☉上海市桃浦中學 張正麗

探究解題規(guī)律，滲透類比思想

☉上海市桃浦中學 張正麗

一、引言

在高三復習課的教學中，筆者認為教師要關注和激發(fā)具有生命活力的課堂，不能只是為了講題而講題，決不能重復“昨天的故事”——讓學生在題海戰(zhàn)中感覺數(shù)學學習的艱難.教師在教學中要充分挖掘模擬題的“可探究性元素”，注重揭示知識的本質(zhì)，讓學生感悟到數(shù)學知識之間的聯(lián)系，以期達到“解一題，會一類，通一片”的目的.

二、問題展示

（2015年徐匯二模理14）如圖1，點P（x，y）（x＞0，y＞0）是雙曲線學用以下方法研究|OM|：延長F2M交PF1于點N，可知△PNF2為等腰三角形，且M為F2N的中點，的焦點，M是∠F1PF2的平分線上一點，似地：如圖2，點P（x，y）（x＞0，y＞0）是橢0）上的動點，F(xiàn)1、F2是橢圓的焦點，M是∠F1PF2的平分線上一點，且___.

圖1

圖2

以上是高三復習圓錐曲線專題時的一道練習題.學生在解題過程中出現(xiàn)了困惑：（1）如果題目中沒有給出雙曲線中研究|OM|的方法，那么很多學生根本就不會證明“|OM|=a”；（2）為什么雙曲線中|OM|求出的是一個定值，而在橢圓中求的是|OM|的取值范圍，并不是一個定值？

為解決學生的困惑，筆者設計了探究橢圓與雙曲線的性質(zhì)的類比的一節(jié)課.為幫助學生更加直觀解釋曲線本質(zhì)上的內(nèi)在聯(lián)系，使用了幾何畫板輔助教學，揭示橢圓與雙曲線的定義的區(qū)別與聯(lián)系，并通過解題方法上的類比，觸類旁通，開啟探索的智趣，打開學生思維的大門，探究解題規(guī)律，滲透類比的思想方法.

三、教學過程

（一）課前完成梳理兩種曲線的基本知識

名稱橢圓雙曲線定義平面內(nèi)到兩定點F1、F2的距離的和為常數(shù)（大于|F1F2|）的動點的軌跡叫橢圓，即|MF1|+|MF2|=2a＞|F1F2|平面內(nèi)到兩定點F1、F2的距離的差的絕對值為常數(shù)（小于|F1F2|）的動點的軌跡叫雙曲線，即||MF1|-|MF2||=2a＜|F1F2| y y圖像O x Ox圖3圖4焦點在x軸上時：x2a2+y2 b焦點在x軸上時：x2a2=1焦點在y軸上時：y2a標準方程2=1焦點在y軸上時：y2a 2-y2b2=1 a、b、c的關系a2=c2+b2，a＞0，b＞0 c2=a2+b2，a＞0，b＞0 2+x2 b2= 1 2-x2b

設計意圖：引導學生領會橢圓和雙曲線的定義與標準方程的差別僅在“和”與“差”上，抓住矛盾的兩個方面，為后面將橢圓與雙曲線進行類比作鋪墊.

（二）用類比思想探究橢圓、雙曲線的性質(zhì)

（1）證明此命題為真命題.

（2）你能否類比到雙曲線上，給出一個類似的命題？并證明.

（1）證明：延長F2P與F1Q的延長線相交于點N，則QP為F2N的垂直平分線，|QF2|=|QN|.又|QF2|+|QF1|=2a，則|F1N|=2a.

又OP為△F1F2N的中位線，所以|OP|=a.

即點P在以O為圓心、半徑為a的圓上.（如圖5）

圖5

證明：延長F2P交F1Q于點N，故|QF2|=|QN|.

由雙曲線的定義得|QF1|-|QF2|=2a，

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所以點P在以O為圓心、半徑為a的圓上（.如圖6）

圖6

設計意圖：（1）強化求動點軌跡的嚴格推理論證的過程，鞏固橢圓和雙曲線的定義；

（2）由“外角平分線”類比為“內(nèi)角平分線”的過程比較困難，讓學生小組討論、大膽猜想；

（3）在論證的過程中引導學生觀察、分析、歸納、總結(jié)，得出類比不是簡單的生搬硬套，必須注意兩者的定義的區(qū)別；

（4）幾何畫板動畫演示，增強直觀感覺，體驗猜想、類比失敗之后的成功感.

（1）猜想結(jié)論，并證明；

（2）類比到雙曲線中，寫出一個類似的命題，并證明之.

圖7

證明：同上，略.

圖8

設計意圖：（1）探究過程可以從特殊位置開始，猜出結(jié)論，再進行一般論證；

（2）類比到雙曲線時，引導學生根據(jù)兩個曲線的定