禹長(zhǎng)龍 王菊芳 李國(guó)剛

摘要：運(yùn)用Leray-Schauder非線性抉擇定理研究了一類無(wú)窮區(qū)間上含有p-Laplacian算子的n階微分方程積分邊值問題：

（φp（x（n-1）））′（t）+a（t）f（t，x（t），x′（t））=0，0

x（0）=α∫+∞ηg（τ）x（τ）dτ，x′（0）=x″（0）=…=xn-2（0）=0，limt→+∞x（n-1）（t）=0

解的存在性，其中η∈[0，+∞），α∈[0，+∞）且f∈C（[0，+∞）×R×R，[0，+∞））。

關(guān)鍵詞：常微分方程其他學(xué)科；p-Laplacian算子；n階微分方程；積分邊值問題；Leray-Schauder非線性抉擇定理

中圖分類號(hào)：O175MSC（2010）主題分類：34B40文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

Existence of positive solutions for nth-order integral boundary value

problems with p-Laplacian operator on infinite interval

YU Changlong， WANG Jufang， LI Guogang

（School of Science， Hebei University of Science and Technology， Shijiazhuang， Hebei 050018， China ）

Abstract：In this paper， Leray-Schauder nonlinear alternative theorem is used to study the existence of positive solutions for nth-order integral boundary value problems with p-Laplacian operator on infinite interval

（φp（x（n-1）））′（t）+a（t）f（t，x（t），x′（t））=0，0

x（0）=α∫+∞ηg（τ）x（τ）dτ，x′（0）=x″（0）=…=xn-2（0）=0，limt→+∞x（n-1）（t）=0

where η∈[0，+∞），α∈[0，+∞） and f∈C（[0，+∞）×R×R，[0，+∞））.

Keywords：ordinary differential equation； p-Laplacian； nth-order differential equation； integral boundary value problems；Leray-Schauder nonlinear alternative theorem

收稿日期：2015-03-08；修回日期：2015-05-10；責(zé)任編輯：張軍

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金（11201112）；河北省自然科學(xué)基金（A2013208147，A2014208152，A2015208114，A2015208051）；河北省教育廳基金（Z2014062）；河北省教育廳自然科學(xué)青年基金（QN2015175）

作者簡(jiǎn)介：禹長(zhǎng)龍（1978—），男，河北陽(yáng)原人，講師，碩士，主要從事微分方程邊值問題、數(shù)值計(jì)算等方面的研究。

E-mail：changlongyu@126.com

禹長(zhǎng)龍，王菊芳，李國(guó)剛.無(wú)窮區(qū)間上含有p-Laplacian算子的n階積分邊值問題正解的存在性[J].河北科技大學(xué)學(xué)報(bào)，2015，36（4）：382-389.

YU Changlong， WANG Jufang，LI Guogang.Existence of positive solutions for nth-order integral boundary value problems with p-Laplacian operator on infinite interval[J].Journal of Hebei University of Science and Technology，2015，36（4）：382-389.1問題提出

無(wú)窮區(qū)間上的邊值問題起源于應(yīng)用數(shù)學(xué)和物理領(lǐng)域，具有廣泛的應(yīng)用背景。早在1908年，BLAIUS利用相似變化技巧，對(duì)不可壓縮均勻流體沿零攻繞流無(wú)限大平板的邊界層情況給出了著名的布拉休斯邊界層方程：

f′′′（η）+f（η）f″（η）=0，

f（0）=f′（0）=0，f′（+∞）=1。

這是出現(xiàn)最早的無(wú)窮區(qū)間邊值問題[1]。1957年，KIDDER在研究半無(wú)窮多孔介質(zhì)壓力與位置及時(shí)間的關(guān)系時(shí)也得到無(wú)窮區(qū)間上的邊值問題：

河北科技大學(xué)學(xué)報(bào)2015年第4期禹長(zhǎng)龍，等：無(wú)窮區(qū)間上含有p-Laplacian算子的n階積分邊值問題正解的存在性W″+2z（1-αW1/2）1/2W′=0，

W（0）=1，W（+∞）=0，

對(duì)這類問題的一系列研究，形成了無(wú)窮區(qū)間上的邊值問題[2]。近年來(lái)，由于無(wú)窮區(qū)間邊值問題的廣泛應(yīng)用，引起了越來(lái)越多人們對(duì)無(wú)窮區(qū)間邊值問題解的存在性的關(guān)注，主要結(jié)果見文獻(xiàn)[3]—文獻(xiàn)[11]。

無(wú)窮區(qū)間上含p-Laplacian算子的微分方程邊值問題也被廣泛研究[12-15]，無(wú)窮區(qū)間上的含p-Laplacian算子的高階微分方程邊值問題的研究結(jié)果很少。關(guān)于這類方程在積分邊界條件下的邊值問題的結(jié)論目前還未見到。

本文研究一類無(wú)窮區(qū)間上的含p-Laplacian算子的階微分方程積分邊值問題：

（φp（x（n-1）））′（t）+a（t）f（t，x（t），x′（t））=0，0

x（0）=α∫+∞ηg（τ）x（τ）dτ，x′（0）=x″（0）=…=x（n-2）（0）=0，limt→+∞x（n-1）（t）=0（1）

解的存在性，其中η∈[0，+∞），α∈[0，+∞）且f∈C（[0，+∞）×R×R，[0，+∞））。

假設(shè)滿足以下條件：

H1）0<α∫+∞ηg（τ）dτ<1且0<∫+∞ηg（τ）τn-2dτ<+∞；

H2）f：[0，+∞）×R×R→[0，+∞）連續(xù)；

H3）F（t，u，v）=f（t，（1+t）n-1u，（1+t）n-2v），ω∈C1（[0，+∞），[0，+∞））非減，且θ（x）∈L1[0，+∞），使得|F（t，u，v）|≤θ（t）φp（ω（|u|））；

H4）∫+∞0φ-1p（∫+∞sa（τ）dτ）ds<+∞。

2預(yù)備知識(shí)

定義空間：

X=x∈Cn-1[0，+∞），sup0≤t<+∞|x（t）|1+tn-1<+∞，sup0≤t<+∞|x′（t）|1+tn-2<+∞，

賦予范數(shù)‖x‖=max{‖x‖1，‖x′‖1}，其中‖x‖1=sup0≤t<+∞|x（t）|1+tn-1，‖x′‖1=sup0≤t<+∞|x′（t）|1+tn-2。易證X為一個(gè)巴拿赫空間。

設(shè)PX，且P=x∈X：x（t）≥0，t∈[0，+∞），x（0）=α∫+∞ηg（t）x（t）dt，limt→+∞xn-1（t）=0。

下面給出Leray-Schauder非線性抉擇定理。

定理1[16]設(shè)X為賦范線性空間，KX為有界凸子集，ΩK為相對(duì)開集，T：→K為全連續(xù)映射，點(diǎn)p∈Ω，則下列結(jié)論至少有1個(gè)成立：

1）T在中有不動(dòng)點(diǎn)；

2）x∈Ω，λ∈（0，1），使x=λTx+（1-λ）p有解。

由于Arzela-Ascoli定理在無(wú)窮區(qū)間上是失效的，為此給出一個(gè)新的判定無(wú)窮區(qū)間相對(duì)緊集的準(zhǔn)則。

引理1設(shè)V={x∈X：‖x‖0}，滿足：在任何有限區(qū)間上，函數(shù)族x（t）1+tn-1：x∈V和x′（t）1+tn-2：x∈V等度連續(xù)且對(duì)ε>0，N>0，當(dāng)t，t′≥N時(shí)，對(duì)一切x∈V有：

x（t）1+tn-1-x（t′）1+（t′）n-1<ε，x′（t）1+tn-2-x′（t′）1+（t′）n-2<ε，

則V為X中的相對(duì)緊集。

證明引理的證明類似于文獻(xiàn)[17]中引理2.2的證明。

引理2設(shè)y∈C（R+，R+），則邊值問題：

（φp（x（n-1）））′（t）+y（t）=0，0

x（0）=α∫+∞ηg（τ）x（τ）dτ，x′（0）=x″（0）=…=x（n-2）（0）=0，limt→+∞x（n-1）（t）=0（2）

有唯一解：

x（t）=∫+∞0G（t，s）φ-1p（∫+∞sy（τ）dτ）ds，

其中，G（t，s）稱為n階積分邊值問題（2）的Green函數(shù)，且

G（t，s）=α（n-2）！（1-α∫+∞ηg（τ）dτ）·

∫+∞ηg（τ）（τ-s）n-2dτ+（1-α∫+∞ηg（τ）dτ）（t-s）n-2，0≤s≤min{η，t}，

∫+∞ηg（τ）（τ-s）n-2dτ，t≤s≤η，

∫+∞sg（τ）（τ-s）n-2dτ+（1-α∫+∞ηg（τ）dτ）（t-s）n-2，η≤s≤t，

∫+∞sg（τ）（τ-s）n-2dτ，s≥max{η，t}。

證明對(duì)邊值問題（2）的第1式兩邊積分，積分區(qū)間為[t，+∞），則有：

∫+∞t（φp（xn-1））′（τ）dτ=∫+∞t-y（τ）dτ，

由邊界條件limt→+∞x（n-1）（t）=0可得：

x（n-1）（t）=φ-1p（∫+∞ty（τ）dτ）。（3）

對(duì)式（3）兩邊積分，積分區(qū)間為[0，t]，則有：

∫t0xn-1（s）ds=∫t0φ-1p（∫+∞sy（τ）dτ）ds，

由邊界條件可得：

x（n-2）（t）=∫t0φ-1p（∫+∞sy（τ）dτ）ds，（4）

再對(duì)式（4）兩邊積分，積分區(qū)間為[0，t]，則有：

∫t0xn-2（γ）dγ=∫t0（∫γ0φ-1p（∫+∞sy（τ）dτ）ds）dγ，

由邊界條件并交換積分次序得：

x（n-3）（t）=∫t0（t-s）φ-1p（∫+∞sy（τ）dτ）ds。（5）

重復(fù)上面的過(guò)程，經(jīng)過(guò)n次積分可得：

x（t）=x（0）+∫t01（n-2）?。╰-s）n-2φ-1p（∫+∞sy（τ）dτ）ds，（6）

又x（0）=α∫+∞ηg（τ）x（τ）dτ，于是有：

x（0）=α（n-2）！（1-α∫+∞ηg（τ）dτ）[∫η0φ-1p（∫+∞sy（τ）dτ）∫+∞ηg（τ）（τ-s）n-2dτds·

∫+∞ηφ-1p（∫+∞sy（τ）dτ）∫+∞ηg（τ）（τ-s）n-2dτds]，

因此可得：

x（t）=α（n-2）?。?-α∫+∞ηg（τ）dτ）∫η0φ-1p（∫+∞sy（τ）dτ）∫+∞ηg（τ）（τ-s）n-2dτds·

∫+∞ηφ-1p（∫+∞sy（τ）dτ）∫+∞sg（τ）（τ-s）n-2dτds+∫t01（n-2）?。╰-s）n-2φ-1p（∫+∞sy（τ）dτ）ds=

∫+∞0G（t，s）（φ-1p（∫+∞sy（τ）dτ））ds，

其中，G（t，s）=α（n-2）！（1-α∫+∞ηg（τ）dτ）·

∫+∞ηg（τ）（τ-s）n-2dτ+（1-α∫+∞ηg（τ）dτ）（t-s）n-2，0≤s≤min{η，t}，

∫+∞ηg（τ）（τ-s）n-2dτ，t≤s≤η，

∫+∞sg（τ）（τ-s）n-2dτ+（1-α∫+∞ηg（τ）dτ）（t-s）n-2，η≤s≤t，

∫+∞sg（τ）（τ-s）n-2dτ，s≥max{η，t}。

引理得證。

引理3t，s∈[0，+∞），則有：

0≤G（t，s）≤α（n-2）?。?-α∫+∞ηg（τ）dτ）∫+∞ηg（τ）τn-2dτ+（1-α∫+∞ηg（τ）dτ）tn-2。

證明由函數(shù)的單調(diào)性易證。

定義算子T：P→X為

（Tx）（t）=∫+∞0G（t，s）φ-1p（∫+∞sa（τ）f（τ，x（τ），x′（τ））dτ）ds，

且易得：

（Tx）′（t）=∫t0（t-s）n-3（n-3）！φ-1p（∫+∞sa（τ）f（τ，x（τ），x′（τ））dτ）ds。

引理4假設(shè)條件H1）—條件H4）成立，則算子T：P→P是全連續(xù)的。

證明易證T：P→P成立。下面證T連續(xù)且是相對(duì)緊的。

首先，證明算子T是連續(xù)的。

設(shè)xn，x∈P且n→+∞時(shí)，xn→x，則存在r0使得supn∈N＼{0}‖xn‖≤r0。令

Br0=sup{f（t，（1+t）n-1u，（1+t）n-2v），（t，u，v）∈[0，+∞）×[0，r0]2}，

顯然有：

∫+∞0a（τ）|f（τ，xn，x′n）-f（τ，x，x′）|dτ≤2Br0∫+∞0a（τ）dτ<+∞，

由勒貝格控制收斂定理可得：

|φ-1p（∫+∞0a（τ）f（τ，xn，x′n）dτ-φ-1p（∫+∞0a（τ）f（τ，x，x′）dτ）|→0，n→+∞，

于是有：

‖（Txn）-（Tx）‖1=supt∈[0，+∞）（Txn）（t）-（Tx）（t）1+tn-1=

supt∈[0，+∞）11+tn-1∫+∞0G（t，s）φ-1p（∫+∞sa（τ）f（τ，xn（τ），x′n（τ））dτ）-

φ-1p（∫+∞sa（τ）f（τ，x（τ），x′（τ））dτ）ds≤

supt∈[0，+∞）α（n-2）！（1-α∫+∞ηg（t）dt）（1+tn-1）（∫+∞0g（τ）τn-2dτ+

（1-α∫+∞ηg（τ）dτ）tn-2）∫+∞0φ-1p（∫+∞sa（τ）f（τ，xn（τ），x′n（τ））dτ）-

φ-1p（∫+∞sa（τ）f（τ，x（τ），x′（τ））dτ）ds→0，n→+∞，

‖（Txn）′-（Tx）′‖1=supt∈[0，+∞）（Txn）′（t）-（Tx）′（t）1+tn-2=

supt∈[0，+∞）1（n-3）?。?+tn-2）∫t0（t-s）n-3（φ-1p（∫+∞sa（τ）f（τ，xn（τ），x′n（τ））dτ）-

φ-1p（∫+∞sa（τ）f（τ，x（τ），x′（τ））dτ））ds≤

supt∈[0，+∞）1（n-3）?。?+t-2）∫t0（t-s）n-3φ-1p（∫+∞sa（τ）f（τ，xn（τ），x′n（τ））dτ）-

φ-1p（∫+∞sa（τ）f（τ，x（τ），x′（τ））dτ）ds→0，n→+∞。

綜上所述，當(dāng)n→+∞時(shí)，‖（Txn）-（Tx）‖→0，所以T是連續(xù)的。

其次，證明算子T將有界集映為相對(duì)緊集。

設(shè)Ω是P的任意有界集，則存在r>0，使得x∈Ω，‖x‖

‖（Tx）‖1=supt∈[0，+∞）（Tx）1+tn-1=

supt∈[0，+∞）11+tn-1∫+∞0G（t，s）φ-1p（∫+∞sa（τ）f（τ，x（τ），x′（τ））dτ）ds≤

supt∈[0，+∞）α（∫+∞0g（τ）τn-2dτ+（1-α∫+∞ηg（τ）dτ）tn-2）（1+tn-1）（n-2）?。?-α∫+∞ηg（t）dt）·

∫+∞0φ-1p（∫+∞sa（τ）f（τ，x（τ），x′（τ））dτ）ds≤

α（n-2）?。ā?∞ηg（τ）τn-2dτ1-∫+∞ηg（τ）dτ+1）∫+∞0φ-1p（∫+∞sa（τ）dτ）dsφ-1p（Br），

且

‖（Tx）′‖1=supt∈[0，+∞）（Tx）′1+tn-2=

supt∈[0，+∞）1（n-3）?。?+tn-2）∫t0（t-s）n-3（φ-1p（∫+∞sa（τ）f（τ，x（τ），x′（τ））dτ））ds≤

supt∈[0，+∞）tn-3（n-3）?。?+tn-2）∫+∞0φ-1p（∫+∞sa（τ）Brdτ）ds≤

1（n-3）?。ā?∞0φ-1p（∫+∞sa（τ）dτ）dsφ-1p（Br），取

M=max{α（n-2）！（∫+∞ηg（τ）τn-2dτ1-∫+∞ηg（τ）dτ+1），1（n-3）！}∫+∞0φ-1p（∫+∞sa（τ）dτ）ds，

則有‖TX‖≤Mφ-1p（Br）。于是TΩ有界。

下證x∈Ω，TΩ是等度連續(xù)的。

L∈（0，+∞），且t1，t2∈[0，L]，因?yàn)椤?∞0φ-1p（∫+∞sa（τ）dτ）ds<+∞，且函數(shù)G（t，s）1+tn-1連續(xù)，所以有：

（Tx）（t1）1+tn-11-（Tx）（t2）1+tn-12=11+tn-11∫+∞0G（t1，s）φ-1p（∫+∞sa（τ）f（τ，x（τ），x′（τ））dτ）ds-

11+tn-12∫+∞0G（t2，s）φ-1p（∫+∞sa（τ）f（τ，x（τ），x′（τ））dτ）ds=

φ-1p（Br）∫+∞0φ-1p（∫+∞sa（τ）dτ）G（t1，s）1+tn-11-G（t2，s）1+tn-12ds→0，t1→t2，

同理可得：

（Tx）′（t1）1+tn-21-（Tx）′（t2）1+tn-22=1（n-3）！∫t10（t1-s）n-31+tn-21φ-1p（∫+∞sa（τ）f（τ，x（τ），x′（τ））dτ）ds-

1（n-3）！∫t20（t2-s）n-31+tn-22φ-1p（∫+∞sa（τ）f（τ，x（τ），x′（τ））dτ）ds≤

φ-1p（Br）（n-3）！∫t10φ-1p（∫+∞sa（τ）dτ）（t1-s）n-31+tn-21-（t2-s）n-31+tn-22ds+

φ-1p（Br）（n-3）！∫t2t1φ-1p（∫+∞sa（τ）dτ）（t2-s）n-31+tn-22ds→0，t1→t2，

所以對(duì)x∈Ω，TΩ是等度連續(xù)的。

最后，證明TΩ是一致收斂的。對(duì)于x∈Ω，有：

limt→+∞（Tx）（t）1+tn-1=limt→+∞11+tn-1∫+∞sG（t，s）φ-1p（∫+∞sa（τ）f（τ，x（τ），x′（τ））dτ）ds≤

limt→+∞α（∫+∞0g（τ）τn-2dτ+（1-α∫+∞ηg（τ）dτ）tn-2）（1+tn-1）（n-2）！（1-α∫+∞ηg（t）dt）·

∫+∞0φ-1p（∫+∞sa（τ）f（τ，x（τ），x′（τ））dτ）ds≤

limt→+∞α（∫+∞0g（τ）τn-2dτ+（1-α∫+∞ηg（τ）dτ）tn-2）（1+tn-1）（n-2）?。?-α∫+∞ηg（t）dt）·

∫+∞0φ-1p（∫+∞sa（τ）dτ）ds·φ-1p（Br）=0，

且

limt→+∞（Tx）′（t）1+tn-2=limt→+∞1（n-3）！（1+tn-2）∫t0（t-s）n-3φ-1p（∫+∞sa（τ）f（τ，x（τ），x′（τ））dτ）ds≤

limt→+∞1（n-3）?。?+tn-2）∫t0（t-s）n-3φ-1p（∫+∞sa（τ）dτ）ds·φ-1p（Br）=0。

所以TΩ是一致收斂的，由引理1得TΩ是相對(duì)緊集，即T是緊算子，因此，T：P→P是全連續(xù)的，證畢。

3主要結(jié)論及證明

定理2 設(shè)條件H1）—條件H4）成立，且假設(shè)條件H3）中的函數(shù)ω和θ滿足：

H5）ρ>0使得：

Lω（ρ）∫+∞0φ-1p（∫+∞sθ（s）a（τ）dτ）ds>1，

則邊值問題（1）至少有1個(gè)正解x（t），且

0

其中：

L=minρ（n-2）?。?-∫+∞ηg（τ）dτ）α（∫+∞ηg（τ）（τn-2-1）dτ+1），ρ（n-3）！。

證明考慮邊值問題：

（φp（x（n-1）））′（t）+λa（t）f（t，x（t），x′（t））=0，0

x（0）=α∫+∞ηg（τ）x（τ）dτ，x′（0）=x″（0）=…=xn-2（0）=0，limt→+∞x（n-1）（t）=0，（7）

其中0<λ<1，求解式（7）等價(jià)于求解不動(dòng)點(diǎn)問題x=λTx。

令U={x∈X，‖x‖≤ρ}，斷言對(duì)于x∈U，λ∈（0，1），x≠λTx。假使不然，設(shè)存在x∈U，λ∈（0，1），使得x=λTx，則

‖x‖1=‖λTx‖1=supt∈[0，+∞）λ（Tx）（t）1+tn-1≤supt∈[0，+∞）（Tx）（t）1+tn-1=

supt∈[0，+∞）∫+∞0G（t，s）1+tn-1φ-1p（∫+∞sa（τ）f（τ，x），x′（τ））dτ）ds≤

supt∈[0，+∞）α（∫+∞0g（τ）τn-2dτ+（1-α∫+∞ηg（τ）dτ）tn-2）（1+tn-1）（n-2）?。?-α∫+∞ηg（t）dt）·

∫+∞0φ-1p（∫+∞sa（τ）F（τ，x（τ）1+tn-1，x′（τ））dτ）ds≤

α（n-2）！（∫+∞ηg（τ）τn-2dτ1-∫+∞ηg（τ）dτ+1）∫+∞0φ-1p（∫+∞sθ（τ）φp（ω（|x（τ）|1+τn-1））a（τ）dτ）ds≤

αω（ρ）（n-2）?。ā?∞ηg（τ）τn-2dτ1-∫+∞ηg（τ）dτ+1）∫+∞0φ-1p（∫+∞sθ（τ）a（τ）dτ）ds，

所以

ρ≤αω（ρ）（n-2）?。ā?∞ηg（τ）τn-2dτ1-∫+∞ηg（τ）dτ+1）∫+∞0φ-1p（∫+∞sθ（τ）a（τ）dτ）ds，

即

ρ（n-2）?。?-∫+∞ηg（τ）dτ）αω（ρ）（∫+∞ηg（τ）（τn-2-1）dτ+1）∫+∞0φ-1p（∫+∞sθ（τ）a（τ）dτ）ds≤1。

同理，有：

‖x′‖1=‖λ（Tx）′‖1=supt∈[0，+∞）λ（Tx）′（t）1+tn-2≤supt∈[0，+∞）（Tx）′（t）1+tn-2=

supt∈[0，+∞）∫+∞0（t-s）n-3（1+tn-2）（n-3）！φ-1p（∫+∞sa（τ）f（τ，x（τ），x′（τ））dτ）ds=

supt∈[0，+∞）∫+∞0（t-s）n-3（1+tn-2）（n-3）！φ-1p（∫+∞sa（τ）F（τ，x（τ）1+tn-2，x′（τ））dτ）ds≤

1（n-3）！∫+∞0φ-1p（∫+∞sa（τ）F（τ，x（τ）1+tn-2，x′（τ））dτ）ds≤

1（n-3）！∫+∞0φ-1p（∫+∞sθ（s）φ-1p（ω（|x（τ）|1+tn-2））a（τ）dτ）ds≤

ω（ρ）（n-3）！∫+∞0φ-1p（∫+∞sθ（s）a（τ）dτ）ds，

所以

ρ≤ω（ρ）（n-3）！∫+∞0φ-1p（∫+∞sθ（s）a（τ）dτ）ds，

即

ρ（n-3）！ω（ρ）∫+∞0φ-1p（∫+∞sθ（s）a（τ）dτ）ds≤1，

這與條件H5）矛盾，由定理1和引理4可得邊值問題（1）至少有1個(gè)正解x（t），且‖x（t）‖<ρ。

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