摘 要：構(gòu)造一個由兩種不同類型的單負(fù)材料（ENG和MNG）周期排列所組成的一維光子晶體。利用傳輸矩陣?yán)碚撗芯吭摼w的帶隙結(jié)構(gòu)，通過色散關(guān)系確定零？準(zhǔn)eff帶位置。結(jié)果出現(xiàn)一個特殊的禁帶零？準(zhǔn)eff帶，該禁帶的寬度與材料的厚度有關(guān)，而與晶格常數(shù)、入射角無關(guān)。

關(guān)鍵詞：光子晶體；零？準(zhǔn)eff帶；單負(fù)材料

引言

光子晶體是由周期性的電介質(zhì)結(jié)構(gòu)材料構(gòu)成的，其主要的兩個主要特征是光子帶隙和光子局域。傳統(tǒng)的正折射率材料所組成的光子晶體的帶隙受到晶格常數(shù)、入射角、介質(zhì)厚度的等因素的影響。近年對特異材料也就是折射率為負(fù)的材料成為研究的熱點。

1 晶體模型與計算方法

設(shè)光子晶體是由A和B兩種單負(fù)材料周期性交替排列構(gòu)成，設(shè) 平面為入射面，其中xoy平面與光子晶體的表面相平行，z軸為其法線方向。將光子晶體置于空氣中，假設(shè)N為其周期數(shù)，這樣的光子晶體結(jié)構(gòu)簡寫為（AB）20。A為負(fù)介電常數(shù)材料（ENG），B為負(fù)磁導(dǎo)率材料（MNG）。其厚度分別為d1和d2，相對介電常數(shù)和相對磁導(dǎo)率參數(shù)為：

2 單負(fù)材料光子晶體的帶結(jié)構(gòu)

對于有A、 B兩種單負(fù)材料構(gòu)成的光子晶體（AB）20，利用傳輸矩陣?yán)碚撗芯科渫干渥V。計算中，取介質(zhì)A的厚度d1=20mm、介質(zhì)B的厚度d2=5mm。當(dāng)光垂直入射時，TE模、TM模的透射譜完全相同，見圖1（a）。

圖1 （AB）20的帶隙及色散曲線

在圖1（a）圖中出現(xiàn)了三個帶隙，其中兩個帶隙出現(xiàn)在頻率較大的區(qū)間，此時的頻率對應(yīng)的是在普通介質(zhì)組成的光子晶體中中存在的。而出現(xiàn)在較低的頻率上的帶隙是由單負(fù)材料構(gòu)成的光子晶體。在單負(fù)材料雖然在這一頻段，每一層介質(zhì)都是單負(fù)特性，電磁波在單一介質(zhì)材料中傳輸時是倏逝波，但是由于在不同的單負(fù)材料層中這種倏逝波的特性不同，通過不同介質(zhì)層中不同倏逝波之間的相互作用，還是可以形成通帶，（1～3）、（7.5～10）GHz段電磁波能夠穿過晶體，僅在（3～7.5）GHz段出現(xiàn)了帶隙。

此外，我們還可以利用色散關(guān)系式來研究光子晶體的帶隙結(jié)構(gòu)。令色散關(guān)系式等式右邊的值為：

其隨頻率ω的變化關(guān)系如圖1（b）所示。當(dāng)f的絕對值大于1時，對應(yīng)的色散關(guān)系式cos（Kd）=f中傳播常數(shù)K就無實數(shù)解，也就是說，在該頻率帶內(nèi)電磁波無法穿過晶體結(jié)構(gòu)，表現(xiàn)出禁帶。如圖1（b）中的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ區(qū)域，f的絕對值大于1，所對應(yīng)的頻率范圍就是禁帶域。如果f的絕對值小于等于1時，對應(yīng)的色散關(guān)系式cos（Kd）=f中的K就有實數(shù)解，即該頻率帶內(nèi)的電磁波可以穿過晶體結(jié)構(gòu)，是允帶。

利用這一方法得到的帶結(jié)構(gòu)，如圖1中的箭頭所示。

3 零？準(zhǔn)eff帶

在圖3中5GHz附近的禁帶，稱為零有效相位（？準(zhǔn)eff）帶，這是一個與傳統(tǒng)Bragg反射帶不同的特殊禁帶。

3.1 零？準(zhǔn)eff帶的偏振特性

當(dāng)光以入射角？茲斜入射到光子晶體（AB）20上時，不同偏振態(tài)的電磁波其透射譜會發(fā)生變化。

圖2 入射角對TE模帶隙的影響

圖3 入射角對TM模帶隙的影響

圖2給出了入射角不同時一維光子晶體（AB）20TE模的帶隙變化，而圖3描述的則是TM模的帶隙變化。數(shù)值模擬時，取介質(zhì)A的厚度d1=20mm、介質(zhì)B的厚度d2=5mm。當(dāng)入射角是0°時，TE模的帶隙位置出現(xiàn)在頻率2.94GHz～7.50GHz之間，而TM模則大約在頻率2.87～7.44GHz之間，TM模也出現(xiàn)了這種透射率幾乎為零的禁帶，并且當(dāng)入射角發(fā)生變化時帶隙的位置幾乎不發(fā)生變化。當(dāng)入射角為60°時帶隙的位置在2.92GHz～7.53GHz之間。而圖2描述的入射角對一維光子晶體（AB）20模的帶隙變化。從圖中可以看出大約在頻2.87～7.44GHz也出現(xiàn)了這種透射率幾乎為零的禁帶，并且當(dāng)入射角發(fā)生變化時帶隙的位置幾乎不發(fā)生變化。

由圖2和圖3，可以看出這種單負(fù)材料組成的光子晶體中存在著一個特殊的禁帶，入射角對帶隙的位置影響不大，并且?guī)兜闹行奈恢么蠹s位于5GHz，而傳統(tǒng)的Bragg帶隙位置對入射角的變化非常敏感。

圖4 入射角對TE模Bragg帶隙的影響

在圖4中，除了上面所說的這種特殊帶隙、正常Bragg反射帶外，還有一個禁帶：就是在10GHz附近出現(xiàn)的反射帶。這個反射帶稱為斜角帶[2]，它只出現(xiàn)在電磁波斜入射的情況下，而且位置始終在10GHz附近?？梢娢覀兦懊嫜芯康膱D4中的帶隙與傳統(tǒng)的Bragg帶隙不一樣。這種單負(fù)材料組成的光子晶體中存在著一個特殊的禁帶，入射角對帶隙的位置影響不大，并且?guī)兜闹行拇蠹s位于5 GHz。進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)在禁帶中心滿足|kz1d1|=|kz2d2|，即有效相位為零。因此，被稱為零有效位相帶隙[3]。該特殊帶隙形成的原因是倏逝模之間的相互作用，是由局域共振機制產(chǎn)生。

3.2 晶格常數(shù)對零？準(zhǔn)eff帶的影響

為了研究晶格常數(shù)對零？準(zhǔn)eff帶隙的影響，我們?nèi)匀贿x?。ˋB）20光子晶體為研究模型。只改變兩種介質(zhì)中的結(jié)構(gòu)參數(shù)，A和B的其它結(jié)構(gòu)參數(shù)不變。當(dāng)入射角為0°時，改變兩種介質(zhì)中的結(jié)構(gòu)參數(shù)研究帶隙有什么變化。數(shù)值模擬結(jié)果如圖5和圖6，其中圖5是模擬的單負(fù)材料構(gòu)成的光子晶體中得的零？準(zhǔn)eff帶，可以看出該禁帶中心位于5GHz，分析圖6可以得出帶寬依賴于d1/d2的比值，而與d1、d2的具體尺寸無關(guān)。隨著d1/d2比值的變化，零？準(zhǔn)eff帶的帶寬隨之改變。并且從3.1的研究發(fā)現(xiàn)，這一零？準(zhǔn)eff帶還與入射電磁波的入射方向無關(guān)，是一個全向反射帶。

可見晶格常數(shù)對零？準(zhǔn)eff帶的影響均與傳統(tǒng)的Bragg帶不同，利用這些特性，可以制作優(yōu)良的全反射鏡。

圖5 晶格常數(shù)對零？準(zhǔn)eff帶的影響

圖6 晶格常數(shù)對正常帶隙的影響

4 結(jié)束語

利用傳輸矩陣?yán)碚撗芯苛擞蓛煞N不同類型的單負(fù)材料構(gòu)成的一維周期性結(jié)構(gòu)的傳輸特性。結(jié)果表明在單負(fù)材料光子晶體中存在著一個特殊的禁帶-零帶。禁帶寬度取決于兩種單負(fù)材料的厚度比，而與晶格常數(shù)、入射角無關(guān)。提出利用色散關(guān)系確定禁帶位置的方法，為設(shè)計優(yōu)良的全反射鏡提供了理論依據(jù)。

參考文獻(xiàn)

[1]Yu Ziming，Liao Shuzhi. Many narrow defectmodes in the transmission spectrum of 1-D defect photonic crystal[J].Laser Infrared，2010，40（4）.

[2]Aguanno G D， Mattiucci N， Scalora M， et al. Second-harmonic generation at angular incidence in a negative-positive index photonic band-gap structure[J].Phys Rev E，2006，74（2）： 026608.

[3]H.T.Jiang， H.Chen， H.Q.Li， et al. Properties of one-dimensional photonic crystals containing sing-negative materials[J].Phys. Rev. E. 2004，69（6）：066607.