[摘要]相對于中國內(nèi)地的期權(quán)期貨市場，香港交易市場已趨于成熟。隨著科技的發(fā)展，交易數(shù)據(jù)量的增加，傳統(tǒng)的數(shù)理統(tǒng)計分析已經(jīng)不能滿足金融衍生品研究的需求。函數(shù)型數(shù)據(jù)分析（FDA）是將觀測數(shù)據(jù)看成一個整體，從函數(shù)的角度對其進行分析，可以提高準確度并減少計算復(fù)雜度。本文以香港恒生指數(shù)期權(quán)為例進行分析。

首先，本文利用Black-Scholes-Merton期權(quán)定價模型，對恒生指數(shù)期權(quán)進行定價研究，發(fā)現(xiàn)模型計算的理論價格低于實際價格，并對這一現(xiàn)象給出分析。由于期權(quán)交易的頻繁性，本文將期權(quán)的日收益率看成函數(shù)型數(shù)據(jù)，用B-樣條基函數(shù)進行擬合，并結(jié)合懲罰函數(shù)法對擬合函數(shù)的光滑度進行控制。之后對擬合好的函數(shù)進行函數(shù)型主成分分析（FPCA），并通過Matlab及相關(guān)軟件包進行實現(xiàn)。最后提出函數(shù)型主成分預(yù)測模型及模型的改進之處。

[關(guān)鍵詞]Black-Scholes-Merton模型；函數(shù)型數(shù)據(jù)；懲罰函數(shù)法；主成分分析

一、Black-Scholes-Merton期權(quán)定價模型

在之前的期權(quán)定價模型中，投資者風(fēng)險態(tài)度及期權(quán)預(yù)期收益率的確定是難點，而1976年Black-Scholes-Merton的期權(quán)定價模型很好的解決了這一問題。

該模型假設(shè)【1】：股票價格S（t）服從幾何布朗運動；證券交易連續(xù)進行，無摩擦；短期無風(fēng)險利率r為常數(shù)；不存在無風(fēng)險套利機會；在期權(quán)期限內(nèi)，股票不支付股息。在上述假設(shè)下，設(shè)股票s的期權(quán)價格為f，到期期限為T-t，構(gòu)造一份期權(quán)空頭和△數(shù)量股票的交易組合。在△t時間內(nèi)，資產(chǎn)組合價值變化為，由Ito公式有：

為消除隨即項，令，根據(jù)無套利原理，，即

此即Black-Scholes-Merton微分方程，由此可見該方程中無期望收益率μ，因此該方程與風(fēng)險選擇無關(guān)。該方程的解不唯一，與邊界條件有關(guān)。以看漲期權(quán)為例，當(dāng)執(zhí)行價格為k時，邊界條件為：

對于上述微分方程，利用Feynman-Kac公式可得解

其中為標準正態(tài)累計概率分布函數(shù)，

二、函數(shù)型數(shù)據(jù)分析

2.1函數(shù)型數(shù)據(jù)分析的基本概念

函數(shù)型數(shù)據(jù)分析（Function Data Analysis，簡稱FDA）最早由加拿大學(xué)者Ramsay提出，當(dāng)觀測的時間點十分密集時，這些數(shù)據(jù)表現(xiàn)出一些的函數(shù)特征。函數(shù)型數(shù)據(jù)分析的基本出發(fā)點是把數(shù)據(jù)看成一個單獨的函數(shù)項。當(dāng)數(shù)據(jù)量非常大時，如果再采取之前傳統(tǒng)的數(shù)據(jù)分析方法，可能會造成信息量的丟失或者模型估計失真等問題。

在進行函數(shù)型數(shù)據(jù)分析時，首先將收集到的離散數(shù)據(jù)進行預(yù)處理，選擇合適的基函數(shù)對其進行擬合，并采用光滑函數(shù)來控制擬合函數(shù)的平滑度，可以有效避免傳統(tǒng)擬合方法中過擬合現(xiàn)象的發(fā)生。之后通過對函數(shù)型數(shù)據(jù)進行主成分分析，探求數(shù)據(jù)的整體性質(zhì)。

2.2函數(shù)型數(shù)據(jù)的光滑性處理

本文采用B-樣條基函數(shù)對數(shù)據(jù)進行擬合?；瘮?shù)平滑法【2】是用k個已知的基函數(shù)的線性組合來給出函數(shù)x（t）的估計，即：

對于B-樣條基函數(shù)平滑法，首先將觀測點所在的區(qū)間用斷點序列 為定義區(qū)間兩端點）分成L個子區(qū)間，在每個子區(qū)間上，定義一個m階的多項式，相鄰多項式在內(nèi)斷點處取值相同，并且在定義域上存在m-2次導(dǎo)數(shù)，B-樣條基函數(shù)定義為：

在有了基函數(shù)之后，我們只需確定基函數(shù)個數(shù)K和其系數(shù)ck即可。其中K決定了觀測數(shù)據(jù)yi的平滑度，K越小，擬合的函數(shù)越平滑，但擬合度越差。為權(quán)衡擬合度和光滑度，我們用懲罰函數(shù)法來確定系數(shù)與基函數(shù)個數(shù)。

定義帶懲罰項的殘差平方和：

上式中第一項衡量了曲線的擬合效果，第二項衡量了曲線的光滑度。通過求解最小化以獲得估計函數(shù)，其中懲罰項越大，曲線越粗糙，且正常數(shù)表示擬合度和光滑度之間的權(quán)衡。

三、函數(shù)型主成分分析

當(dāng)我們想對數(shù)據(jù)進行降維分析時，如果觀測數(shù)據(jù)相當(dāng)大，此時樣本的協(xié)方差矩陣維數(shù)將會很大，如果對這樣的協(xié)方差矩陣直接進行主成分分析，得到的結(jié)果將并不會理想。

此時，我們將數(shù)據(jù)看稱作函數(shù)的形式，在對數(shù)據(jù)進行主成分分析。設(shè)觀測矩陣【3】為 ，每次觀測得到的數(shù)據(jù)構(gòu)成一個函數(shù)型數(shù)據(jù)xi（t）。

對構(gòu)造得到的函數(shù)型數(shù)據(jù)其進行主成分分析，設(shè)為權(quán)重函數(shù)，第一主成分的求解即在下述約束條件下的最大化問題：

函數(shù)型主成分分析即對在B-樣條擬合時得到的矩陣求解特征值和特征函數(shù)，求解策略便是將連續(xù)的函數(shù)型特征分析問題轉(zhuǎn)化為近似矩陣的特征分析問題，這可通過對函數(shù)進行離散化或?qū)瘮?shù)進行基函數(shù)展開實現(xiàn)。

四、香港恒生指數(shù)期權(quán)的實證研究

本文所采用的數(shù)據(jù)來自香港證券交易所官方網(wǎng)站www.hkex.com衍生品交易數(shù)據(jù)庫，選取交易量較為活躍的前5個看漲期權(quán)進行研究（均在存續(xù)期）。

4.1Black-Scholes模型理論價格與實際價格比較

由Black-Scholes模型可知，期權(quán)的價值與指數(shù)St，執(zhí)行價格K，無風(fēng)險利率r，到期日時間T-t以及波動率σ有關(guān)。本文根據(jù)歷史數(shù)據(jù)資料求得的收益率的標準差來估算波動率。同時，無風(fēng)險利率采用一年期銀行利率代替。

根據(jù)BS模型給出的計算公式，借用Matlab軟件做出實際價格與理論價格的關(guān)系圖，我們發(fā)現(xiàn)理論計算價格要低于實際價格，且對于存續(xù)期長的期權(quán)來說，BS模型估算較精確。這是因為現(xiàn)實市場中達不到模型假設(shè)的完美條件，比如交易不能連續(xù)，存在交易費用，投資者的不理性跟風(fēng)等。同時，參數(shù)的估計也會對模型產(chǎn)生一定的擾動。

4.2期權(quán)日收益率的主成分分析

計算這5個樣本的日收益率，將每一個看漲期權(quán)的日收益率數(shù)據(jù)視為其對應(yīng)函數(shù)產(chǎn)生的一組樣本觀測值，利用Malab中相關(guān)的FDA函數(shù)包，采用4階B-樣條基函數(shù)對樣本觀測值進行擬合，得到5個期權(quán)的日收益率曲線。

在得到光滑曲線后，我們對5個光滑函數(shù)進行主成分分析，畫出主成分權(quán)重系數(shù)，從圖中我們可以看出，第一主成分幾乎占了全部的方差比例，因此第一主成分系數(shù)的效果是顯著的。

在函數(shù)型主成分分析模型基礎(chǔ)上，我們也可以建立函數(shù)主成分預(yù)測模型，將觀測到的真實值，模型估計出的預(yù)測值進行比較，從而判定預(yù)測模型的效率。

參考文獻

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