三角形中的“三線(xiàn)”指的是三角形的高、中線(xiàn)、角平分線(xiàn).這三種線(xiàn)段是學(xué)習(xí)三角形其它知識(shí)的基礎(chǔ).利用“三線(xiàn)”不同的性質(zhì)特征，我們可以解決某些有關(guān)三角形的面積與角度等問(wèn)題.下面舉例對(duì)“三線(xiàn)”的性質(zhì)及應(yīng)用進(jìn)行分析.

一、“三線(xiàn)”的概念及性質(zhì)

1.三角形的高：從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向它的對(duì)邊所在的直線(xiàn)作垂線(xiàn)，頂點(diǎn)和垂足之間的線(xiàn)段叫做三角形的高線(xiàn)，簡(jiǎn)稱(chēng)三角形的高.如圖1，△ABC中，AD是△ABC的BC邊上的高，則有（1）AD⊥BC；（2）∠ADB=∠ADC= 90°； （3）S△ABC= BC·AD.

2.三角形的中線(xiàn)：在三角形中，連結(jié)一個(gè)頂點(diǎn)與它對(duì)邊中點(diǎn)的線(xiàn)段，叫做這個(gè)三角形的中線(xiàn).如圖2，△ABC中，AD是△ABC的中線(xiàn)，則有（1）BD=CD= BC；（2）S△ACD=S△ABD= S△ABC.

3.三角形的角平分線(xiàn)：在三角形中，一個(gè)內(nèi)角的平分線(xiàn)與它的對(duì)邊相交，這個(gè)角的頂點(diǎn)與交點(diǎn)間的線(xiàn)段叫做三角形的角平分線(xiàn).如圖3，△ABC中，AD是△ABC的角平分線(xiàn)，則有：∠BAD=∠CAD= ∠BAC.

圖1 圖2 圖3

二、“三線(xiàn)”的性質(zhì)在解題中的應(yīng)用

例1 如圖4，在銳角△ABC中，CD、BE分別是AB、AC上的高，且CD、BE交于一點(diǎn)P，若∠A=50°，則∠BPC的度數(shù)是（ ）.

（A）150°（B）130° （C）120° （D）100°

分析：高里面就隱含著直角，利用高的這個(gè)特征可巧妙求解.

解：∵CD、BE分別是AB、AC上的高，

圖4

∴△ADC和△AEB都是直角三角形，

∵∠A=50°，

∴在直角△ADC中，∠ACD=90°-50°=40°.

在直角△PCE中，∠EPC=90°-∠ACD= 50°.

∵∠BPC與∠EPC互為補(bǔ)角，

∴∠BPC=180°-∠EPC=180°-50°=130°.

故應(yīng)選B.

例2 已知AD是△ABC的高，∠BAD= 62°，∠CAD=28°，則△ABC是什么三角形？

分析：由于題目沒(méi)有給出圖形，而三角形的高AD可能在三角形的內(nèi)部，也可能在三角形的外部，不可能在一邊上，所以本題應(yīng)分兩種情況.

解：（1）如圖5，當(dāng)AD在△ABC的內(nèi)部時(shí)，

∵∠BAC=∠BAD+∠CAD=62°+28°=90°，

∴△ABC是直角三角形；

（2）如圖6，當(dāng)AD在△ABC的外部時(shí)，

∵∠BAC=∠BAD-∠CAD=62°-28°=34°，∠ABC=90°-∠BAD=90°-62°=28°，

∴∠ACB=180°-∠ABC-∠BAC

=180°-28°-34°=118°，

∴此時(shí)△ABC為鈍角三角形.

由以上可知△ABC是直角三角形或鈍角三角形.

圖5 圖6

例3 如圖7所示，在△ABC中，已知點(diǎn)D、E、F分別為邊BC、AD、CE 的中點(diǎn)，且S△ABC=4cm2，則陰影部分的面積等于（ ）.

（A）2cm2

（B）1cm2

（C） cm2

（D） cm2 圖7

分析：本題從表面上看無(wú)法求解，但我們可以根據(jù)“三角形的中線(xiàn)分三角形為面積相等的兩個(gè)三角形”這一特征求解.

解：∵D是邊BC的中點(diǎn)，

∴S△ABD=S△ACD= S△ABC= ×4=2 cm2，

∵E是AD的中點(diǎn)，

∴S△BDE= S△ABD=1， S△CDE= S△ACD=1，

∴S△BEC=S△BDE+S△CDE=2.

又∵F是CE的中點(diǎn)，∴S陰影= S△BEC=1.

故應(yīng)選B.

例4 如圖8，等腰三角形（有兩條邊相等的三角形）ABC，一腰上的中線(xiàn)把該三角形的周長(zhǎng)分為13.5cm和11.5cm兩個(gè)部分，求這個(gè)等腰三角形各邊的長(zhǎng).

圖 8

分析：解答此題應(yīng)從兩個(gè)方面考慮，第一種情況是AB>BC，另一種情況是AB

解：∵BD是△ABC的中線(xiàn)，將△ABC的周長(zhǎng)分成了兩個(gè)部分，分別為13.5cm和11.5cm，

（1） 當(dāng)AB>BC時(shí)，AB-BC=13.5-11.5 =2cm，

∴AB=BC+2，AB=AC=BC+2，可得（BC+2）+BC+（BC+2）=13.5+ 11.5，

∴3BC+4=25，可得BC=7，∴AB=AC=7+2=9.

∴此種情況時(shí)，此等腰三角形的各邊的長(zhǎng)分別為：9cm，9cm，7cm；

（2）當(dāng)AB

∴BC=AB+2，AB+AC+AB+2=13.5+11.5，

∴3AB+2=25， AB=AC= ，

BC= +2= .

∴此種情況時(shí)，此等腰三角形各邊的長(zhǎng)分別為 cm， cm， cm.

因此，這個(gè)等腰三角形的各邊長(zhǎng)分別為9cm，9cm，7cm或 cm， cm， cm.

例5 已知：如圖9，在△ABC中，∠BAC=80°，AD是BC邊上的高，AE是∠BAC的平分線(xiàn)，∠B=60°；求∠DAE的度數(shù).

圖9

分析：∵∠DAE=∠BAE-∠BAD，∴需先求出∠BAE和∠BAD的大小，又∵AD是高，則∠ADB=90°，在直角三角形ADB中，可求得∠BAD=30°，進(jìn)而可求∠DAE的度數(shù).

解：∵∠BAC=80°，AE是∠BAC的平分線(xiàn)，

∴∠BAE= ∠BAC=40°，

∵AD是高，

∴∠ADB=90°，

∴∠BAD=90°-60°=30°，

∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=40°-30°=10°.

例6 如圖10，在直角△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC且交AC于D，AP平分∠BAC且交BD于P，求∠BPA的度數(shù).

圖10

分析：∵∠BAC與∠ABC互余，則這兩角一半的和為∠BAP+∠ABP=∠APD=45°，而∠APB與∠APD互補(bǔ)，∴∠APB=135°.

解：∵∠C=90°，∴∠ABC+∠BAC=90°，

∵BD平分∠ABC，AP平分∠BAC，

∴∠ABP= ∠ABC，∠BAP= ∠BAC，

∴∠ABP+∠BAP= ∠ABC+ ∠BAC

= （∠ABC+∠BAC）=45°，

∴∠BPA=180°-（∠ABP+∠BAP）

=180°-45°=135°.