？”諸如此類的問(wèn)題，也就是說(shuō)有些學(xué)生一直不理解為什么要學(xué)習(xí)這些“特殊”的方法，對(duì)這些數(shù)值方法的應(yīng)用沒有一個(gè)清晰的概念，沒有認(rèn)識(shí)到所學(xué)習(xí)的數(shù)值方法在實(shí)際應(yīng)用中的重要意義，在整個(gè)學(xué)習(xí)過(guò)程中都處于思路不清晰和渾渾噩噩的狀態(tài)。

（4）課堂教學(xué)的設(shè)計(jì)問(wèn)題。

對(duì)于計(jì)算方法課程的課堂教學(xué)，需要處理好理論分析與例題講解之間的關(guān)系，需要處理好算法設(shè)計(jì)與程序?qū)崿F(xiàn)之間的關(guān)系，需要處理好當(dāng)前學(xué)習(xí)與日后深造之間的關(guān)系。例如在講解例題時(shí)，很多例題都需要應(yīng)用所講的數(shù)值方法借助計(jì)算機(jī)才能給出求解結(jié)果，那么在課堂上對(duì)學(xué)生進(jìn)行例題講解時(shí)，怎樣才能讓學(xué)生更好地理解解題的方法和過(guò)程，怎樣才能提高學(xué)生應(yīng)用所學(xué)的數(shù)值方法解決實(shí)際問(wèn)題的能力，這些都需要在教學(xué)中不斷地進(jìn)行探索與實(shí)踐。

（5）數(shù)值實(shí)驗(yàn)的實(shí)踐問(wèn)題。

在計(jì)算方法課程的整個(gè)教學(xué)過(guò)程中，數(shù)值實(shí)驗(yàn)教學(xué)是非常重要的一個(gè)環(huán)節(jié)，不僅可以加強(qiáng)學(xué)生對(duì)所學(xué)數(shù)值方法的理解與認(rèn)識(shí)，而且還可以提高學(xué)生的編程能力和解決實(shí)際問(wèn)題的能力。如何安排數(shù)值實(shí)驗(yàn)實(shí)踐活動(dòng)，如何把課堂教學(xué)與課外實(shí)踐有機(jī)的結(jié)合起來(lái)，如何把數(shù)學(xué)建模活動(dòng)和數(shù)值實(shí)驗(yàn)教學(xué)融合在一起，是值得深入思考的問(wèn)題。

2 計(jì)算方法課程教學(xué)改革的研究與實(shí)踐

在計(jì)算方法課程教學(xué)中一方面需要提供面向計(jì)算機(jī)的各種數(shù)值計(jì)算方法，并需要對(duì)每種方法進(jìn)行相關(guān)的理論分析；另一方面需要完成從理論到實(shí)踐的全過(guò)程，培養(yǎng)分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，這就對(duì)計(jì)算方法課程的教學(xué)方法和教學(xué)手段提出了更高的要求。針對(duì)前述計(jì)算方法課程教學(xué)中容易出現(xiàn)的問(wèn)題，開展了計(jì)算方法課程教學(xué)方面的一系列改革與實(shí)踐，具體如下：

2.1 課堂授課方式的改革與實(shí)踐

為了調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性和參與課堂教學(xué)活動(dòng)的積極性，就需要改變傳統(tǒng)的教學(xué)方式，增強(qiáng)課堂教學(xué)的互動(dòng)性，讓課堂教學(xué)充滿生機(jī)和活力。為此采取教師主講、學(xué)生主講和課堂討論相結(jié)合的方式組織課堂教學(xué)活動(dòng)，這樣就改變了由教師完成全部授課任務(wù)的單一教學(xué)模式，可以化被動(dòng)學(xué)習(xí)為主動(dòng)學(xué)習(xí)，極大地調(diào)動(dòng)學(xué)生參與課堂教學(xué)活動(dòng)的積極性。由于計(jì)算方法課程知識(shí)點(diǎn)比較瑣碎且各知識(shí)點(diǎn)之間相對(duì)比較獨(dú)立，所以便于開展師生互動(dòng)的授課形式。開展這樣的授課形式，任課教師要提前安排好，每一章開始之前就要安排好哪些內(nèi)容教師主講哪些內(nèi)容學(xué)生主講，一般要提前一周把學(xué)生要講的內(nèi)容布置下去，讓學(xué)生有充分的準(zhǔn)備時(shí)間。這里教師要起到引導(dǎo)的作用，要讓學(xué)生明白講什么、怎么講和怎么組織課堂教學(xué)活動(dòng)，借助教師授課的示范作用，讓學(xué)生逐步適應(yīng)這種多元化的授課方式。另外，在授課過(guò)程中教師要給予及時(shí)的啟發(fā)和指導(dǎo)，引導(dǎo)其他學(xué)生對(duì)授課學(xué)生所講的內(nèi)容進(jìn)行督導(dǎo)，有問(wèn)題或疑問(wèn)時(shí)引導(dǎo)學(xué)生積極討論，在學(xué)生授課結(jié)束時(shí)任課教師還要進(jìn)行點(diǎn)評(píng)和總結(jié)，特別是一些學(xué)生難于理解或認(rèn)識(shí)不到的內(nèi)容進(jìn)行講評(píng)。通過(guò)這樣的授課方式，改變了學(xué)生被動(dòng)學(xué)習(xí)的狀態(tài)，激發(fā)了學(xué)生的積極性，使課堂教學(xué)更加靈活更加富有活力。

2.2 課堂教學(xué)活動(dòng)的改革與實(shí)踐

課堂教學(xué)是整個(gè)課程教學(xué)中最重要的一環(huán)，關(guān)系著學(xué)生的學(xué)習(xí)效果和課程的教學(xué)質(zhì)量，因此要特別重視課堂教學(xué)活動(dòng)，需要對(duì)整個(gè)課堂教學(xué)活動(dòng)進(jìn)行精心的設(shè)計(jì)和準(zhǔn)備。針對(duì)計(jì)算方法課程，主要從以下三個(gè)方面開展研究與實(shí)踐。一是內(nèi)容的引入方面。每一章開始時(shí)通過(guò)思考題或分析讓學(xué)生了解本章內(nèi)容的應(yīng)用背景，理解為什么要進(jìn)行本章內(nèi)容的學(xué)習(xí)。例如，在講解插值法和最小二乘擬合法時(shí)通過(guò)下面的一個(gè)思考題進(jìn)行內(nèi)容的引入。（見表1）

根據(jù)表1中數(shù)據(jù)，請(qǐng)合理地估計(jì)出其它深度（如500 m，600 m，1000 m…）處的水溫？二是內(nèi)容的要求方面。在每一章開始時(shí)，要介紹清楚本章的知識(shí)結(jié)構(gòu)，要讓學(xué)生明白哪些知識(shí)點(diǎn)是重點(diǎn)內(nèi)容，哪些知識(shí)點(diǎn)是難點(diǎn)內(nèi)容，要讓學(xué)生明白哪些內(nèi)容需要掌握哪些內(nèi)容需要了解。這樣學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中目標(biāo)就比較明確，不至于盲目而抓不住重點(diǎn)。三是內(nèi)容的總結(jié)方面?？偨Y(jié)很重要，可以從不同角度或更高層面上重新分析或探討所講的內(nèi)容。對(duì)每一個(gè)內(nèi)容在講解完了之后都要及時(shí)進(jìn)行總結(jié)，不僅可以加深學(xué)生對(duì)內(nèi)容的理解和掌握，而且還可以啟發(fā)學(xué)生進(jìn)行深入的思考和探討。例如，在介紹完Gauss消去法之后，可以進(jìn)行如下的總結(jié)。Gauss消去法是目前求解中小規(guī)模線性方程組常用的方法，一般適用于系數(shù)矩陣稠密的線性方程組，但這個(gè)算法是不穩(wěn)定的。經(jīng)過(guò)改進(jìn)的Gauss列主元消去法具有良好的數(shù)值穩(wěn)定性，是計(jì)算機(jī)上使用較多的一種有效方法。經(jīng)過(guò)改進(jìn)的還有Gauss全主元消去法和Gauss-Jordan消去法。

2.3 課外實(shí)踐活動(dòng)的改革與實(shí)踐

課外實(shí)踐對(duì)課堂教學(xué)起到重要的補(bǔ)充作用，可以輔助完成整個(gè)教學(xué)活動(dòng)。在課外實(shí)踐活動(dòng)環(huán)節(jié)中，一方面可以讓學(xué)生做好預(yù)習(xí)，對(duì)所涉及的微積分、線性代數(shù)和常微分方程等方面的知識(shí)提前溫習(xí)和鞏固，這樣不僅可以讓學(xué)生能及時(shí)跟上講課的節(jié)奏，準(zhǔn)確地把握授課的重難點(diǎn)，而且還可以解決新舊知識(shí)的銜接問(wèn)題；另一方面主要是讓學(xué)生開展數(shù)值實(shí)驗(yàn)，完成數(shù)值實(shí)驗(yàn)報(bào)告。開展數(shù)值實(shí)驗(yàn)是對(duì)所學(xué)習(xí)數(shù)值方法的實(shí)踐和訓(xùn)練，也是對(duì)課程教學(xué)效果的檢驗(yàn)和測(cè)評(píng)。數(shù)值實(shí)驗(yàn)是課外實(shí)踐活動(dòng)中的重要一環(huán)，開展好這項(xiàng)活動(dòng)，不僅可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，而且還可以提高學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。這里為了促進(jìn)課外實(shí)踐活動(dòng)的開展，可以組織計(jì)算方法課程的學(xué)習(xí)興趣小組，讓學(xué)生自由分組聚集在一起學(xué)習(xí)和討論，共同努力解決遇到的問(wèn)題，一方面培養(yǎng)了學(xué)生之間團(tuán)結(jié)合作的意識(shí)；另一方面還提高了學(xué)生學(xué)習(xí)的效果和課程的教學(xué)質(zhì)量。

2.4 課程雙語(yǔ)教學(xué)的改革與實(shí)踐

為了滿足學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)的需要，為了拓展學(xué)生的知識(shí)面和眼界，為了跟上當(dāng)前教育的發(fā)展趨勢(shì)，計(jì)算方法課程也要進(jìn)行雙語(yǔ)教學(xué)的改革和實(shí)踐。與傳統(tǒng)的中文教學(xué)模式不同，雙語(yǔ)教學(xué)有其自身的特點(diǎn)，特別是在語(yǔ)言的表述方式和習(xí)慣方面。在進(jìn)行計(jì)算方法課程雙語(yǔ)教學(xué)的實(shí)踐時(shí)，要認(rèn)真制作和開發(fā)一套英文版的教學(xué)課件，要確保專有名詞的正確表達(dá)，要確保課件中英文表述準(zhǔn)確地道，只有這樣才能保證雙語(yǔ)教學(xué)的健康發(fā)展[4]。這里為了確保計(jì)算方法課程雙語(yǔ)教學(xué)的順利開展，首先需要向?qū)W生推薦一本優(yōu)秀的英文教材，便于學(xué)生自學(xué)和參考；其次課堂板書要全部實(shí)現(xiàn)純英文板書，為學(xué)生創(chuàng)造一個(gè)純英文的學(xué)習(xí)環(huán)境；最后作業(yè)和課程測(cè)試也要實(shí)現(xiàn)英文化，使學(xué)生得到一定程度的訓(xùn)練，逐步提高學(xué)生專業(yè)英語(yǔ)的水平。下面針對(duì)求解線性方程組的迭代方法，給出三張英文版課件設(shè)計(jì)示例，僅供交流和參考。

示例1：Introduction of Iterative Methods

The iterative methods are used extensively in the solution of linear systems that arise in the numerical solution of boundary value problems and partial differential equations. These systems are often very large and are sparse with their nonzero entries in predictable positions.

示例2：

Theorem 4 The following statements are equivalent.

（i）A is a convergent matrix.

（ii）limn→∞||An||=0，for some natural norm.

（iii）limn→∞||An||=0，for all natural norms.

（iv）ρ（A）< 1.

（v）limn→∞Anx= 0，for every x.

示例3：

To write the Gauss-Seidel method in matrix form， transform Ax = （D L U）x=binto

（D L）x=Ux+b，

then we have the Gauss-Seidel method represented by

x（k+1）=（D L）?1Ux（k）+（D L）?1b，for each k=0，1， ….

Letting Bg = （D L）?1U and fg = （D L）?1b， gives the Gauss-Seidel technique the form

x（k+1）=Bgx（k）+fg.

2.5 數(shù)學(xué)建模融入的改革與實(shí)踐

計(jì)算方法課程中所介紹的數(shù)值計(jì)算方法在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)具有非常重要的應(yīng)用價(jià)值，許多數(shù)值計(jì)算方法本身就是一種數(shù)學(xué)建模的方法，例如插值法和最小二乘擬合法。一旦計(jì)算方法課程教學(xué)與數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)結(jié)合起來(lái)，各種數(shù)值計(jì)算方法就有了用武之地，計(jì)算方法課程教學(xué)就充滿了生機(jī)和活力。因此在計(jì)算方法課程教學(xué)中融入數(shù)學(xué)建模的思想和方法，把計(jì)算方法課程教學(xué)與數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)有機(jī)地結(jié)合起來(lái)，從學(xué)生角度可以加深對(duì)所學(xué)內(nèi)容的理解，可以提高應(yīng)用所學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，可以增強(qiáng)計(jì)算方法課程學(xué)習(xí)的興趣；從教師角度可以深化計(jì)算方法課程教學(xué)的內(nèi)涵，可以提高計(jì)算方法課程教學(xué)的質(zhì)量，可以促進(jìn)人才培養(yǎng)目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)。把數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)融入計(jì)算方法課程教學(xué)中，要注意把握好融入的時(shí)機(jī)，要注意利用好課外的時(shí)間，要注意選取合適的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題。例如，在非線性方程數(shù)值解法這一內(nèi)容授課結(jié)束之后，可以讓學(xué)生結(jié)合數(shù)學(xué)建模分析和討論“排水渠道的設(shè)計(jì)問(wèn)題”；在插值法和最小二乘擬合法這一部分內(nèi)容授課結(jié)束之后，讓學(xué)生結(jié)合數(shù)學(xué)建模求解“黃河小浪底調(diào)水調(diào)沙問(wèn)題”；在常微分方程數(shù)值解法這一部分內(nèi)容授課結(jié)束之后，讓學(xué)生結(jié)合數(shù)學(xué)建模數(shù)值求解“食餌與捕食者兩個(gè)生物種群數(shù)目變化問(wèn)題”[5]。

3 結(jié)語(yǔ)

開展計(jì)算方法課程教學(xué)改革方面的研究，進(jìn)行一系列的探索與實(shí)踐，取得了較好的教學(xué)效果，擺脫了傳統(tǒng)教學(xué)模式下枯燥乏味的狀態(tài)，使得計(jì)算方法課程教學(xué)呈現(xiàn)多元化，充滿了生機(jī)和活力。通過(guò)上述課程教學(xué)方面的一系列改革與實(shí)踐，有助于提高學(xué)生參與課堂教學(xué)的積極性和課外學(xué)習(xí)的主動(dòng)性，有助于提高學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，有助于提高計(jì)算方法課程教學(xué)的質(zhì)量，有力地促進(jìn)了人才培養(yǎng)目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)。

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