孟凡良，余曉芬，黃開輝，彭鵬

(合肥工業(yè)大學儀器科學與光電工程學院，安徽合肥 230009)

0 前言

圓度誤差是指在回轉體同一橫截面內，被測圓輪廓相對于理想圓的最小變動量，它是零件幾何精度的重要指標。能否準確評定圓度誤差對保證精密機械零件的質量至關重要。GB/T 7235-2004規(guī)定了以下4種圓度誤差的評定方法:最小區(qū)域法、最小二乘法、最小外接圓法和最大內切圓法。而其中最小區(qū)域法是仲裁方法，其他方法均為近似方法［1］。

正因為圓度誤差最小區(qū)域評價的重要地位，一直以來，國內外學者在這一方面做了大量研究，各種圓度誤差最小區(qū)域評定算法也應運而生。目前比較具有代表性的算法有:移心法［2］、仿增量算法［3］、搜索法［4］、Voronoi圖形法［5］及遺傳算法［6］等。近年來，基于CCD或CMOS的圖像測量方法在圓度誤差測量領域得到了廣泛應用。但由于采樣點數很多，應用上述算法均無法快速、準確地得到最小區(qū)域圓度誤差值，因此現階段計算機一般只輸出最小二乘圓度誤差值。為了解決多采樣點下圓度誤差最小區(qū)域評價的問題，文中提出一種新的算法，可以準確、高效地獲得最小區(qū)域圓度誤差值。

1 算法要點

圓度誤差的最小區(qū)域評價［1］指的是:用兩個同心圓去包容被測圓輪廓，其中半徑差最小的一對同心圓的圓心為最小區(qū)域法評定中心，半徑差就是最小區(qū)域法評定的圓度誤差值。而實際評定過程中要依據交叉準則。如圖1所示，l為被測圓輪廓，C1和C2為兩同心包容圓，半徑分別為R1和R2，O為同心圓圓心，a、b、c、d 4個點內外相間地分布于兩同心包容圓上滿足交叉準則，此時最小區(qū)域法評定的圓度誤差為R1－R2。

由上述最小區(qū)域法判別準則可知:要完成圓度誤差的最小區(qū)域評價，只需找到被測圓輪廓上滿足交叉準則的4點即可。下面將詳細介紹文中所提出的新算法是如何通過兩步來成功鎖定滿足交叉準則的4點進而得到最小區(qū)域法圓度誤差值。

圖1 最小區(qū)域法評定圓度誤差

1.1 “九點法”移心

若將被測圓輪廓看作是一個平面離散點集，則根據圓度誤差最小區(qū)域評價的定義可得到如下結論:圓輪廓內部所有點中，最小區(qū)域圓心的半徑極差值(相對于圓輪廓上各采樣點距離中的最大值減去最小值)最小。進而可以得到推論:越靠近最小區(qū)域圓心的點，其半徑極差值越小。根據該推論可以設計算法通過比較半徑極差值逐步逼近最小區(qū)域圓心，作者通過大量的仿真證明這種逼近雖然有效但卻是模糊的，不具有嚴格的收斂性，尤其當非常接近最小區(qū)域圓心時可能會出錯，而一旦出錯，之后的逼近過程都是無效的。因此提出一種模糊算法——“九點法”，來模糊高效地移心逼近最小區(qū)域圓心。

首先，利用最小二乘法算得最小二乘圓心坐標O(x，y)及最小二乘圓度誤差值e;其次，以O為中心，以e為邊長均布8個點(如圖2所示)，認為最小區(qū)域圓心一定在這8個點以內;再次，計算這9個點的半徑極差值f(1)～f(9)并進行比較:

(1)若f(1)最小，則首先認為最小區(qū)域圓心一定在1、2、4、5四點以內，再將f(1)與f(2)、f(4)、f(5)相比較，移心結果如表1。當f(3)、f(7)或f(9)最小時，采用“九點法”移心逼近最小區(qū)域圓心的過程類似于1點。

圖2 “九點法”移心

表1 f(1)最小時的移心結果

(2)若f(2)最小，則需要先考察1、3、4、6四個點的半徑極差值:若f(1)＜f(3)且f(4)＜f(6)，則認為最小區(qū)域圓心一定在1、2、4、5四點以內，之后再根據(1)中所述進行移心逼近;若f(3)＜f(1)且f(6)＜f(4)，則認為最小區(qū)域圓心一定在2、3、5、6四點以內，再根據(1)中所述進行移心逼近;其他情況時，需要分別在以上兩個區(qū)域內進行移心逼近，再比較兩個區(qū)域內移心終點的半徑極差值，取其中較小者作為此次移心的結果。當f(4)、f(6)、f(8)最小時，移心逼近的過程類似于2點。

(3)若f(5)最小，則需要先分別比較f(3)、f(6)、f(9)和f(1)、f(4)、f(7)，若前一組中至少有兩個分別小于后一組，則認為最小區(qū)域圓心一定在1、3、7、9方形區(qū)域的上一半，反之一定在下一半;之后再分別比較f(1)、f(2)、f(3)和f(7)、f(8)、f(9)，若前一組中至少有兩個點的半徑極差值分別小于后一組，則認為最小區(qū)域圓心一定在1、3、7、9方形區(qū)域的左一半，反之一定在右一半;這樣就確定了最小區(qū)域圓心所在的范圍，進而再根據(1)中所述進行移心逼近。其他情況時，需要分別在4個區(qū)域

內進行移心逼近，再比較4個區(qū)域內移心終點的半徑極差值，取其中最小者作為此次移心的結果。

1.2 根據峰值點群求圓度誤差

1.1節(jié)中詳細介紹了逐步移心逼近最小區(qū)域圓心的模糊算法，但畢竟無法得到準確的最小區(qū)域圓心，下面將介紹根據峰值點群求取準確的圓度誤差的方法。如圖3所示，曲線上的各點表示圓輪廓上各采樣點與“九點法”移心終點之間的距離，直線l2為最小二乘圓。根據圓度誤差最小區(qū)域評價的定義，滿足交叉準則的4個點只可能出現在曲線上下峰值處。因此考慮設定上下閾值l1、l3來初步劃定四點的可能分布區(qū)間(①－⑤5個峰值點群)，再窮舉所有可能的組合(如①②③④)，逐個驗證交叉準則，最終找到4個點并完成圓度誤差的最小區(qū)域評價。上下閾值l1、l3是根據移心次數在最遠峰值點與最小二乘圓之間選擇的(如l1至上側最遠峰值點與其至最小二乘圓的距離比為1∶9)，移心次數越多，認為逼近效果越好，閾值就可以越靠近最遠峰值點。由于各峰值點群的采樣點數相當有限，因此只需利用窮舉搜索的方法便能快速準確地得到結果。

圖3 根據峰值點群求圓度誤差

2 算法的軟件實現

圖4所示為算法的程序流程圖，其給出了算法的具體實現步驟，以下兩點需補充說明:

(1)為簡化算法，在評定之前需先根據采樣點的個數按照近似1/k比例將采樣點壓縮成100～200個特征點，具體為:若連續(xù)k個采樣點與最小二乘圓心的距離都大于最小二乘半徑，則保留距離最大的采樣點，舍去其它k－1個點;若都小于最小二乘半徑，則保留距離最小的采樣點，舍去其他k－1個點;若既有大于最小二乘半徑的又有小于最小二乘半徑的，則保留距離最大和距離最小的兩個采樣點，舍去其他k－2個采樣點。

(2)按照算法，在壓縮后的100～200個特征點中找到滿足交叉準則的4點并獲得局點最小區(qū)域圓度誤差值及此時的評定中心O'。之后在原采樣點中鎖定這4個點(兩個內圓上的點，兩個外圓上的點)，分別以該四點為中心取k鄰域，考察鄰域內各點與圓心O'的距離:若以內圓點為中心，則取距離最小者;若以外圓點為中心，則取距離最大者。依據重新確定的四點坐標，即可得到全點最小區(qū)域圓度誤差值。

圖4 算法程序流程圖

3 仿真及實驗

為驗證算法的正確性、可靠性及快速性，作者借助Matlab進行了一系列的仿真。根據傅里葉變換的理論，認為實際圓輪廓為各階諧波疊加的結果［7］，在極坐標下構建被測圓輪廓的數學模型:

式中:r0為圓半徑理論值(直流分量);

ai為第i次諧波分量幅值;

φi為第i次諧波分量相位;

random為隨機誤差值。

理論上，只要采樣點數足夠，測得的離散點坐標數據就包含了實際圓的所有加工誤差特征(諧波特征)，又在實際生產加工中一般不會出現高次諧波分量［8］(ai≥0.05μm，則i≤6)?；谝陨戏治?，根據直流分量r0選取合適的ai及φi值，隨機誤差取值均為0～1/8 000 mm，可以構建多組圓輪廓，保持1 500個采樣點及1/15的壓縮比例不變，代入程序進行仿真，仿真的結果及程序運行的時間如表2所示。經驗證，表2中全點最小區(qū)域圓度誤差值確為對圓輪廓上1 500個采樣點的最小區(qū)域評價真值;因為采樣點數很多，若采用已有的移心法或迭代法等，程序運行效率將很低［9］。

表2 輸入參數及仿真結果

圖5所示為第一組仿真中三次移心的過程，易見移心距離逐次遞減且移心終點確與最小區(qū)域圓心非常接近。如1.2節(jié)中所述，根據移心次數(w=3)設定上下閾值(至最遠峰值點與其至最小二乘圓的距離比均為1∶9)，確定各峰值點群后找到滿足交叉準則的四點并求取局點最小區(qū)域圓度誤差值。圖6給出特征點與各圓心的距離曲線，其中特征點與移心終點的距離曲線和特征點與最小區(qū)域圓心的距離曲線幾乎重合，再次證明了“九點法”移心的有效性。

圖5 “九點法”逐次移心

圖6 特征點與各圓心距離曲線(1)

為驗證算法的高效性及實用性，作者采用自行研制的多功能非接觸式圓度儀(如圖7所示)，利用基于CCD的圖像測量手段對一φ10 mm的無油滑動軸承的外圓輪廓(Talyrond 365型圓度儀測得最小區(qū)域圓度誤差值為17.09μm)進行了圓度誤差的測量。首先采用型號為Guppy Pro F-201B的工業(yè)相機對被測工件進行圖像采集，如圖8所示:其次完成數字圖像的處理，提取外圓的邊緣輪廓并輸出圓輪廓上各采樣點的坐標值(約2 200個采樣點);最后將坐標值帶入程序，運行11.454 s后輸出結果如表3所示。圖9給出122個特征點相對于最小二乘圓心、移心終點及最小區(qū)域圓心距離的3條曲線。由3條曲線的重合度可見“九點法”移心逼近的效果是明顯的;而短時間內在各峰值點群中鎖定滿足交叉準則的4個點證明該算法可以實現多采樣點下圓度誤差的最小區(qū)域評價，具有一定的實用性。

表3 實驗結果

圖7 多功能非接觸式圓度儀

圖8 被測環(huán)形軸套零件

圖9 特征點與各圓心距離曲線(2)

4 結論

提出了一種應用于多采樣點下的圓度誤差最小區(qū)域評價算法，一定程度上填補了該領域的空白，為圓度誤差的精確評定提供了新的思路。對該算法進行了詳細的介紹，并通過大量的仿真及實驗驗證了其正確性、可靠性和高效性。該算法的原理易于理解，便于實現計算機編程，具有極強的通用性，可廣泛地應用于圓度儀、機器視覺測量等多采樣點的情況。

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