李 琪，王 濤，滕 藤，李二洋，白 磊

(1.西安石油大學(xué) 石油工程學(xué)院，陜西 西安 710065； 2.長慶油田 采油一廠，陜西 延安 716029)

鉆井液流變參數(shù)計算新方法及流變模式優(yōu)選

李 琪1，王 濤1，滕 藤1，李二洋1，白 磊2

(1.西安石油大學(xué) 石油工程學(xué)院，陜西 西安 710065； 2.長慶油田 采油一廠，陜西 延安 716029)

鉆井液流變參數(shù)的準(zhǔn)確計算和流變模式的優(yōu)選是鉆井液優(yōu)化設(shè)計及鉆井水力學(xué)計算的前提。針對常用的4種流變模式，分析了流變參數(shù)的常規(guī)算法及回歸分析算法；利用0.618法非線性回歸分析計算出了冪律模式和赫巴模式的流變參數(shù)，分析比較了鉆井液流變模式的4種優(yōu)選方法，得出擬合殘差平方和方法為最有效的優(yōu)選方法；開發(fā)了鉆井液流變模式優(yōu)選軟件，可輸出各流變模式的流變參數(shù)及最優(yōu)流變模式，并結(jié)合實測數(shù)據(jù)進行了實例分析。

鉆井液；流變模式；流變參數(shù)；回歸分析；軟件開發(fā)

鉆井液是鉆井工程的血液，在鉆井過程中，鉆井液的流變性可影響鉆速、泵壓、排量、鉆井液的當(dāng)量密度、巖屑的攜帶與懸浮以及固井質(zhì)量等，直接關(guān)系到鉆井安全和成本[1]。因此，控制鉆井液的流變性非常重要。國內(nèi)外學(xué)者先后提出了多種流變模式來描述鉆井液的流變性，如冪律模式、賓漢模式、卡森模式及赫巴模式等。不同流變模式的提出也帶來了一個問題：對于某一給定的鉆井液體系和配方，如何選擇一種最適合的流變模式來描述其實際流變性。雖然在常規(guī)井眼，鉆井液的近似模擬對水力計算不會造成太大誤差，但對一些特殊井眼，如小井眼，隨著環(huán)空間隙的減小，環(huán)空壓降對流變模式的選擇變得相當(dāng)敏感[2]。另外，隨著工程技術(shù)理論實踐和計算機技術(shù)的發(fā)展，高效、科學(xué)、安全的鉆探必須依托精確的流變參數(shù)。因此，鉆井液流變模式的優(yōu)選及流變參數(shù)的計算就顯得極為重要，其對評價鉆井液性能、優(yōu)選鉆井水力參數(shù)及安全鉆井等均具有重要意義。

1 常用鉆井液流變模式及其參數(shù)常規(guī)算法

在鉆井工程領(lǐng)域，常用鉆井液流變模式的方程及流變參數(shù)的常規(guī)算法如表1所示[3]。常規(guī)計算方法簡單易用，方便現(xiàn)場操作，因而得到了廣泛的應(yīng)用。但也有如下不足之處：(1)計算過程中只用了黏度計的1個或幾個讀數(shù)，未能充分利用實驗數(shù)據(jù)；(2)常規(guī)算法得到的賓漢與冪律模式的流變參數(shù)只能反映流體中、高剪切速率下的流動規(guī)律，不能反映低剪切速率流動的環(huán)空流體的流動規(guī)律，會導(dǎo)致水力計算誤差的增大；(3)文獻和現(xiàn)場大量實驗數(shù)據(jù)表明，φ3和φ6的數(shù)據(jù)因旋轉(zhuǎn)黏度計內(nèi)外筒環(huán)的液體呈塞流流動，讀數(shù)不準(zhǔn)確，這一點對于高密度鉆井液尤為突出[4]，這也加劇了常規(guī)算法的不準(zhǔn)確性。

隨著計算機的廣泛應(yīng)用，結(jié)合數(shù)理統(tǒng)計的處理方法，完全可以充分利用旋轉(zhuǎn)黏度計的6個讀數(shù)，提高流變參數(shù)的計算精度，從而減小誤差。

2 回歸分析計算流變參數(shù)

在數(shù)理統(tǒng)計學(xué)上，把研究1個(或幾個)自變量與1個隨機變量之間的相關(guān)關(guān)系式所建立的數(shù)學(xué)模型及所作的統(tǒng)計分析稱為回歸分析[5]。目前計算流變參數(shù)的回歸分析方法可分為線性和非線性回歸分析2種，并且都是基于最小二乘原理。

2.1 線性回歸分析

采用在流變方程等式兩端取對數(shù)轉(zhuǎn)換的方法，可將非線性流變模式轉(zhuǎn)換為線性模式，統(tǒng)一用一元線性回歸分析方法計算流變參數(shù)。各流變模式的線

性回歸模型[6-7]如表1所示。

表1 各流變模式流變參數(shù)常規(guī)算法及線性回歸模型

注：φ3、φ6、φ100、φ200、φ300、φ600分別為旋轉(zhuǎn)黏度計3、6、100、200、300、600 r/min的讀數(shù)；τ為剪切應(yīng)力，Pa；γ為剪切速率，s-1；τ0為屈服值，Pa；μP為塑性黏度，Pa·s；k為稠度系數(shù)，Pa·sn；n為流性指數(shù)；τc為卡森屈服值，Pa；μ∞為極限高剪切黏度，mPa·s；τHB為赫巴屈服值，Pa；τi，data為實測剪切力；τi，cal為理論剪切力。

2.2 非線性回歸分析新算法

求解非線性最小二乘問題，常使用的是LMF算法[9]，但是在實際應(yīng)用中發(fā)現(xiàn)，如果初始值設(shè)置不好，算法常收斂到無意義解。為克服這一弊端，結(jié)合赫巴及冪律模式流變方程的特點，提出用0.618法即一維搜索的黃金分割法來計算赫巴模式、冪律模式的流變參數(shù)。

設(shè)實測數(shù)據(jù)為(τ1，γ1)，(τ2，γ2)，(τ3，γ3)，…,(τN，γN)，定義最小二乘目標(biāo)函數(shù)F。

赫巴流體：

(1)

冪律流體：

(2)

因此，流變參數(shù)估計問題可歸結(jié)為求最小值問題：min[F()]，通過求目標(biāo)函數(shù)的最小值，就可得到2種流變模式流變參數(shù)的最優(yōu)估計值。以冪律模式為例介紹計算流變參數(shù)的0.618法。

對式(2)求函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)，得到：

(3)

(4)

此時，目標(biāo)函數(shù)可改寫為

F(n)=T+k2S2n-2kTn。

(5)

F(n)是關(guān)于n的一元函數(shù)，當(dāng)其取得最小值時對應(yīng)的n值即為最優(yōu)流性指數(shù)值，再由式(4)即可求出最優(yōu)稠度系數(shù)k值。由于現(xiàn)場用鉆井液n值多在0到1之間，且 F(n)在區(qū)間[0,1]上是下單峰函數(shù)[10]，故可用一維搜索方法中的0.618法求其最小值。

0.618法的詳細(xì)計算步驟如下[11]：

Step1 由初始區(qū)間[a1,b1]及精度要求ε>0，計算試算點。

計算F(n1(1))、F(n2(1)),令k=1。

Step2 若bk-ak<ε，停止計算,[ak,bk]中任意點均可以作為所求極小點的近似，否則，當(dāng)F(n1(k))≤F(n2(k))時轉(zhuǎn)入Step3，當(dāng)F(n1(k))>F(n2(k))時，轉(zhuǎn)入Step4。

Step3 令ak+1= ak，bk+1=n2(k)，n2(k+1)= n1(k)，n1(k+1)= ak+1+0.382(bk+1- ak+1)，

計算F(n1(k+1))。

Step4 令ak+1= n1(k)，bk+1= bk，n1(k+1)= n2(k)，n2(k+1)= ak+1+0.618(bk+1- ak+1)。

計算F(n2(k+1))。

Step5 令k=k+1，轉(zhuǎn)入Step2。

由此，可得到冪律模式的最優(yōu)流性指數(shù)n值，進而由式(4)求出稠度系數(shù)k值。同理對于赫巴模式可先用0.618法求出其n值，然后即可得到其他流變參數(shù)值。

該算法具有運行穩(wěn)定、不用設(shè)初始值、循環(huán)次數(shù)少、計算速度快、易于編程的優(yōu)點。

3 流變模式的優(yōu)選

目前，鉆井液流變模式的優(yōu)選方法有以下幾種：

(1)圖示對比方法

圖示對比法是通過繪制鉆井液理論流變曲線和實測流變曲線，進行直觀曲線擬合比較而確定最優(yōu)流變模式。

圖示法是一種直觀定性的優(yōu)選方法，缺點是具有主觀性，計算作圖比較繁瑣、精度不高，并且當(dāng)幾條曲線彼此接近時，肉眼判斷比較困難。

(2)剪切應(yīng)力誤差對比法[12]

該方法是通過對理論剪切應(yīng)力值與實測剪切應(yīng)力值進行相對誤差和平均相對誤差計算，取平均相對誤差最小者確定為最優(yōu)流變模式。

該方法計算十分簡單，但缺點是易受異常點干擾而影響判斷的準(zhǔn)確性。

(3)相關(guān)系數(shù)法

2個隨機變量x與y的線性相關(guān)程度可由相關(guān)系數(shù)R[13]來衡量。其中，0<|R|<1,|R|越接近1則線性關(guān)系越強，反之則越弱。

有學(xué)者提出用相關(guān)系數(shù)作為線性流變模式及可化為線性模式的非線性流變模式的優(yōu)選標(biāo)準(zhǔn)[1,3]。但是上文已指出對非線性流變模式不能采用線性回歸分析進行求解。所以用R作為優(yōu)選標(biāo)準(zhǔn)也就失去了意義。

(4)擬合殘差的平方和對比法

首先，定義如下統(tǒng)計量：

擬合殘差

ξi=τi，data-τi,cal，

(6)

擬合殘差的平方和

(7)

回歸分析法計算流變參數(shù)都是基于最小二乘方法，即擬合殘差的平方和最小。擬合殘差的平方和越小，則相關(guān)程度越大，表示所用流變方程與實際的實驗曲線越接近。所以無論采用線性還是非線性回歸，都可采用擬合殘差平方和作為優(yōu)選標(biāo)準(zhǔn)。該方法克服了相關(guān)系數(shù)法不能評價非線性回歸模型的弊端，適用于所有基于最小二乘原理的回歸分析方法的評價，簡單準(zhǔn)確，因此本文將該方法用于流變模式的優(yōu)選。

4 計算軟件開發(fā)及實例分析

傳統(tǒng)的流變參數(shù)計算過程較為簡單，手工計算即可滿足實際要求。采用回歸分析方法若再使用手工計算，不僅計算工作量大，而且易造成人為誤差。通過計算機軟件的開發(fā)能克服手工計算的弊端，而且還確保了計算的精度。

軟件編程采用C#語言，在 VS2010平臺上開發(fā)了鉆井液流變模式優(yōu)選程序。在輸入界面上依次輸入旋轉(zhuǎn)黏度計的6組數(shù)據(jù)，程序運行后將會得到各流變模式的流變參數(shù)計算結(jié)果。軟件還可以直接得到與鉆井液實際流變性能最為擬合的流變模式。另外也可以根據(jù)需要選擇指定的流變模式，并得到該流變模式下最優(yōu)的流變參數(shù)。

本文收集了不同配方鉆井液的實測數(shù)據(jù)[2,9,14]來進行算例分析，如表2所示。

圖1是用開發(fā)的軟件計算后得到的不同流變模式殘差平方和柱狀對比圖。從圖1可以看出上述5種鉆井液采用赫巴模式時，殘差平方和是最小的，因此5種鉆井液的最佳流變模式均為赫巴模式。

表2 不同配方鉆井液實測數(shù)據(jù)

圖1 不同流變模式殘差平方和柱狀對比圖

為了對線性回歸分析及0.618法非線性回歸分析進行對比，本文也采用線性計算方法編制了相應(yīng)的計算程序。表3是冪律模式線性回歸分析及非線性回歸分析計算結(jié)果對比表。

表3 冪律模式線性與非線性回歸分析計算結(jié)果對比

由表3可以看出0.618法擬合殘差的平方和明顯低于線性方法，這說明對于非線性流變模式，用線性回歸方法所求得的流變參數(shù)估計值不是最優(yōu)的估計值。從對比結(jié)果也可以看出本文所用的0.618法的準(zhǔn)確性及有效性。

5 結(jié) 論

(1)計算鉆井液流變參數(shù)的常規(guī)算法雖然簡單易用，但是計算結(jié)果誤差較大，不利于后續(xù)的鉆井水力學(xué)計算。

(2)擬合殘差平方和法克服了相關(guān)系數(shù)法不能評價非線性回歸模型的弊端，適用于所有基于最小二乘原理的回歸分析方法，簡單有效。

(3)回歸分析法計算流變參數(shù)可以提高計算精度。非線性流變模式采用線性回歸分析方法計算不能得到最優(yōu)的參數(shù)估計，0.618法非線性回歸分析可以精確計算常用的冪律流體和赫巴流體的流變參數(shù)。通過不同類型鉆井液的實例計算表明，0.618法可得到最小二乘意義下流變參數(shù)的最優(yōu)解。

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責(zé)任編輯：董 瑾

2014-10-20

國家自然科學(xué)基金項目(編號：51074125)

李琪(1963-)，男，教授，博士生導(dǎo)師，主要從事石油鉆井信息技術(shù)、導(dǎo)向鉆井等方面的研究。E-mail：liqi@xsyu.edu.cn

1673-064X(2015)02-0084-04

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