張虎，郭志飛，張錚，徐安林

(1.無(wú)錫職業(yè)技術(shù)學(xué)院機(jī)械技術(shù)學(xué)院，江蘇無(wú)錫 214121;2.江蘇大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，江蘇鎮(zhèn)江 212013)

0 前言

并聯(lián)機(jī)床具有結(jié)構(gòu)緊湊、動(dòng)態(tài)特性好、剛度大等優(yōu)點(diǎn)，其中三自由度并聯(lián)機(jī)床應(yīng)用最為廣泛［1－3］。并聯(lián)機(jī)床機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì)中，一般以機(jī)床的結(jié)構(gòu)對(duì)稱(chēng)性、工作空間、靈活度、速度與承載能力等作為評(píng)價(jià)指標(biāo)。依據(jù)機(jī)構(gòu)學(xué)相關(guān)理論，機(jī)床結(jié)構(gòu)參數(shù)(如桿長(zhǎng)、機(jī)床床身尺寸)直接影響上述指標(biāo)，因此在選型結(jié)束后，需要對(duì)機(jī)床結(jié)構(gòu)參數(shù)的進(jìn)行優(yōu)化［4－6］。

要獲得較大的工作空間、高靈活度等多個(gè)優(yōu)化目標(biāo)時(shí)，可將這一問(wèn)題轉(zhuǎn)化成多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題。遺傳算法［7］非常適用于解決復(fù)雜非線性和多維空間最優(yōu)解等問(wèn)題，在計(jì)算科學(xué)、模式識(shí)別等方面有著廣泛應(yīng)用。

本文作者是在選定3-P-(2U-2S)這一并聯(lián)機(jī)構(gòu)構(gòu)型后，以工作空間、運(yùn)動(dòng)特性作為評(píng)價(jià)指標(biāo)，將機(jī)床床身半徑R、連桿桿長(zhǎng)L作為優(yōu)化設(shè)計(jì)參數(shù)，應(yīng)用遺傳算法來(lái)實(shí)現(xiàn)3-P-(2U-2S)機(jī)床機(jī)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)。

1 并聯(lián)機(jī)床機(jī)構(gòu)基本特征介紹

并聯(lián)機(jī)床機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖如圖1。移動(dòng)副作為機(jī)床的驅(qū)動(dòng)副，通過(guò)伺服電機(jī)驅(qū)動(dòng)3個(gè)滑塊沿導(dǎo)軌直線移動(dòng)，進(jìn)而帶動(dòng)動(dòng)平臺(tái)實(shí)現(xiàn)三自由度平動(dòng)，從而改變激光光頭的位置參數(shù)，與激光系統(tǒng)配合后，可實(shí)現(xiàn)三自由度平動(dòng)激光加工(激光切割或焊接)。

圖1 機(jī)床結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖

2 并聯(lián)機(jī)床機(jī)構(gòu)的位置方程

設(shè)定機(jī)架定平臺(tái)OPi=R，O'Ai=r桿長(zhǎng)為L(zhǎng)，機(jī)床位置結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖如圖2所示。設(shè)定動(dòng)平臺(tái)中心O'在靜坐標(biāo)系O－XYZ下的坐標(biāo)為(x，y，z)，各滑塊點(diǎn)Bi在{O}坐標(biāo)系內(nèi)的坐標(biāo):

［Bi］o=(R cosαi-R sinαiZi)T

圖2 機(jī)床位置結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖

根據(jù)桿長(zhǎng)約束方程可得到機(jī)床機(jī)構(gòu)位置反解方程如下:

3 機(jī)床機(jī)構(gòu)工作空間求解

并聯(lián)機(jī)床的工作空間求解，通用的方法一般可分為幾何解法和數(shù)值分析法。

數(shù)值分析法是根據(jù)約束條件(比如桿長(zhǎng)約束、轉(zhuǎn)角約束)，利用位置逆解來(lái)搜索邊界和工作空間的內(nèi)部點(diǎn)集的方法。該方法得到的工作空間是空間點(diǎn)的集合，一般是通過(guò)計(jì)算機(jī)計(jì)算獲得，其優(yōu)點(diǎn)在于程序化、可以通過(guò)改變相關(guān)參數(shù)，得到不同參數(shù)下的工作空間。取表1中的機(jī)床參數(shù)進(jìn)行計(jì)算。

表1 機(jī)床結(jié)構(gòu)參數(shù)

利用MATLAB計(jì)算得到工作空間和XOY方向投影的最大截面如圖3。

圖3 并聯(lián)機(jī)床工作空間與最大截面

同時(shí)，工作空間最大截面與機(jī)床結(jié)構(gòu)參數(shù)的關(guān)系分析如下。

根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)原理，3個(gè)支鏈末端最大回轉(zhuǎn)工作空間的交集，即為工作空間的最大截面如圖4，3個(gè)圓的方程如下:

圖4 工作空間最大截面

最大截面面積Smax，經(jīng)計(jì)算可得:

導(dǎo)軌長(zhǎng)度一定時(shí)，Smax與工作空間大小成正相關(guān)。

4 機(jī)床機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)特性求解

由于機(jī)床機(jī)構(gòu)具有三平動(dòng)自由度，輸入與輸出均為線速度。設(shè)定輸入輸出速度矢量分別為vin，vout，得Jvin=vout，雅克比矩陣J反映了機(jī)床滑塊輸入運(yùn)動(dòng)與動(dòng)平臺(tái)輸出運(yùn)動(dòng)的映射關(guān)系。

由式(1)可得到雅克比矩陣J如下:

得到:

設(shè)定κ(J)=cond(J)=‖J‖·‖J－1‖稱(chēng)為雅克比矩陣條件數(shù)，反映了速度傳遞時(shí)的相對(duì)誤差可能的放大率［8］。

條件數(shù)的倒數(shù)，η(J)=1/κ(J)，稱(chēng)為線速度傳遞各向同性(LCⅠ)，其值越大，則各項(xiàng)同性越好，速度傳遞性能在該點(diǎn)的傳遞性能越好，η(J)≤1，當(dāng)η(J)=1，則各向同性處于最佳狀態(tài)。

應(yīng)用MATLAB軟件求解η(J)=1/κ(J)，得到LCⅠ。圖5是在LCⅠ在工作空間XOY面上的分布云圖與等高線圖。

從圖5中可以直觀地看出動(dòng)平臺(tái)在機(jī)床中心附近時(shí)，機(jī)床的LCⅠ較高，沿中心向外圍擴(kuò)散，即傳遞性能在機(jī)床機(jī)構(gòu)中心最好，沿直徑方向逐漸變差。在中心區(qū)域300 mm×300 mm(XOY平面)內(nèi)LCⅠ值較大，同時(shí)中心點(diǎn)與邊緣點(diǎn)的差值較小、分布均勻，說(shuō)明機(jī)床加工工件時(shí)，運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性好。

另一方面，對(duì)于在規(guī)定工作空間W下的綜合運(yùn)動(dòng)學(xué)性能，可通過(guò)全局條件指標(biāo)GCⅠ來(lái)表示:

圖5 LCⅠ在分布云圖與等高線圖(R=500，L=700)

5 基于遺傳算法的機(jī)床機(jī)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化

5.1 基本原理

遺傳算法［9］基于自然進(jìn)化規(guī)則搜索和計(jì)算問(wèn)題，能夠收斂得到全局最優(yōu)解，基本操作包括選擇、交叉和變異。BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法有很強(qiáng)的映射能力，常常用于函數(shù)逼近、模式識(shí)別等。將遺傳算法與BP網(wǎng)絡(luò)算法結(jié)合，可以充分發(fā)揮神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的泛化的映射能力。通過(guò)BP網(wǎng)絡(luò)算法構(gòu)建目標(biāo)函數(shù)模型，來(lái)作為遺傳算法的尋優(yōu)函數(shù)。

5.2 具體步驟

設(shè)定機(jī)床機(jī)構(gòu)參數(shù)半徑R、桿長(zhǎng)L為變量，分別取范圍為L(zhǎng)∈［700，800］，R∈［500，600］(單位:mm)。

通過(guò)求解規(guī)定的工作空間(300 mm×300 mm×Z)的全局條件指標(biāo)GCⅠ值，比較優(yōu)化機(jī)床機(jī)構(gòu)參數(shù)。通過(guò)求解可以到不同組合L、R得到的離散點(diǎn)(L，R，GCⅠ)，應(yīng)用BP網(wǎng)絡(luò)算法構(gòu)建映射關(guān)系構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)，因此GCⅠ作為機(jī)床機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)特性的評(píng)價(jià)指標(biāo);另一方面，取工作空間最大截面Smax可以作為工作空間的評(píng)價(jià)指標(biāo)。

將上述兩種指標(biāo)，構(gòu)建評(píng)價(jià)函數(shù)通過(guò)“加權(quán)”的方式，來(lái)轉(zhuǎn)換成單目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題，通過(guò)遺傳算法訓(xùn)練，得到一組工作空間與GCⅠ值較好的組合解，從而將多目標(biāo)優(yōu)化轉(zhuǎn)換成單目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題［97，104］，其數(shù)學(xué)模型如下:

其中ω1、ω2是賦給工作空間與GCⅠ的權(quán)值，f1、f2是參照滿意度函數(shù)法［10］構(gòu)造的對(duì)應(yīng)于工作空間與GCⅠ的子函數(shù)，稱(chēng)為評(píng)估函數(shù)。由于兩者均期望為最大值，函數(shù)定義的方法如下。

其中，是響應(yīng)^yi是經(jīng)GCⅠ或Smax得到的一個(gè)任意值，Ui對(duì)應(yīng)最大值，Li對(duì)應(yīng)最小值，αi是常數(shù)。這樣經(jīng)過(guò)上述數(shù)值轉(zhuǎn)換后，工作空間與GCⅠ對(duì)應(yīng)的的評(píng)估函數(shù)f1、f2的任意數(shù)值是fi(^yi)，其大小在一個(gè)數(shù)量級(jí)，從而不會(huì)使工作空間與GCⅠ本身數(shù)值大小影響優(yōu)化效果。設(shè)權(quán)值與參數(shù)值ω1=ω2=1，α1=α2=1。

采用MATLAB遺傳算法GAOT工具箱，作為求解最優(yōu)值的求解工具。通過(guò)ga()相關(guān)語(yǔ)句，進(jìn)行求優(yōu)計(jì)算。經(jīng)過(guò)100代的進(jìn)化之后，得到最優(yōu)值收斂于1.259 7。

5.3 優(yōu)化結(jié)果

圖6是GCⅠ與工作空間在遺傳算法下的尋優(yōu)性能跟蹤圖，圖中虛線代表適應(yīng)度函數(shù)的最佳值(Best fitness)和實(shí)線代表平均值(Mean fitness)。

最優(yōu)參數(shù)值為:L=796.56;R=570.57

圖6 遺傳算法下的尋優(yōu)性能跟蹤圖

將上述優(yōu)化的機(jī)床機(jī)構(gòu)參數(shù)尺寸代入到式(3)，求解得到優(yōu)化后的工作空間最大截面，如圖其面積為4.219 7e+005 mm2，優(yōu)化后的LCⅠ在工作空間的分布如圖8。

分析圖3、5與圖7、8，說(shuō)明優(yōu)化后機(jī)床機(jī)構(gòu)在保證工作空間下，運(yùn)動(dòng)特性條件指標(biāo)得到了提高，這樣既能使并聯(lián)機(jī)床在工作空間上滿足加工要求，又能保證機(jī)床機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)性能。綜上，文中的機(jī)床機(jī)構(gòu)的參數(shù)優(yōu)化基本完成，優(yōu)化結(jié)果令人滿意。

圖7 優(yōu)化后，最大工作空間截面圖

圖8 LCⅠ在優(yōu)化后分布云圖與等高線圖

6 結(jié)論

通過(guò)計(jì)算給出了并聯(lián)機(jī)床機(jī)構(gòu)3-P-(2U-2S)的反解方程，應(yīng)用邊界搜索的方法得到機(jī)床機(jī)構(gòu)的工作空間，接著通過(guò)雅克比矩陣的求解得到并聯(lián)機(jī)床機(jī)構(gòu)的條件數(shù)方程。最后，應(yīng)用BP網(wǎng)絡(luò)算法構(gòu)建映射函數(shù)，通過(guò)遺傳算法對(duì)機(jī)床機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)參數(shù)(機(jī)床半徑R與桿長(zhǎng)L)進(jìn)行了尺寸優(yōu)化。通過(guò)優(yōu)化，并聯(lián)機(jī)床在工作空間和全局運(yùn)動(dòng)條件指標(biāo)GCⅠ兩個(gè)綜合性能得到了提高。

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