【摘 要】數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)思維的基本形式，是數(shù)學(xué)基本技能形成與提高的必要基礎(chǔ)，作為高中數(shù)學(xué)教學(xué)中不可或缺的一個(gè)環(huán)節(jié)，概念教學(xué)關(guān)系到學(xué)生能否弄清相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)，正確理解并熟練運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題。在實(shí)際教學(xué)中，概念教學(xué)對(duì)例題引入的局限性使其價(jià)值沒(méi)有充分發(fā)揮出來(lái)。對(duì)此，本文主要對(duì)概念教學(xué)中例題設(shè)計(jì)的注意點(diǎn)和解決策略進(jìn)行分析。

【關(guān)鍵詞】概念教學(xué) 例題設(shè)計(jì) 策略

【中圖分類(lèi)號(hào)】G632 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】1674-4810（2015）35-0065-03

數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)思維的基本形式，是數(shù)學(xué)基本技能形成與提高的必要基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)概念具有高度抽象性和概括性的特點(diǎn)，其常常將某一規(guī)律、定理以精練而準(zhǔn)確的語(yǔ)言濃縮在較短的篇幅中。從學(xué)生的接受能力來(lái)看，數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)顯得枯燥乏味，單一、膚淺的教學(xué)方式往往將學(xué)生拒于數(shù)學(xué)課堂的大門(mén)之外，因此概念教學(xué)在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的地位非常重要，不少教師也非常重視數(shù)學(xué)概念的教學(xué)，并且有自己獨(dú)到的見(jiàn)解和體會(huì)。筆者在教學(xué)過(guò)程中發(fā)現(xiàn)，目前概念教學(xué)最大的問(wèn)題并不是如何引入概念、如何剖析概念、如何應(yīng)用概念，而是有不少的教師在概念的引入、剖析、應(yīng)用的時(shí)候并沒(méi)有恰當(dāng)選擇合適的例題，忽視例題對(duì)概念教學(xué)的重要性，甚至有的教師完全忽視了例題，只是思考如何有趣地給學(xué)生講解概念，這樣的教學(xué)方式不可能幫助學(xué)生深入理解概念，只能事倍功半。為此，筆者圍繞概念教學(xué)中的例題設(shè)計(jì)這一環(huán)節(jié)談?wù)勛约旱睦斫夂退伎肌?/p>

一 概念教學(xué)中例題設(shè)計(jì)存在的問(wèn)題

1.舍本逐末，不利教學(xué)

筆者在研究高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)現(xiàn)狀的時(shí)候，發(fā)現(xiàn)很多教師對(duì)教材的態(tài)度是不夠重視，認(rèn)為教材上的內(nèi)容過(guò)于死板且陳舊，根本不能適應(yīng)當(dāng)前的教學(xué)環(huán)境和滿足教學(xué)需求。因此，往往選擇教材以外的素材設(shè)計(jì)情境，但既然要求學(xué)生課前閱讀教材，不如直接運(yùn)用教材中已有的情境引入教學(xué)，無(wú)須挖空心思地另砌爐灶，這樣也有利于正確引導(dǎo)學(xué)生閱讀教材的習(xí)慣，并且通過(guò)教師對(duì)教材內(nèi)容的深挖，使學(xué)生對(duì)教材內(nèi)容能進(jìn)一步理解和加深印象。

例如，某位教師在教學(xué)組合一課時(shí)，沒(méi)用書(shū)本上的例題，而是出示這樣的例題：“從本班52名同學(xué)中任意抽出5名參加學(xué)校組織的義務(wù)勞動(dòng)，一共有多少種不同的結(jié)果？其中有3名同學(xué)表現(xiàn)積極想?yún)⒓?，?wèn)他們恰巧被抽中的可能性有多少？”這個(gè)例題沒(méi)有什么不好，但由于這兩個(gè)問(wèn)題難度較大，且跨度也大，并不適合做概念講解的例題。

2.熱衷多樣變式，忽視概念的本質(zhì)

為了提高學(xué)生靈活運(yùn)用知識(shí)的能力，很多教師在教學(xué)中都喜歡變式，通過(guò)適當(dāng)改變母題的條件或形式，使學(xué)生在解題過(guò)程中加深對(duì)概念的理解，對(duì)概念最終能有一個(gè)更加全面的認(rèn)識(shí)，而變式的正確運(yùn)用可以幫助學(xué)生對(duì)概念有全面的、準(zhǔn)確的了解和認(rèn)識(shí)，鍛煉學(xué)生的綜合思維能力。然而，在實(shí)際教學(xué)中有不少教師卻過(guò)分熱衷于變式，他們把大量的精力放在設(shè)計(jì)變式的形式上，忽視了設(shè)計(jì)變式的目的在于突出概念的本質(zhì)。

例如，筆者在教學(xué)觀摩會(huì)上看到一位教師在課堂上對(duì)同一概念設(shè)置了多題變式。原題是：“在同一平面上共有8個(gè)點(diǎn)，任取三點(diǎn)請(qǐng)問(wèn)最多可以連成多少個(gè)三角形？”該教師圍繞這一題目設(shè)置了如下的變式：

變式一：某圓上有8個(gè)互不重合的點(diǎn)，任取四點(diǎn)可以連出多少個(gè)四邊形？

變式二：某球面上有8個(gè)互不重合的點(diǎn)，任取四點(diǎn)可以組成多少個(gè)三棱錐？

該教師是希望通過(guò)變式使學(xué)生明白：點(diǎn)點(diǎn)組合與元素之間的順序無(wú)關(guān)，關(guān)鍵在于找出所有可能。但是這三道題并不能突出“從N個(gè)元素中抽取a個(gè)元素的組合的本質(zhì)就是求集合N的a元子集的個(gè)數(shù)”這一概念的本質(zhì)，因此學(xué)生每次做題都需要重新理解題目的意思，沒(méi)有真正掌握題目考查的本質(zhì)意圖。

3.注重解題技巧，輕視理解概念的內(nèi)涵

在解題過(guò)程中如果掌握相應(yīng)的技巧，可以幫助學(xué)生節(jié)省解題時(shí)間，好的例題不僅可以幫助學(xué)生理解知識(shí)、運(yùn)用知識(shí)，而且可以讓學(xué)生掌握相關(guān)的解題技巧。然而，筆者發(fā)現(xiàn)有部分高中數(shù)學(xué)教師對(duì)傳授解題技巧太過(guò)注重，反而忽視了對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)思想的傳授。有的教師在概念講解時(shí)所選取的例題難度十分大，甚至需要運(yùn)用多個(gè)解題技巧才能完成，這樣的題目顯然不能幫助學(xué)生理解概念的內(nèi)涵。

例如，有的教師在教學(xué)直線與方程有關(guān)直線的斜率和方程一課時(shí)設(shè)計(jì)了如下的例題：已知某條直線的斜率為k，其傾斜角度為α（-1

變式：已知某條直線方程式為y=xsinα-1，求該直線傾斜角α的取值范圍?？梢钥吹剑@個(gè)例題和變式都超出了基礎(chǔ)知識(shí)理解的范圍，且聯(lián)系教材后發(fā)現(xiàn)教材上這一節(jié)的內(nèi)容主要是讓學(xué)生掌握直線坐標(biāo)化的方法，而這兩個(gè)題目顯然沒(méi)有觸及教材的核心內(nèi)容，反而因?yàn)樵O(shè)計(jì)太多的技巧顯得“過(guò)猶不及”。

二 概念教學(xué)中例題設(shè)計(jì)的策略

1.概念引入時(shí)慎重創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境

從無(wú)到有，學(xué)生需要一個(gè)緩沖區(qū)，以減輕新知對(duì)思維產(chǎn)生的“沖撞”。概念的引入意在新舊知識(shí)點(diǎn)或數(shù)學(xué)模型中找到一個(gè)結(jié)合點(diǎn)，以實(shí)現(xiàn)新舊知識(shí)點(diǎn)自然銜接、過(guò)渡的目的。從學(xué)生思維的認(rèn)知規(guī)律來(lái)說(shuō)，學(xué)生對(duì)抽象、概括事物的認(rèn)識(shí)、理解需要一個(gè)具體化、形象化的過(guò)程。因此，教師在概念的教學(xué)過(guò)程中，要善于借用學(xué)生熟悉或感興趣的問(wèn)題創(chuàng)設(shè)情境。

數(shù)學(xué)案例：觀察下面三個(gè)集合，S={x|x是高幼一（5）班的同學(xué)}，A={x|x是高幼一（5）班的男同學(xué)}，B={x|x是高幼一（5）班的女同學(xué)}，分析上面三個(gè)集合S、A、B的關(guān)系，從而引出補(bǔ)集的概念。

創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境是概念引入中常用的手法，它不僅能夠?yàn)楦拍畹囊胱龊娩亯|，而且還能夠巧妙設(shè)疑，激發(fā)學(xué)生的好奇心和求知欲。

2.概念剖析時(shí)抓住概念的本質(zhì)

引入概念之后，學(xué)生雖對(duì)其有了基本的認(rèn)識(shí)，但仍處于一知半解的狀態(tài)，易出現(xiàn)概念模糊、張冠李戴的現(xiàn)象，特別是有些數(shù)學(xué)概念概括性強(qiáng)，需要逐字逐句的分析、理解。

第一，剖析概念中關(guān)鍵詞的含義，加強(qiáng)對(duì)原始概念的理解。某些關(guān)鍵詞是理解和掌握概念的鑰匙，有些學(xué)生由于對(duì)少數(shù)概念理解不到位，特別是對(duì)原始概念的理解一知半解，從而為后續(xù)知識(shí)的學(xué)習(xí)埋下隱患，使學(xué)習(xí)效果大打折扣。因此，教師一定要強(qiáng)調(diào)關(guān)鍵詞，并通過(guò)淺顯易懂的方式進(jìn)行講解和剖析，確保每一位學(xué)生都能真正理解和掌握。

如在集合的學(xué)習(xí)中，要強(qiáng)調(diào)集合是一個(gè)原始概念，是不能下定義的，因此不能有“叫作”這兩個(gè)字的出現(xiàn)，只能用描述性的語(yǔ)言表述為：在一定范圍內(nèi)某些確定的、不同的對(duì)象的全體構(gòu)成一個(gè)集合。教師可通過(guò)實(shí)例：（1）我們班中的每一名學(xué)生都是確定的，而且也沒(méi)有相同的，因此我們班同學(xué)的全體能構(gòu)成一個(gè)集合。（2）我們班中長(zhǎng)得秀美的女同學(xué)是不確定的，因?yàn)椤靶忝馈边@個(gè)詞沒(méi)有精確的定義，所以我們班長(zhǎng)得秀美的女同學(xué)不能構(gòu)成一個(gè)集合。（3）“good中的英文字母的全體”能構(gòu)成一個(gè)集合，因?yàn)樵摷现械牟煌⑽淖帜钢荒苁莋，o，d三個(gè)，盡管o這個(gè)字母在單詞good中出現(xiàn)過(guò)兩次，但也只能在該集合中看成一個(gè)。

通過(guò)以上實(shí)例讓學(xué)生深刻理解集合這個(gè)概念中“確定的”“不同的”兩個(gè)關(guān)鍵詞的準(zhǔn)確含義。

第二，逐層剖析，通過(guò)現(xiàn)象抓住概念的本質(zhì)。數(shù)學(xué)概念中的符號(hào)式子不僅具有高度的概括性，而且邏輯性和聯(lián)系性也比較強(qiáng)，教師可以通過(guò)對(duì)符號(hào)式子進(jìn)行逐層剖析來(lái)理清概念之間的內(nèi)在聯(lián)系，達(dá)到抓住概念本質(zhì)的目的。因此，教師在概念教學(xué)的過(guò)程中，要注意由淺入深地對(duì)概念進(jìn)行梳理，一方面深化學(xué)生對(duì)概念的理解，另一方面培養(yǎng)學(xué)生周密、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)思維。

如在偶函數(shù)概念的學(xué)習(xí)中，教師可從圖形與數(shù)式兩方面進(jìn)行分解，通過(guò)觀察圖形可知它們關(guān)于y軸對(duì)稱，進(jìn)一步分析可知圖像上的每一點(diǎn)關(guān)于y軸都有對(duì)稱點(diǎn)，而每一點(diǎn)都和唯一的一個(gè)數(shù)對(duì)一一對(duì)應(yīng)，也就是它們的橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)相等，用數(shù)學(xué)式子表示為f（-x）=f（x）。同樣在奇函數(shù)概念的學(xué)習(xí)中，教師可讓學(xué)生仿照偶函數(shù)概念的講解過(guò)程進(jìn)行類(lèi)比對(duì)照理解學(xué)習(xí)。通過(guò)這樣由表及里的剖析、講解，學(xué)生對(duì)概念的理解也能夠從表層深入到其本質(zhì)。

第三，注意概念比較，歸納、區(qū)分概念的異同。有些數(shù)學(xué)概念之間聯(lián)系密切，在表述上也只有細(xì)微的差別。不少學(xué)生習(xí)慣以死記硬背的方式進(jìn)行記憶，因此常常出現(xiàn)張冠李戴的錯(cuò)誤。為了避免學(xué)生犯此類(lèi)低級(jí)錯(cuò)誤，教師在概念的教學(xué)過(guò)程中要注意相似概念之間的比較，并通過(guò)歸納、總結(jié)概念之間的異同，來(lái)揭示它們之間的聯(lián)系和區(qū)別。

生活用語(yǔ)中的“或”與邏輯用語(yǔ)中的“或”的區(qū)別：生活用語(yǔ)中“或”的含義為兩者之一，不兼有;而數(shù)學(xué)的含義為兩者至少有一個(gè)，可兼有。

命題的否定與否命題的區(qū)別：命題“大于1的數(shù)是正數(shù)”的否定是什么？其否命題是什么？命題的否定：大于1的數(shù)不是正數(shù);其否命題：不大于1的數(shù)不是正數(shù)。命題的否定只否定結(jié)論，否命題則既否定條件也否定結(jié)論。

3.概念應(yīng)用時(shí)注重探究質(zhì)疑

概念的應(yīng)用意在鼓勵(lì)學(xué)生在數(shù)學(xué)實(shí)例中對(duì)已掌握的概念進(jìn)行運(yùn)用，達(dá)到徹底吃透和消化新知的目的。概念的應(yīng)用階段是從教師講授到學(xué)生自主探究的過(guò)程。從概念引入到概念剖析，教師對(duì)學(xué)生的知識(shí)輸入已達(dá)到飽和狀態(tài)，過(guò)度的講解反而引起學(xué)生的反感，挫傷他們學(xué)習(xí)的積極性。因此，教師要適時(shí)地將自主權(quán)還給學(xué)生，使他們最大限度地發(fā)揮自主性，以概念為切入點(diǎn)，對(duì)新知進(jìn)行探索，從而避免“紙上談兵”的誤區(qū)。

第一，倡導(dǎo)自主探究、協(xié)作交流。自主探究、協(xié)作交流是概念應(yīng)用過(guò)程中必不可少的一個(gè)環(huán)節(jié)，隨著學(xué)生對(duì)概念認(rèn)識(shí)的深化，以概念為延伸點(diǎn)的數(shù)學(xué)探究活動(dòng)對(duì)于發(fā)散學(xué)生的思維、提高他們合作探究的能力具有重要的作用。因此，教師要在應(yīng)用的過(guò)程中為學(xué)生開(kāi)辟?gòu)V闊的自主探究平臺(tái)，使學(xué)生在動(dòng)手操作、交流討論的過(guò)程中對(duì)概念有全新的認(rèn)識(shí)和理解。

如在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模課時(shí)，案例為產(chǎn)量的預(yù)測(cè)模型。

【問(wèn)題表述】某工廠今年1月份、2月份、3月份生產(chǎn)某產(chǎn)品分別為1萬(wàn)件、1.2萬(wàn)件、1.3萬(wàn)件，經(jīng)過(guò)調(diào)查，4月份的產(chǎn)量為1.36萬(wàn)件，請(qǐng)以前幾個(gè)月的產(chǎn)量為依據(jù)，預(yù)測(cè)10月份生產(chǎn)該產(chǎn)品的數(shù)量。

【模型分析】問(wèn)題的條件是什么和已知數(shù)據(jù)是什么？目標(biāo)是什么？通過(guò)分析可知，只需通過(guò)1月份、2月份、3月份的產(chǎn)量計(jì)算出具體的函數(shù)模型，將4月份產(chǎn)量代入驗(yàn)證，以最逼近的函數(shù)模型作為擬合函數(shù)來(lái)求出10月份的產(chǎn)量。

【模型假設(shè)】為了合理地解決問(wèn)題，建立準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)模型，特作如下假設(shè)：

假設(shè)一：該工廠比較穩(wěn)定，產(chǎn)品不受任何因素影響。

假設(shè)二：該產(chǎn)品的數(shù)量具有一定的變化趨勢(shì)。

【模型建立與求解】根據(jù)所學(xué)知識(shí)，實(shí)施你的方案。

（1）設(shè)符合問(wèn)題的二次型函數(shù)模型為y1=px2+qx+r，由已知得：

?

于是得二次型函數(shù)模型為：y1=-0.05x2+0.35x+0.7。

（2）設(shè)符合問(wèn)題的指數(shù)型函數(shù)模型為y2=a·bx+c，由已知得：

?

于是得指數(shù)型函數(shù)模型為：y2=-0.8·x+1.4。

當(dāng)x=4時(shí)，由上面函數(shù)模型分別可得：

y1=-0.05×42+0.35×4+0.7=1.3;

y2=-0.8·4+1.4=1.35。

因?yàn)?月份的產(chǎn)量為1.36萬(wàn)件，所以指數(shù)型函數(shù)模

型y2=-0.8·x+1.4作為擬合函數(shù)較好。

【討論與驗(yàn)證】你能檢驗(yàn)它嗎？你能構(gòu)建更優(yōu)的模型嗎？其實(shí)，我們還可以繼續(xù)考慮用冪型函數(shù)y=a·xb+c和對(duì)數(shù)型函數(shù)y=blogax+c作為擬合函數(shù)。

【建模體會(huì)】傳統(tǒng)數(shù)學(xué)應(yīng)用題的問(wèn)題明確，條件一般都是充分的，而數(shù)學(xué)建模的問(wèn)題一般來(lái)自實(shí)際，問(wèn)題中的條件往往是不充分的、開(kāi)放的或多余的，有時(shí)甚至要求學(xué)生自己動(dòng)手去收集數(shù)據(jù)、處理信息。在建模的過(guò)程中作一定的假設(shè)是必需的，而傳統(tǒng)數(shù)學(xué)應(yīng)用題一般不需要假設(shè)。數(shù)學(xué)建模的討論與驗(yàn)證比傳統(tǒng)數(shù)學(xué)應(yīng)用題的檢驗(yàn)要復(fù)雜得多，不僅要驗(yàn)證所得到的模型解是否符合，而且要考察它們與假設(shè)是否矛盾，與實(shí)際是否吻合等。

通過(guò)小組成員之間的合作與探討從而加深對(duì)數(shù)學(xué)建模含義的理解。

第二，辨析質(zhì)疑。正如亞里士多德所說(shuō)：“思維是從疑問(wèn)和驚奇開(kāi)始的?！狈此?、質(zhì)疑是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要途徑。在質(zhì)疑的過(guò)程中，學(xué)生往往能夠在細(xì)小的“漏洞”中，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問(wèn)題，窺見(jiàn)具有一般性的數(shù)學(xué)規(guī)律。因此，教師在概念的應(yīng)用過(guò)程中要鼓勵(lì)學(xué)生敢于質(zhì)疑、敢于發(fā)問(wèn)，以培養(yǎng)他們的思辨能力和質(zhì)疑精神。

如在學(xué)習(xí)函數(shù)的概念之后，不少學(xué)生雖然對(duì)“定義域”印象深刻，但在實(shí)際做題的過(guò)程中往往拋之腦后，忽略了定義域優(yōu)先的原則?？梢酝ㄟ^(guò)下面例題進(jìn)一步加深對(duì)定義域優(yōu)先的理解。

例如：判斷下列哪些函數(shù)與f（x）=x+1是同一個(gè)函數(shù)？說(shuō)明理由：

（1）f（x）=（）2+1;（2）f（x）=（）+1;

（3）f（x）=x+x0;（4）f（x）=+1;（5）f（x）=

+1;（6）f（x）=（）3+1。

解：（1）f（x）=（）2+1=x+1（x≥0）;（2）

f（x）=（）+1=+1（xR）;（3）f（x）=x+

x0=x+1（x≠0）;（4）f（x）=+1=x+1（x≠0）;（5）

f（x）=+1=x+1（xR）;（6）f（x）=（）3+1=x+1（xR）。

當(dāng)做上述例題出現(xiàn)錯(cuò)誤時(shí)，教師不必馬上點(diǎn)評(píng)，可以讓學(xué)生慢慢爭(zhēng)論和體會(huì)，使同學(xué)們深刻地理解函數(shù)概念中定義域和對(duì)應(yīng)法則的重要性。

除了上述解決方法外，概念教學(xué)中的例題設(shè)計(jì)還有很多應(yīng)當(dāng)注意的地方，在此不能一一窮盡?？傊?，數(shù)學(xué)教學(xué)關(guān)鍵在于要以學(xué)生為主體，尊重學(xué)生學(xué)習(xí)的實(shí)際，體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的本質(zhì)。

〔責(zé)任編輯：龐遠(yuǎn)燕、汪二款〕