吳子牛*,白晨媛徐珊妹,李娟林景陳梓鈞姚瑤

1.清華大學(xué) 航天航空學(xué)院,北京 100084 2.北京宇航系統(tǒng)工程研究所,北京 100076

翼型到達定常流動狀態(tài)后,在無黏近似下其升力滿足儒科夫斯基升力定理,在薄翼情況下其升力系數(shù)正比于迎角[1]。實際上翼型是通過加速達到勻速運動狀態(tài)的。如果把加速時間看成無限小,那么就是突然啟動問題。昆蟲撲翼在每個拍動周期都有突然啟動和突然停止的過程。突然啟動問題在低速撲翼和可壓縮流動氣動彈性問題中有廣泛的研究[2]。

針對不可壓縮流動問題,Wagner首次用理論研究了小迎角突然啟動問題[3],得出了升力系數(shù)從定常升力系數(shù)的一半逐漸增加到定常值的結(jié)論。該項基于無黏流理論得出的結(jié)論得到了考慮黏性的實驗驗證[4]。在小迎角突然啟動過程,從尾緣拖出一個近似沿直線傳播的渦層。在大迎角下,人們發(fā)現(xiàn)從尾緣脫落的渦,剛開始會卷曲成螺旋形狀,從而導(dǎo)致初始升力有奇異性[5-6]。對于平板這樣的具有尖前緣的翼型,在大迎角下,前緣也出現(xiàn)渦分離。對于這類突然啟動問題,實驗和數(shù)值計算[7-9]表明,除了前述升力初始奇性和 Wagner升力上升現(xiàn)象,還存在升力二次下降現(xiàn)象。對于小迎角突然啟動問題,理論能給出全時間過程的升力特性預(yù)測[3]。對于大迎角突然啟動問題,理論只能給出小時間的預(yù)測[6,10]。最近,Li和Wu[11]導(dǎo)出了可以針對全時間大迎角突然啟動問題的分析方法,尤其給出了可以確定任意位置渦對升力貢獻的渦升力地圖。

對于可壓縮流動問題,人們?yōu)榱搜芯繗鈩訌椥?發(fā)展了小迎角下的突然啟動問題分析方法[12-21]。平板突然小迎角啟動時,在迎風(fēng)面和背風(fēng)面分別產(chǎn)生的壓縮波和膨脹波是小擾動簡單波,引起的壓力和在平板上的初始升力有標準的活塞理論[12-14]。隨著時間推移,這種壓力波影響會快速衰減。這方面的作用也稱為升力的無旋效應(yīng)。同時,類似于不可壓縮突然啟動問題,也存在環(huán)量建立和Wagner升力上升現(xiàn)象,只是這種現(xiàn)象有可壓縮性修正。在一定的假設(shè)下,Lomax[15]等給出了導(dǎo)出階躍函數(shù)的方法,但針對每個馬赫數(shù)其具體表達式需要單獨推導(dǎo)；后來人們發(fā)展了許多近似方法[16-21]。

依據(jù)現(xiàn)有研究結(jié)果,發(fā)現(xiàn)不可壓縮和可壓縮突然啟動問題研究方法相對獨立,缺乏二者之間聯(lián)系的分析。對于可壓縮流動尤其是高超聲速流動問題[22],在大迎角下,似乎沒有突然啟動問題報道。為了統(tǒng)一二者之間的關(guān)系,需要對二者現(xiàn)有研究現(xiàn)狀進行綜合介紹,并指出二者之間的關(guān)聯(lián)和遺留的問題。為此,本文對不可壓縮和可壓縮突然啟動問題涉及的現(xiàn)象和發(fā)展的研究方法進行綜述,介紹現(xiàn)有發(fā)展動態(tài),并指出需要進一步研究的問題。

1 不可壓縮突然啟動問題主要流動現(xiàn)象

如圖1所示,在小迎角(Ao A)突然啟動過程,從尾緣拖出一個近似沿直線傳播的渦層。渦層總的強度與平板內(nèi)部總的渦量合起來滿足開爾文渦量守恒定理。在大迎角下,人們發(fā)現(xiàn)從尾緣脫落的渦,剛開始會卷曲成螺旋形狀[5],并且導(dǎo)致無黏升力系數(shù)曲線初始奇性,即在零時刻,升力系數(shù)為無窮大[6]。這是因為,大迎角突然啟動時,尾部渦層首先為螺旋,外部渦量貼近尾緣上部,誘導(dǎo)的環(huán)量的初始時間變化率為無窮大,而對于非定常問題,升力系數(shù)與環(huán)量的時間變化率是成比例的。升力系數(shù)由無窮大快速下降,達到極低值后,接著遵循Wagner升力演化曲線逐漸增加。

圖1 在小迎角(Ao A)下,尾緣渦層為平面；在大迎角下尾緣渦層為螺旋[6]Fig.1 Vortex sheet is in a quasi-planar shape at small angle of attack(Ao A)and in a spiral shape at large Ao A[6]

對于平板這樣的具有尖前緣的翼型,在大迎角下,前緣也出現(xiàn)渦分離(見圖2[7])。前緣分離產(chǎn)生的前緣渦一方面會增強升力,另一方面,前緣渦移動到尾緣附近后,會誘導(dǎo)新的尾緣渦,使得升力系數(shù)出現(xiàn)非定常脈動。圖3給出了升力系數(shù)隨時間演化與典型時刻流線圖[11]。升力系數(shù)遵循如下規(guī)律:①起始過程的升力下降(圖3中的ab段)來源于初始奇性的逐漸消失；②升力系數(shù)第一次上升(圖3中bd段)來源于尾渦的脫落與附著渦的建立,同時因為前緣渦,該段升力系數(shù)高于Wagner模型的升力系數(shù)；③升力系數(shù)的再次下降(圖3中ei段)主要來源于新的集中尾渦出現(xiàn),該集中尾渦來源于脫落的前緣渦平移到尾緣附近時的誘導(dǎo)作用,且運動指向升力減小的方向。升力系數(shù)的這種震蕩會不斷循環(huán),導(dǎo)致一系列的峰值出現(xiàn)。

圖2 在15°迎角時,加速運動平板前的前緣渦(LEV)與尾緣(TE)渦[7]Fig.2 Leading edge vortex(LEV)and trailing edge(TE)vortex for an accelerating plate at an Ao A equal to 15°[7]

圖3 迎角20°時突然啟動平板的升力系數(shù)演化與典型位置的流線[11]Fig.3 Time-dependent evolution of lift coefficient for an impulsively starting plate at Ao A of 20°[11]

在第2節(jié)、第3節(jié)和第4節(jié)中,將分別給出小迎角和大迎角下的分析方法。為此,先介紹相關(guān)符號約定,并簡要介紹旋渦的基本作用。約定翼型從靜止突然以速度V∞和迎角α向左平動。如果將坐標系固定在翼型上,V∞就是啟動后從左向右的來流速度。升力L定義為垂直于翼型平動方向也就是垂直于來流方向的力。

在無黏框架下,定常二維流動的翼型所受的力只有升力,即垂直于運動方向。而在非定常情況下,這種無黏的氣動力F有可能并不垂直于來流方向。因此,以下的內(nèi)容將嚴格說明力的進一步定義。升力系數(shù)定義為

式中:ρ∞為遠方空氣的密度。突然啟動問題涉及的升力與流場結(jié)構(gòu)與時間t有關(guān)。對于小迎角問題,有時也用到升力系數(shù)斜率CLα=d CL/dα。

定義無量綱時間為

該時間等價于當前時刻翼型以速度V∞移動的弦長cA的個數(shù),是突然啟動問題涉及的無量綱時間。在第5節(jié)會進一步討論其他形式的無量綱時間。

在突然啟動問題的非定常流場中,一般存在初始時刻甚至后期時刻從尾緣甚至前緣脫落的渦。雖然從嚴格意義上講,渦是連續(xù)生成的,但為了研究方便,會將連續(xù)分布的渦尤其是集中的渦量區(qū)用點渦表示。作為約定,某點渦(指標用i)的強度Γi以逆時針為正,順時針為負。尾緣產(chǎn)生的渦一般為逆時針(Γi＞0),前緣產(chǎn)生的渦一般為順時針(Γi＜0)。繞翼型的環(huán)量也是按這種符號約定。

將點渦的序號記為i=1,2,…,各點渦的坐標記為(xi,yi)。它們在流場中任意一點(x,y)誘導(dǎo)的速度為

式中:ri=為點渦i與當前位置的距離。根據(jù)Bai等[23],流場內(nèi)部的點渦以及翼型內(nèi)部的鏡像渦引起的單位展長上的升力可以表示為

這里每個求和項都是針對物體內(nèi)部和外部所有的點渦求和并且必須假設(shè)Kelvin定理滿足,即系統(tǒng)中(包括流場內(nèi)部和翼型內(nèi)部)的點渦的總的環(huán)量為

對于連續(xù)分布的點渦,可以將式(1a)寫成積分形式[24]:

式中:ω=ω(x,y)為渦量分布函數(shù),可以用Dirac函數(shù)與點渦強度關(guān)聯(lián)。式(1)右端第1項就是定常流動的升力,即由儒科夫斯基升力定理:

文獻[23]和文獻[24]從式(1)出發(fā),還給出了多物體流場中單個物體的力的表達式。

對于突然啟動問題,在達到定常狀態(tài)之前,環(huán)量Γb是一個逐漸建立的過程,并且前緣和尾緣發(fā)出的渦會通過式(1)的右端第2項改變升力。到底是增加升力還是減小升力?并且,升力如何隨時間演化?這些演化與外部點渦的關(guān)系是什么?這些問題是突然啟動問題需要考慮的。

2 小迎角不可壓縮問題:經(jīng)典Wagner問題

2.1 Wagner問題經(jīng)典解

如圖4所示,平板在小迎角下突然啟動后,在尾緣會拖出渦層。同時,繞平板逐漸建立環(huán)量Γb。如果用渦量分布函數(shù)來描述繞平板的環(huán)量和渦層強度,那么可以在平板上布置連續(xù)分布的強度為γ(x)的點渦,在渦層上布置強度為k(s,t)的點渦。

設(shè)s為從尾緣開始沿著渦層切向的距離。作為小迎角下滿足的近似,令渦層內(nèi)部沒有相互誘導(dǎo),并且在當?shù)氐牧魉俳频扔趤砹魉俣?。于?渦層分布在直線段0＜s＜V∞t上并且滿足渦強質(zhì)點導(dǎo)數(shù)為0(開爾文渦強守恒定理)的條件:

圖4 平板小迎角突然啟動后的渦分布Fig.4 Vortex distribution for an impulsively starting plate at small Ao A

按照開爾文總渦量守恒定理,平板內(nèi)的總渦量與尾渦渦層的總渦量合起來等于0,于是

在時刻t外部存在一段分布在0＜s＜V∞t的渦層,其在平板上的誘導(dǎo)速度被平板上的點渦誘導(dǎo)速度平衡,利用薄翼理論不難證明,這樣的平衡關(guān)系給出[23]

從以上兩個式子消去Γb,便得到如下確定k(s,t)的方程:

該方程的解沒有解析表達式,但Wagner[3]給出了數(shù)值解。文獻[11]給出了如下擬合表達式:

有了k(s,t),按式(2)就可以得到環(huán)量表達式Γb=-πcAV∞αF(W)(τ)。這里F(τ)稱為環(huán)量的Wagner函數(shù)。文獻[11]結(jié)合現(xiàn)有的表達式擬合出

該擬合表達式滿足理論上可以證明的漸進規(guī)律:

即在初始時刻,雖然環(huán)量為0,但其變化率為無窮大。這就導(dǎo)致初始時刻的升力系數(shù)是不為0的有限值。對于本問題,將升力的表達式(1)用到渦量沿直線分布的情況,可以將升力表示為

利用考慮了渦層影響的薄翼理論,可以求出γ的表達式,詳細表達式見文獻[24]。有了γ和k(s,t)的表達式后,就可以求出升力。經(jīng)過推理,該力的表達式也可以寫成[24]

但沒有解析表達式。Wagner[3]給出了如圖5所示的數(shù)值結(jié)果。

圖5 突然啟動問題Wagner給出的原始曲線[3]Fig.5 Curves given by Wagner for impulsively starting flow[3]

為了方便使用,人們將Wagner問題的升力寫成

式中:L∞為定常狀態(tài)下的升力；Φ(τ)為升力的Wagner函數(shù)。人們針對Wagner函數(shù)進行了各種擬合,其中最簡單的擬合表達式為Garrick表達式:

Garrick公式誤差不到2%。Jone給出的擬合表達式為

綜上所述,小迎角突然啟動問題(Wagner問題)有如下結(jié)論:

1)初始時刻的環(huán)量為0但環(huán)量變化率為無窮大。

2)初始時刻的升力系數(shù)為定常升力系數(shù)的1/2。

3)在無量綱時間為7時,升力系數(shù)達到定常升力系數(shù)的90%。

4)環(huán)量和升力隨時間沿著單調(diào)增長的Wagner函數(shù)變化。

翼型突然啟動后,建立環(huán)量必然伴隨著旋渦從后緣脫落的過程,需一定的時間才可以完成,這就是所謂的Wagner滯后效應(yīng)。Wagner的結(jié)果可以這樣總結(jié),對于小迎角突然啟動的薄翼,雖然附著渦的初始環(huán)量為0,但初始升力卻等于定常升力的一半。翼型的環(huán)量和升力隨著時間按Wagner函數(shù)F(τ)和Φ(τ)規(guī)律逐漸增加,在無量綱時刻等于7,即翼型移動了7個弦長時,升力達到了最終定常升力的90%。Wagner的結(jié)果在1931年被 Walker用實驗證實[4]。

2.2 Wagner經(jīng)典問題的簡化分析

當翼型外部有點渦時,可以簡單地把翼型本身看成一個點渦。在這種簡化處理框架下,翼型所受的升力可表示為[25]

式中:us為所有外部點渦(甚至包括其他物體)在翼型中點的誘導(dǎo)速度。文獻[25]用兩個集中渦分別替代附著渦和尾渦層,得到了Wagner問題的簡化解析表達式。假設(shè)處在平板中心x=xb的集中附著渦渦強為Γb(t),處在位置x=xs的尾渦渦強為Γa(t)=-Γb(t)。尾渦在平板中點的誘導(dǎo)速度為

在該誘導(dǎo)速度修正下,平板等效迎角不等于幾何迎角。考慮到這種修正并依然使用薄翼理論,得附著渦的環(huán)量表達式為

在初始時刻,啟動尾渦位置為xs(0)=cA,并且令該啟動尾渦以速度d xs/d t=V∞運動。于是xs=cA+V∞t。將此代入式(4)可解得

式中:Γ∞=-πcAV∞α為定常流動附著渦的環(huán)量。由于處在水平面的尾渦在平板中點誘導(dǎo)的水平速度近似為0,因此按式(3)得

這與Wagner的結(jié)果完全一致。

3 可壓縮小迎角問題:活塞理論與階躍函數(shù)法

3.1 初始氣動力的活塞理論

由文獻[12]提出的活塞理論,可以給出在可壓縮流體中翼型小迎角突然啟動時初始壓力分布和初始升力。先回憶一下特征線理論中的小擾動簡單波理論。在小擾動情況下,可壓縮流動的某些物理量在某一區(qū)域可能是常數(shù)。其中,最典型的是黎曼不變量:

式中:下標∞表示某參考點的流動參數(shù)；V和a分別為當?shù)亓魉俸吐曀?；γ為比熱比。由該式可以解?/p>

由于假設(shè)是小擾動從而是等熵流動,所以壓力可表示為

在均勻流場中,小擾動導(dǎo)致的流場,一般至少滿足其中一個這樣的關(guān)系式,這種關(guān)系稱為簡單波關(guān)系?；钊碚摪岩硇偷耐蝗粏涌闯裳匚锩娣ㄏ蛴写笮〉扔?/p>

的小擾動。這種小擾動激發(fā)的流動是簡單波,從而導(dǎo)致的壓力變化,按式(5)得

針對更一般的情況,Lomax等給出了更為復(fù)雜的表達式。圖6[15]給出了Lomax等理論得到的升力系數(shù)斜率隨無量綱時間的變化曲線。在文獻[26]中,Bai等針對馬赫數(shù)Ma∞=0,0.5,0.8用CFD做了計算(見圖7),發(fā)現(xiàn)結(jié)果與文獻[15]的理論結(jié)果吻合得非常好。

其中正負號可分別用在迎風(fēng)面(增壓)和背風(fēng)面(降壓)。式(6)即為氣動彈性問題中計算突然運動引起的瞬間氣動力的活塞理論。其引起的初始時刻的法向力系數(shù)為

式(7)就是氣動彈性理論中用于計算瞬間位移引起的氣動力修正的活塞理論[12],可以用到從亞聲速到超聲速情況下的任何馬赫數(shù)[12-14]。這里Ma∞=V∞/a∞為來流馬赫數(shù)。

3.2 氣動力演化的階躍函數(shù)法

Lomax等[15]用小擾動線性波動方程,給出了計算突然啟動等問題的非定常升力計算方法,并且針對幾個特殊馬赫數(shù),給出了具體表達式和曲線。在無量綱時間滿足

的初始階段,升力系數(shù)近似線性下降,表達式為

在不可壓極限情況下,針對0≤τ≤∞,升力系數(shù)由Wagner解給出

圖6 可壓縮突然啟動問題的升力系數(shù)斜率CLα=d CL/dα隨無量綱時間的變化率[15]Fig.6 Time-dependent evolution of slope of lift coefficient CLα=d CL/dαfor compressible starting flow[15]

圖7 不同馬赫數(shù)下可壓縮突然啟動問題的升力系數(shù)斜率CLα=d CL/dα隨無量綱時間的變化率[26]Fig.7 Time-dependent evolution of slope of lift coefficient CLα=d CL/dαfor compressible starting flow[26]at different Mach numbers

作為近似處理,對于更一般的情況,可以將升力系數(shù)寫為[16-18]

式中:Φ(I)、Φ(C)為階躍函數(shù)；β=1 - Ma2∞為普朗特-葛勞沃特(PG)可壓縮性修正因子。第一個階躍函數(shù)Φ(I)(τ)與環(huán)量無關(guān),來源于活塞效應(yīng)及其衰減(non-circulatory part)；第二個階躍函數(shù)Φ(C)與環(huán)量有關(guān),來源于流場中渦量場以及繞翼型環(huán)量的貢獻,在不可壓縮特殊情況,就是Wagner函數(shù),即

另外,在小時間步的情況下,式(9)應(yīng)退化為式(8),即

在滿足約束關(guān)系式(10)和式(11)的條件下,人們依據(jù)實驗或數(shù)值計算結(jié)果,擬合了階躍函數(shù)的一些近似表達式。例如,Leishman[16]令

經(jīng)驗算,發(fā)現(xiàn)這種做法對于突然啟動問題,結(jié)果在τ=O(1)左右的誤差較大。一種改進做法是,令

并令式(11)的各階導(dǎo)數(shù)在τ=0成立,得?(τ)滿足的幾個關(guān)系式,再將?(τ)寫成含有幾個系數(shù)的指數(shù)函數(shù),就可以通過定出這幾個系數(shù)來擬合。這個問題需要進一步研究。

4 不可壓縮大迎角問題:修正的Wagner函數(shù)法與渦力線理論

4.1 小時間升力特性

對于小迎角下的突然啟動問題,尾部拖出的渦層近似分布在一個平面上,而對于大迎角問題,尾部拖出的渦至少在初始時刻會卷曲成螺旋渦(見圖1)。與小迎角Wagner問題的初始升力為定常升力的一半不同,這種螺旋渦的誘導(dǎo)作用使得初始升力為無窮大。Graham證明[6],初始時刻的升力系數(shù)急劇下降,滿足關(guān)系式:

式中:k=2-?tr/π,?tr為尾緣角。對于尾緣角為0的平板,有

Pullin和Wang[10]考慮了尖前緣的情況。此時,無論是尾緣還是前緣,都有螺旋渦拖出,如圖8所示。

圖8 大迎角突然啟動與加速問題的前緣渦與尾渦[10]Fig.8 Impulsively starting flow at large Ao A having both leading and trailing edge vortices in spiral shape[10]

在時間足夠小的情況下,突然加速所受的力F垂直于平板并且平板法向力滿足

令該升力表達式對迎角的導(dǎo)數(shù)等于0,文獻[6]得到的最大升力系數(shù)對應(yīng)的迎角為

據(jù)此他們認為昆蟲近似采用這么大的迎角飛行,以便獲得最大升力。

4.2 長時間修正的Wagner函數(shù)法

對于長時間行為,Li和Wu[11]用圖9近似真實情況,即假定有前緣渦、在時間為0＜τ＜τ0的初始階段有螺旋尾渦在尖尾緣,在時間τ0＜τ＜τ1拖出的尾渦又近似在一個平面上。

圖9 大迎角突然啟動問題的前緣渦與尾渦[11]Fig.9 Leading edge and trailing edge vortices for starting flow at large Ao A[11]

將前緣渦和初始尾渦看成兩個或多個額外的離散渦,得到了這樣的升力表達式,即

修正的Wagner函數(shù)比原始Wagner函數(shù)小。道理很簡單,因為初始時間段的尾渦被卷曲,已經(jīng)算到式(12)右端第2項了。在右端第2項中,I為額外點渦即附加渦的個數(shù),包括前緣渦和初始時刻的卷曲尾渦(即時間τ0＜τ＜τ1段平面渦層外的所有渦,無論是看成集中渦還是看成一系列的點渦)。另外,U(i)為點渦的移動速度,ΛA=[PAQA]為附加渦的渦力線矢量,OA、PA和QA為附加渦升力因子,其表達式分別為

依據(jù)表達式(12)的分析表明,處在前緣附近的前緣渦(順時針)引起的附加渦升力,將原始的Wagner曲線抬高。這就是前緣渦增強機制的本質(zhì)原因。但是,這項研究表明,前緣渦遠離前緣后,并不再增強升力。

4.3 長時間渦力線方法

表達式(12)并不能用于處理τ＞τ1的情況。此時,從尾緣有其他的螺旋渦脫落出。文獻[11]研究表明,在迎角足夠大后,前緣集中渦一旦脫落并且移動至尾緣附近,那么就會導(dǎo)致產(chǎn)生第二個螺旋尾渦,此時表達式(12)不能繼續(xù)使用。為了考慮更一般的情況,文獻[11]將所有的渦(包括可能存在的平面渦層)看成離散點渦。假設(shè)流場中一共有I這樣的離散渦,那么升力可表示為

式中:ΛB=[PBQB]為渦升力線矢量；為渦升力線角,表示速度矢量U(i)(與問題相關(guān))與渦升力矢量ΛB(與問題無關(guān))之間的夾角。這里,PB=PB(p,q)、QB=QB(p,q)均為與時間無關(guān)的總渦升力因子,定義如下:

文獻[11]給出了用于定性分析點渦對升力貢獻的渦升力線圖(Vortex Force Line Map),文獻[27]對此圖進行了修正,見圖10。

圖10 渦升力線圖[27]Fig.10 Vortex force line map[27]

圖中帶箭頭的曲線類似于流線,即將流線中的速度矢量用渦升力線矢量ΛB替代。不帶箭頭的曲線代表ΛB的等值線。在渦升力線圖中,存在一條特殊的升力線ls,在平板中間點x=cA/2(p=0)位置穿過平板?？紤]上半部分,即q＞0的區(qū)域,ls左側(cè)的總升力線在平板前緣處匯聚成一點,而ls右側(cè)的總升力線在平板尾緣處匯聚成一點。文獻[11]還有另外一條臨界線,標記為lm,此處ΛB≈0.707,經(jīng)過驗證,其實不存在這條臨界線。ΛB在靠近前緣的地方很大(前緣敏感區(qū)),在靠近尾緣的地方也會變大(尾緣敏感區(qū)),在尾緣點處ΛB的值無窮大。當渦進入這些敏感區(qū)的時候會誘導(dǎo)出很大的升力或者是升力的變化。這就是為什么初始時刻螺旋尾渦產(chǎn)生時,升力為無窮大并且快速下降的原因。依據(jù)表達式(13)并結(jié)合圖10,有如下結(jié)論[11]:

文獻[11]正是基于這種方法,用基于離散渦模擬或CFD模擬得到渦場后,解釋了大迎角下各種升力下降、上升與再次下降的詳細過程。其中一個重要結(jié)果是,對于20°迎角平板突然啟動問題,前緣渦脫落移動到尾緣附近(按圖10,導(dǎo)致升力下降),會誘導(dǎo)出一個螺旋渦臨時向上游移動(按圖10,進一步導(dǎo)致升力下降),導(dǎo)致升力系數(shù)有大幅度的下降(見圖3)。這就是固定翼飛行很難采用大迎角的原因。文獻[10]只給出了20°迎角的計算結(jié)果分析；文獻[27]推廣到了更高迎角的情況。依據(jù)文獻[27]的結(jié)果,對于更高迎角,渦力線模型(式(13))能較為準確地預(yù)測平板所受的法向力。

5 結(jié)果討論與存在的問題

以平板翼型為例,突然啟動問題的現(xiàn)有研究可以總結(jié)如下:

1)小迎角不可壓縮突然啟動問題。尾部連續(xù)拖出渦,渦層近似為平面形狀；針對所有時刻有精確解但升力系數(shù)和環(huán)量隨無量綱時間τ=V∞t/cA的演化規(guī)律只能給出擬合表達式。初始升力等于定常升力的1/2,這來源于初始時刻環(huán)量的變化率(環(huán)量變化率也貢獻升力),雖然初始時刻的環(huán)量為0。在翼型移動7個弦長的距離(即τ=7)后,升力系數(shù)為定常升力系數(shù)的90%。

2)小迎角可壓縮問題。初始時刻有壓縮和膨脹小擾動波分別在迎風(fēng)面和背風(fēng)面產(chǎn)生；其法向流動可按一維活塞理論處理；這種小擾動波的產(chǎn)生導(dǎo)致初始升力系數(shù)反比于馬赫數(shù)(CL(0)=4αMa)；隨著時間推移,類似于不可壓情況的環(huán)量的建立,導(dǎo)致升力系數(shù)先近似線性變化(亞聲速時線性下降,超聲速時可能線性上升),接著逐漸上升,最后趨向于定常解(即儒科夫斯基升力定理加上普朗特-葛勞沃特可壓縮性修正)。在一些文獻上,活塞效應(yīng)及其衰減以及環(huán)量效應(yīng)被分成兩部分單獨處理,并采用不同的擬合函數(shù)(階躍函數(shù))。

圖11 升力系數(shù)隨時間的演化[26]Fig.11 Time-dependent evolution of lift coefficient[26]

3)不可壓縮大迎角問題。在初始時刻,尖尾緣有螺旋渦產(chǎn)生,導(dǎo)致初始升力系數(shù)為無窮大并隨時間推移快速衰減；當這個螺旋尾渦脫落后,新拖出的渦近似可以看成平面渦層(與小迎角時類似),升力系數(shù)隨時間逐漸增加；如果是尖前緣,那么尖前緣處也有渦脫落；前緣渦在前緣附近時,使得升力系數(shù)曲線高于經(jīng)典 Wagner曲線,如果前緣渦移動到尾緣附近,則引起升力下降,進一步如果誘導(dǎo)出新的尾渦,那么升力系數(shù)會急劇下降；文獻[10]提出的渦升力線圖能用于有效刻畫點渦對升力變化的貢獻。

平板以外的翼型以及黏性等對上述結(jié)果有定量修正但定性結(jié)果依然成立。從現(xiàn)有文獻可以看出,可壓縮大迎角突然啟動問題,缺乏分析理論和結(jié)果。在文獻[26]中,Bai等針對馬赫數(shù)Ma∞=0.5,0.8,0.9用CFD做了20°迎角時的計算,發(fā)現(xiàn)結(jié)果與圖3那樣的不可壓縮流動結(jié)果相比有一定的相似性。其中針對亞聲速突然啟動問題的一條重要結(jié)論是,在升力系數(shù)上升的起始階段,馬赫數(shù)越高升力系數(shù)越小,這與可壓縮性效應(yīng)提高升力系數(shù)有矛盾,因此需要進一步研究。文獻[26]也計算了馬赫數(shù)為1.5時的超聲速大迎角突然啟動問題,如圖11(a)所示。可見,在這種條件下,升力系數(shù)不像亞聲速那樣有震蕩,而是比較單調(diào)地變化。原因在于,在這樣的條件下,沒有明顯的渦脫落。

圖11(b)給出了高超聲速條件下(Ma∞=8.0)平板大迎角突然啟動問題的升力系數(shù)。發(fā)現(xiàn),在極短的時間內(nèi),即達到定常解。但是,在初始時刻,升力系數(shù)先急劇上升,達到某個峰值,再急劇下降。這一結(jié)果與圖11(a)所示的低超聲速結(jié)果有明顯差異,具體原因有待進一步分析。

4)特征時間。對于突然啟動問題,人們一直采用特征時間τ,但圖6、圖7和圖11表明,升力系數(shù)演化的第一階段(近似線性階段)的結(jié)束時刻τ似乎與馬赫數(shù)Ma∞有關(guān)系。為此我們定義三個無量綱時間,即基于波速的無量綱時間:

它們分別是最快運動的小擾動波在當前時刻移動的弦長個數(shù),以對流速度運動的小擾動波在當前時刻移動的弦長個數(shù)和最慢運動的小擾動波當前時刻移動的現(xiàn)象個數(shù)。這里,λ1=V∞+a是第三簡單波對應(yīng)的速度(特征值),λ2=V∞是對流速度,λ3=V∞-a是第一簡單波對應(yīng)的速度(特征值)。流動特性與升力曲線演化特性與這三個特征時間的具體關(guān)系,需要進一步研究。

實際應(yīng)用很難做到真正的突然啟動,即翼型或機翼很難瞬間獲得最終速度(否則意味著初始時刻的加速度是無窮大),而是需要一個初始加速過程。此時V∞=V∞(t)。這一加速過程帶來兩個方面的影響:

1)附加慣性力。附加慣性力與加速度成正比,處理方法見文獻[7,9,10,23]以及其中引用的參考文獻。例如,平板的附加慣性導(dǎo)致的升力為

2)歷史效應(yīng)。文獻[10]將 Wagner經(jīng)典理論用于加速平板時,針對每一時刻的當前速度,直接套用原始Wagner公式。在文獻[7,9]中,也并沒有考慮加速過程歷史效應(yīng)的累計影響。但在氣動彈性階躍函數(shù)研究中,歷史效應(yīng)用Duhamel法則[17,28-29]計入(卻不計入附加慣性力)。例如,對于小迎角不可壓縮任意運動問題:

式中:w3/4=w3/4(τ)為3/4弦長處的下洗速度。對于定常問題,下洗速度就是來流速度被帶迎角的翼型向下折轉(zhuǎn)了速度分量。對于平板定常流動,w3/4(∞)=V∞(∞)sinα,Φ(∞)=1,因此

即退化為儒科夫斯基升力定理給出的升力。

附加慣性效應(yīng)和基于Duhamel法則的歷史效應(yīng)為何在兩類文獻中并不同時出現(xiàn),也是一個需要進一步考慮的問題。

6 結(jié) 論

本文對突然啟動問題涉及的流動現(xiàn)象、升力演化規(guī)律和分析方法進行了綜合介紹。過去人們將不可壓縮和可壓縮突然啟動問題看成不同問題進行研究,本文首次將二者進行比較性研究。研究結(jié)果表明:

1)對于小迎角突然啟動問題,現(xiàn)有分析方法可以給出大時間范圍中升力系數(shù)隨時間的演化曲線。在初始時刻,可壓縮與不可壓縮卻存在本質(zhì)區(qū)別,前者由小擾動波主導(dǎo),后者由環(huán)量主導(dǎo)。

2)對于大迎角突然啟動問題,初始時刻的升力無論對于可壓縮還是不可壓縮,都存在突然下降現(xiàn)象,但對于大時間范圍,不可壓縮流動存在升力脈動現(xiàn)象,對于高馬赫數(shù)可壓縮流動,脈動現(xiàn)象明顯減弱甚至消失。

3)對于大迎角可壓縮問題,尚無理論分析方法可以給出長時間升力演化預(yù)測。一個針對高超聲速條件的計算表明,大迎角下可能存在特殊的初始升力脈動現(xiàn)象。這一現(xiàn)象過去未見報道。

本文綜述結(jié)果對從事氣動彈性、撲翼飛行和大迎角機動研究具有借鑒作用。同時指出了存在的理論空白,包括大迎角可壓縮問題的理論方法尚未建立,以及高超聲速條件下存在一些升力系數(shù)脈動現(xiàn)象。這些問題需要進一步研究。

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