沈沖 姚衛(wèi)

摘要：首先，借助和拓?fù)?，對于離散拓?fù)淇臻gX，證明了任意一族以X為指標(biāo)集的拓?fù)淇臻g族的積空間和相對于X的點式收斂空間相同。其次，對于某拓?fù)淇臻g族的笛卡爾積和其上的任意一個拓?fù)洌o出了該積空間到其任意坐標(biāo)空間的投射連續(xù)的充要條件。最后，給出了函數(shù)式積空間的定義，并且指出這類空間可以作為積空間、和空間和函數(shù)空間（點式收斂拓?fù)洌┑墓餐茝V。

關(guān)鍵詞：點集拓?fù)鋵W(xué)；積拓?fù)?；和拓?fù)?；點式收斂拓?fù)洌缓瘮?shù)式積空間

中圖分類號：O189MSC（2010）主題分類：22A22文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

Functional product topology： A common framework of the topological

sum， the product topology and the functional topology

of pointwise convergence

SHEN Chong， YAO Wei

（School of Science， Hebei University of Science and Tecnology， Shijiazhuang， Hebei 050018， China）

Abstract：Based on the topological sum， for X being a discrete topological space， we prove that the product topology generated by some topological spaces is equal to the topology of pointwise convergence related to X. For every topology on a Cartesian product， we find an equivalent condition under which every projection from the product to each component is continuous. We propose the definition of functional product spaces， which can be considered as a common framework of the product spaces， the topological sums and the functional spaces （the topology of pointwise convergence）.

Keywords：point-set topology； product topology； topological sum； topology of pointwise convergence； functional product space

收稿日期：2014-12-28；修回日期：2015-03-26；責(zé)任編輯：張軍

基金項目：國家自然科學(xué)基金（11201112）； 河北省自然科學(xué)基金（A2013208175，A2014403008）；河北省教育廳優(yōu)秀青年基金（Y2012020）；河北省高校百名優(yōu)秀創(chuàng)新人才支持計劃（BRII210）；河北省青年拔尖人才支持計劃

作者簡介：沈沖（1989—），男，河北保定人，碩士研究生， 主要從事格上拓?fù)鋵W(xué)和Domain理論方面的研究。

通訊作者：姚衛(wèi)教授。E-mail： yaowei0516@163.com

沈沖，姚衛(wèi).函數(shù)式積拓?fù)洌汉屯負(fù)洹⒎e拓?fù)浜忘c式收斂拓?fù)涞墓餐茝V [J].河北科技大學(xué)學(xué)報，2015，36（4）：390-393.

SHEN Chong， YAO Wei.Functional product topology： A common framework of the topological sum， the product topology and the functional topology of pointwise convergence[J].Journal of Hebei University of Science and Technology，2015，36（4）：390-393.在一般拓?fù)鋵W(xué)中，從一致的拓?fù)淇臻g出發(fā)，構(gòu)造新的拓?fù)淇臻g的方法很多，如從一族拓?fù)淇臻g出發(fā)，可以定義積空間與和空間[1-2]，在范疇論中分別對應(yīng)積對象和余積對象；由一個集合和一個拓?fù)淇臻g出發(fā)可以定義子空間和商空間[1-2]，對應(yīng)范疇論中的子對象和商對象[3-4]；由2個拓?fù)淇臻g出發(fā)可以定義點式收斂拓?fù)?、一致收斂拓?fù)浜途o-開拓?fù)涞认鄳?yīng)的（連續(xù)）函數(shù)空間[5-7]。設(shè)X是一個集合，Y是一個拓?fù)淇臻g，以YX為從X到Y(jié)的函數(shù)的全體，如果在X上賦予離散拓?fù)洌瑒tYX就是全體從X到Y(jié)的連續(xù)函數(shù)構(gòu)成的集合，相應(yīng)的函數(shù)空間也就是連續(xù)函數(shù)空間。正如文獻(xiàn)[1]所指出的，YX上的點式收斂拓?fù)鋵?yīng)的函數(shù)空間恰是{Yx|x∈X}的積空間。

本文擬研究積空間、和空間和函數(shù)空間（一致收斂拓?fù)洌┑膬?nèi)在聯(lián)系，將證明：

1）對于離散拓?fù)淇臻gX，拓?fù)淇臻g族{Yx|x∈X}的積拓?fù)浜蛷腦到{Yx|x∈X}的和空間的選擇函數(shù)構(gòu)成的集合上的點式收斂拓?fù)湎嗤?/p>

2）對于離散拓?fù)淇臻gX和笛卡爾積∏x∈XYx上的任意一個拓?fù)洌x值函數(shù)ev：∏x∈XYx×X→∪+x∈XYx連續(xù)，當(dāng)且僅當(dāng)對于任意的α∈X，投射pα：∏x∈XYx×X→Yα連續(xù)。

河北科技大學(xué)學(xué)報2015年第4期沈沖，等：函數(shù)式積拓?fù)洌汉屯負(fù)洹⒎e拓?fù)浜忘c式收斂拓?fù)涞墓餐茝V 最后，提出了函數(shù)式積空間的定義，這類空間可以作為積空間、和空間和函數(shù)空間（一致收斂拓?fù)洌┑墓餐茝V。

1預(yù)備知識

設(shè){Ai|i∈I}是一族集合，用∪+i∈IAi表示其不交并，即∪+Ai=∪i∈I{（x，i）|x∈Ai}，其中第2坐標(biāo)i只是對相應(yīng)的x∈Ai進(jìn)行了標(biāo)記，并沒有實際意義，因此在下文中為了敘述的簡便，將第2坐標(biāo)忽略，當(dāng)然理解的時候需要區(qū)分不同Ai可能相同的點。

定義1集族{Yx|x∈X}的笛卡爾積∏x∈XYx定義為集合：

∏x∈XYx={f：X→∪+x∈XYx|f（x）∈Yx對于每一個x∈X成立}，

事實上，∏x∈XYx恰是選擇函數(shù)的全體。

定義2[5]對于每一個α∈X，將笛卡爾積∏x∈XYx中的每一個元素f對應(yīng)為它的第α個坐標(biāo)的函數(shù)，即函數(shù)Pα：∏x∈XYx→Yα使得對于任何f∈∏x∈XYx有Pα（f）=f（α），稱為笛卡爾積∏x∈XYx的第α個投射。

定義3設(shè){Yx|x∈X}是一族拓?fù)淇臻g，Tp是笛卡爾積∏x∈XYx的以φ={p-1x（Ux）|x∈X，Ux是Yx的一個開集}為子基生成的拓?fù)?，則稱拓?fù)銽p為{Yx|x∈X}的積拓?fù)洌鄳?yīng)的拓?fù)淇臻g稱為{Yx|x∈X}的積空間，對于每一個x∈X，拓?fù)淇臻gYx稱為積空間∏x∈XYx的第x個坐標(biāo)空間。

積拓?fù)涫鞘沟盟型渡涠歼B續(xù)的最小拓?fù)洌峭負(fù)淇臻g范疇中的積對象[2]。

定義4[5]設(shè){（Yx，Tx）|x∈X}是一個拓?fù)淇臻g族，定義集族：

Ts={U∪+x∈XYx|x∈X，U∩Yx∈Tx}，

則Ts是∪+x∈XYx上的一個拓?fù)?，稱為{Yx|x∈X}上的和拓?fù)洹?/p>

和拓?fù)涫鞘沟酶鱕x到∪+x∈XYx的含入映射連續(xù)的最大拓?fù)?，是拓?fù)淇臻g范疇中的余積對象[2]。

注1）如果存在一個α∈X使得U∈Tα，則對于x∈X，

U∩Yx=，x≠α，

U，x=α，

且U∈Ts。即∪{Tx|x∈X}Ts。

2）設(shè)X是離散拓?fù)淇臻g，則笛卡爾積∏x∈XYx恰好是從拓?fù)淇臻gX到和空間∪+x∈XYx的連續(xù)的選擇函數(shù)的全體。

定義5[2]設(shè)YX是從拓?fù)淇臻gX到拓?fù)淇臻gY的所有連續(xù)函數(shù)構(gòu)成的集合，定義以φc={e-1x（U）|x∈X，U是Y的一個開集}為子基的拓?fù)錇門c，其中對于每個α∈X，eα（f）=f（α）是由積空間∏x∈XYx到不交并∪+x∈XYx的賦值函數(shù)。將YX的拓?fù)銽c稱為函數(shù)空間YX的點式收斂拓?fù)?，將拓?fù)淇臻g（YX，Tc）稱為從集合X到拓?fù)淇臻gY的函數(shù)空間（點式收斂拓?fù)洌?/p>

2積拓?fù)浜忘c式收斂拓?fù)涞年P(guān)系

定理1設(shè)X是離散拓?fù)淇臻g，{Yx|x∈X}的積拓?fù)浜蛷腦到∪+x∈XYx的選擇函數(shù)構(gòu)成的集合上的點式收斂拓?fù)湎嗤?/p>

證明由定義1可知，{Yx|x∈Y}的積空間Tp的基礎(chǔ)集恰是從X到∪+x∈XYx的選擇函數(shù)構(gòu)成的全體。設(shè)X到∪+x∈XYx的點式收斂為Tc，則Tc=Tp當(dāng)且僅當(dāng)φp=φc，其中φp，φc分別是Tc和Tp的子基。

如果V∈φp，即存在α∈X和U∈Tα使得V=p-1α（U）={f∈∏x∈XYx|f（α）∈U}成立，則U∈Ts，故V=p-1α（U）={f∈∏x∈XYx|f（a）∈U}=e-1α（U）∈φc。

反過來，如果V∈φc，則存在β∈X和U∈Ts使得V=e-1β（U）={f∈∏x∈XYx|f（β）∈U}。令Vx=U∩Yx，可得U=∪+x∈XVx，故V=e-1β（∪+x∈XVx）=（∪+x∈Xe-1β（Vx））。由于對于任意的x∈X和f∈∏x∈XYx滿足f（x）∈Yx，所以當(dāng)x≠β時，V=e-1β（Vx）=，故V=∪+x∈Xe-1β（Vx）=e-1β（Vβ）。又Vβ∈Yβ，所以V=e-1β（Vβ）=p-1β（Vβ）∈φp。

由定義3可知下邊的定理是顯然的。

引理1設(shè)X是離散拓?fù)淇臻g，（Y，TY）是一個拓?fù)淇臻g，則X×Y的積拓?fù)銽{U×V|UX，V∈TY}。

定理2設(shè)X是離散拓?fù)淇臻g，T是笛卡爾積∏x∈XYx上的任意一個拓?fù)?，則下列條件等價：

1）賦值函數(shù)ev：∏x∈XYx×X→∪+x∈XYx連續(xù)；

2）對于任意的α∈X，投射pα：∏x∈XYx→Yα連續(xù)。

證明1）蘊含2）：對于α∈X，設(shè)U∈Tα，則U∈Ts，ev-1（U）={（f，t）|f∈∏x∈XYx，t∈X，f（t）∈U}，由f的性質(zhì)可知，當(dāng)t≠α?xí)r，f（t）U，故ev-1（U）={（f，α）|f∈∏x∈XYx，f（α）∈U}=p-1a（U）×{α}是拓?fù)淇臻g∏x∈XYx×X中的開集，所以pα連續(xù)。

2）蘊含1）：設(shè)U∈Ts，令Vx=U∩Yx∈T，ev-1（U）=ev-1（∪+x∈XVx）=∪+x∈Xev-1（Vx）=∪+x∈Xp-1x（Vx）×{X}。對于任意的α∈X，由于pα連續(xù)，所以p-1α（Vα）是積空間∏x∈XYx中的開集。由于X是離散拓?fù)淇臻g，故ev-1（U）=∪+x∈Xp-1x（Vx）×{X}是∏x∈XYx×X中的開集，所以ev連續(xù)。

最后提出函數(shù)式積空間的概念，它是和拓?fù)?、積拓?fù)浜忘c式收斂拓?fù)涞墓餐茝V。

定義6設(shè)X是一個拓?fù)淇臻g，{Yi|i∈I}是一族拓?fù)淇臻g，稱從X到∪+i∈IYi的函數(shù)空間（點式收斂拓?fù)洌閧Yi|i∈I}的（相對于X的）函數(shù)式積空間。

例11） 如果X是單點集，則相對于X的函數(shù)式積空間即為和空間；

2）如果I是單點集，則函數(shù)式積空間即為通常的函數(shù)空間（點式收斂拓?fù)洌?/p>

3）如果X=I并賦予離散拓?fù)?，則由定理1可知，通常的積空間可看作函數(shù)式積空間的一個子空間。

這說明通常的和拓?fù)?、積拓?fù)浜忘c式收斂拓?fù)?，可以看作本文定義的函數(shù)式積空間的特殊情況。

3結(jié)語

借助于和空間，本文證明了積拓?fù)浜忘c式拓?fù)淇梢韵嗷ケ硎?，并且對于積空間上的任意拓?fù)洌x值函數(shù)連續(xù)等價于每一個投射都連續(xù)。由此提出了函數(shù)式積空間的概念，它可以作為和空間、積空間和點式收斂空間的共同推廣。

參考文獻(xiàn)/References：

[1]熊金城.點集拓?fù)渲v義[M].3版.北京：高等教育出版社， 2003.

XIONG Jincheng. Point-Set Topology[M]. 3rd ed.Beijing： China Higher Education Press， 2003.

[2]ENGELKING R. General Topology[M]. New York：Springer-Verlay， 1977.

[3]ADAMEK J，HERRLICH H，STRECKER G E. Abstract and Concrete Categories[M]. New York：Springer-Verlay， 1990.

[4]賀偉. 范疇論[M]. 北京：科學(xué)出版社， 2007.

HE Wei. Category Theory[M]. Beijing： Science Press， 2007.

[5]高國士. 拓?fù)淇臻g論[M].2版.北京：科學(xué)出版社，2008.

GAO Guoshi. Theory of Topoloigcal Spaces[M]. 2nd ed.Beijing： Science Press， 2008.

[6]王洪珂. 關(guān)于商空間、積空間同胚問題的注記[J]. 綏化學(xué)院學(xué)報，2005，25（2）：159-160.

WANG Hongke. A note on homeomorphism problems of quotient spaces and product spaces [J]. Journal of Suihua College， 2005，25（2）：159-160.

[7]王鐵平， 趙金貴.具有閉射影的積空間的正規(guī)性[J]. 山西師范大學(xué)學(xué)報，1992，7（1）： 23-27.

WANG Tieping， ZHAO Jingui. Normality of product spaces with closed maps [J]. Journal of Shanxi Normal University，1992，7（1）：23-27.第36卷第4期河北科技大學(xué)學(xué)報Vol.36，No.4