【摘 要】所謂化歸，就是轉(zhuǎn)化與歸結(jié)，將待解決或未解決的問題，通過某種手段與方法經(jīng)過分析、聯(lián)想、類比、思維等過程，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒▽栴}歸結(jié)到一類已經(jīng)解決或較容易解決的問題，最終求得問題的解決。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，化歸思想隨處可見，應(yīng)用廣泛。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)教學(xué) 教學(xué)方法 解題方法

【中圖分類號(hào)】G712 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】1674-4810（2015）12-0179-01

日本教育家米山國藏曾經(jīng)指出：“學(xué)生們?cè)诔踔?、高中接受的知識(shí)，出了校門很快就忘記了，然而數(shù)學(xué)思想、精神、思維、研究、推理等方法卻終生難忘”。數(shù)學(xué)教學(xué)主要培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力。問題是數(shù)學(xué)的心臟，而化歸思想是分析問題、解決問題的基本思想。著名教育家、數(shù)學(xué)家G波利亞在《怎樣解題》一書中說道：“不斷變換你的問題，直到最后成功地找到有用的東西為止”，這實(shí)際上就是化歸思想。

下面我們從幾個(gè)方面來歸納化歸思想在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用。

一 不等式與函數(shù)

一元二次函數(shù)、一元二次方程、一元二次不等式三者之間有著緊密的聯(lián)系，我們也經(jīng)常將它們互相轉(zhuǎn)化來解決相應(yīng)的問題。

已知f（x）= （n≥2），當(dāng)a∈[0，1）

時(shí)，求證：2f（x）

分析：欲證：2f（x）

即證：（1x+2x+…nxa）-n（12x+22x+…+n2xa）<0，

這樣可以構(gòu)造一元二次函數(shù)如，G（T）=nT2-2（1x+2x+…nxa）T+（12x+22x+…+n2xa）。

經(jīng)過整理得：

G（T）=（T-1x）2+（T-2x）2+…+（T-nxa）2+n2xa-n2xa2

=（T-1x）2+（T-2x）2+…+（T-nxa）2+n2xa（1-a）

∵a∈[0，1）

∴G（T）恒大于0，那么G（T）的判別式恒小于0。

本題得到證明。

該題充分體現(xiàn)了將一元不等式的問題轉(zhuǎn)化到一元二次函數(shù)，將復(fù)雜問題簡單化的化歸思想。

二 代數(shù)與三角

若x、y、z∈R，求證： + + = ×

× 。

分析：直接通分化簡。但是化為三角更加簡潔。

證明：設(shè)：x=tanα，y=tanβ，z=tanγ，（α-β）+（β-γ）=-（γ-α），tan[（α-β）+（β-γ）]=

-tan（γ-α），即： =-tan（γ-α）。

經(jīng)化簡整理，本題得到證明。

三 高次向低次

一些高次方程、高次不等式、高次函數(shù)的問題，無法直接求解或很困難，因此我們可以將高次向低次進(jìn)行化歸。

求函數(shù)y=sin4x+cos4x的周期、對(duì)稱軸。

分析：在三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)中，周期公式、對(duì)稱軸方程是針對(duì)一次的正（余）弦型、正切函數(shù)而言的，所以要將該高次函數(shù)向低次轉(zhuǎn)化。

解：y=sin4x+cos4x

=（sin2x+cos2x）2-2 sin2xcos2x

=1- ×（4sin2x cos2x）

=1- sin22 x= cos4x+

這樣我們就根據(jù)公式得到相應(yīng)的周期和對(duì)稱軸方程。

四 數(shù)與形

判斷方程x+m= 實(shí)數(shù)根的情況，并求相應(yīng)的m的范圍。

分析：這個(gè)問題如果從代數(shù)的角度來求解，思考的過程紛繁復(fù)雜。將其化歸為圖形進(jìn)行分析，利用圖形解決該問題。

解：如圖，設(shè)y1= 其

圖像為單位圓在軸上方的部分，

-y2=x+m是斜率為1的一束

平行線，結(jié)合圖像。（1）當(dāng)m<

-1或m> ，兩條曲線沒有交

點(diǎn)，即原方程沒有實(shí)數(shù)根。（2）

當(dāng)m= 或-1≤m<1時(shí)，兩

條曲線只有一個(gè)交點(diǎn)（相切、相交），即方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根。（3）當(dāng)1≤m< 時(shí)，曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，即原方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根。

數(shù)學(xué)化歸思想是沿著復(fù)雜問題簡單化、生疏問題熟悉化、抽象問題形象化具體化的方向進(jìn)行的?；瘹w是一種思想，一種思維模式。我們老師在日常的教學(xué)過程中要注重?cái)?shù)學(xué)化歸思想的培養(yǎng)、滲透和應(yīng)用。

〔責(zé)任編輯：林勁〕