朱理，范鑫，龐福振，繆旭弘

（1.哈爾濱工程大學(xué)船舶工程學(xué)院，哈爾濱150001；2.海軍裝備采購(gòu)中心，北京100071；3.大連理工大學(xué)運(yùn)載工程與力學(xué)學(xué)部，遼寧大連116024；4.中國(guó)人民解放軍92857部隊(duì)，北京100007）

一般邊界條件下矩形薄板振動(dòng)聲輻射特性分析

朱理1，2，范鑫3，龐福振1，4，繆旭弘4

（1.哈爾濱工程大學(xué)船舶工程學(xué)院，哈爾濱150001；2.海軍裝備采購(gòu)中心，北京100071；3.大連理工大學(xué)運(yùn)載工程與力學(xué)學(xué)部，遼寧大連116024；4.中國(guó)人民解放軍92857部隊(duì)，北京100007）

基于改進(jìn)傅立葉級(jí)數(shù)方法，將矩形板振型函數(shù)表示為包含正弦三角級(jí)數(shù)的改進(jìn)傅立葉級(jí)數(shù)，從而有效地克服結(jié)構(gòu)在邊界處存在的不連續(xù)性，建立了一般邊界條件下矩形薄板結(jié)構(gòu)振動(dòng)聲輻射的分析方法，并對(duì)薄板結(jié)構(gòu)的振動(dòng)聲輻射特性進(jìn)行了研究。文中還建立了薄板結(jié)構(gòu)的位移容許函數(shù)，然后基于最小勢(shì)能原理求解了系統(tǒng)的Lagrange函數(shù)，最后利用Rayleigh-Ritz法對(duì)方程求解從而獲得薄板自由振動(dòng)的模態(tài)信息；在此基礎(chǔ)上，基于Rayleigh積分公式推導(dǎo)出了薄板振動(dòng)、輻射聲壓和聲功率的表達(dá)式，研究了結(jié)構(gòu)特性參數(shù)及邊界條件對(duì)薄板振動(dòng)聲輻射的影響，通過(guò)有限元軟件和參考文獻(xiàn)的比對(duì)分析，驗(yàn)證了改進(jìn)方法的正確性和有效性。

改進(jìn)傅立葉級(jí)數(shù)；矩形薄板；振動(dòng)；聲輻射；容許函數(shù)

0 引言

板結(jié)構(gòu)作為常見(jiàn)的基本結(jié)構(gòu)單元，在船舶、航天等國(guó)防工業(yè)中具有廣泛的應(yīng)用，其動(dòng)力學(xué)性能一直是研究的熱點(diǎn)。

關(guān)于矩形薄板結(jié)構(gòu)振動(dòng)聲輻射研究，目前已有大量研究成果，并形成了較為系統(tǒng)的分析方法。對(duì)于矩形薄板的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題而言，歸根結(jié)底就是對(duì)其控制方程和邊界條件所構(gòu)成的方程進(jìn)行求解[1]，目前常見(jiàn)的分析方法有冪級(jí)數(shù)法[2]、有限板條法[3]、能量法[4]、離散奇異卷積法[5]、微分求積法[6]和Green函數(shù)法[7]。但上述研究多采用了理想邊界條件[8-11]，如固支、簡(jiǎn)支、自由等典型邊界條件形式進(jìn)行分析的，而在實(shí)際結(jié)構(gòu)工程中，結(jié)構(gòu)的邊界條件通常較為復(fù)雜，可能是上述典型邊界條件的組合，因此，開(kāi)展一般邊界條件下矩形薄板結(jié)構(gòu)的振動(dòng)聲輻射研究具有重要的現(xiàn)實(shí)意義。且現(xiàn)有文獻(xiàn)在對(duì)矩形薄板振動(dòng)聲輻射的研究也大都集中于經(jīng)典邊界的情形[12-15]。當(dāng)矩形薄板結(jié)構(gòu)的邊界為彈性情形時(shí)其聲輻射計(jì)算要復(fù)雜得多，雖然人們?cè)谘芯刻剿髦刑岢隽撕芏嘈碌那蠼夥椒ǎ纾篟itz法、Galerkin法、級(jí)數(shù)法和有限元法等，但是上述方法均存在各自的缺陷，如有限元法在解決結(jié)構(gòu)高頻振動(dòng)時(shí)會(huì)出現(xiàn)較大誤差，且結(jié)構(gòu)形式或邊界條件等改變時(shí)需要重新建模計(jì)算，耗時(shí)耗力。

針對(duì)現(xiàn)有研究存在的不足，本文基于改進(jìn)傅立葉級(jí)數(shù)方法，建立了一般邊界條件下矩形薄板結(jié)構(gòu)的振動(dòng)聲輻射分析的統(tǒng)一模型，提出了一般邊界條件下矩形薄板結(jié)構(gòu)振動(dòng)聲輻射的快速分析方法。本文首先基于改進(jìn)傅立葉級(jí)數(shù)方法建立了薄板結(jié)構(gòu)橫向位移容許函數(shù)，同時(shí)對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行能量描述；針對(duì)Lagrange函數(shù)中未知的傅立葉系數(shù)求極值得到結(jié)構(gòu)振動(dòng)的標(biāo)準(zhǔn)特征值方程，通過(guò)簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)求解得到結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)特性；在此基礎(chǔ)上，推導(dǎo)了矩形薄板空中輻射聲壓和聲功率表達(dá)式，研究了在不同結(jié)構(gòu)參數(shù)與邊界條件下結(jié)構(gòu)的振動(dòng)聲輻射特性；最后通過(guò)大量數(shù)值算例對(duì)所提方法進(jìn)行驗(yàn)證，說(shuō)明本文方法的正確性、合理性及有效性。

1 矩形薄板彎曲振動(dòng)理論

1.1 薄板結(jié)構(gòu)物理模型

本文所研究模型為一長(zhǎng)為a，寬為b，厚為h的矩形薄板，如圖1所示。板的一般邊界條件可采用沿各邊均勻分布的線性位移（kil，i取值為x、y，l的取值為0、a、b，在后面不再進(jìn)行描述）和旋轉(zhuǎn)約束彈簧（kil）來(lái)模擬。事實(shí)上，經(jīng)典邊界可以通過(guò)將kil和Kil設(shè)置為0或∞來(lái)模擬，例如：當(dāng)將兩類約束彈簧剛度值設(shè)置為∞時(shí)，則為固支邊界條件；而為彈性邊界時(shí)，其值可取為兩極限值之間的任意值。對(duì)于邊界上的線位移和旋轉(zhuǎn)約束彈簧剛度的單位分別為N/m和N·m/rad。

圖1 任意彈性邊界下的薄板結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Schematic of thin plate with arbitrary boundary conditions

1.2 結(jié)構(gòu)控制方程的建立

由結(jié)構(gòu)力學(xué)可知，法向載荷q（x，y，t）作用下薄板運(yùn)動(dòng)微分方程可表示為：

矩形薄板自由振動(dòng)時(shí)，q（x，y，t）=0，則（1）式可簡(jiǎn)化為：

1.3 位移容許函數(shù)

在本文方法中，構(gòu)造合適的位移容許函數(shù)對(duì)研究結(jié)果具有重要影響。為克服傳統(tǒng)傅立葉級(jí)數(shù)在邊界處的不連續(xù)性，一種改進(jìn)的傅立葉級(jí)數(shù)表達(dá)被提了出來(lái)，并且被應(yīng)用到一般彈性邊界下正交各向異性矩形薄板[16]的彎曲自由振動(dòng)和環(huán)扇形板[17]的面內(nèi)振動(dòng)分析中；本文進(jìn)一步將該方法擴(kuò)展到矩形薄板結(jié)構(gòu)的振動(dòng)與聲輻射特性分析中去。

對(duì)于一般邊界條件下矩形薄板結(jié)構(gòu)，采用本文方法其振型函數(shù)可表示為：

簡(jiǎn)諧時(shí)間因子eiωt的引入是為了表述薄板在不同時(shí)刻的位移函數(shù)。從上式可以看出，在求解域內(nèi)，位移函數(shù)除了二維傅立葉余弦級(jí)數(shù)外還包含三項(xiàng)輔助傅立葉級(jí)數(shù)形式，這是由于矩形薄板的振動(dòng)控制微分方程是四階偏微分方程，因此要求它的位移容許函數(shù)要在整個(gè)求解域內(nèi)三階導(dǎo)數(shù)連續(xù)而且四階導(dǎo)數(shù)在各點(diǎn)均存在。通過(guò)在傳統(tǒng)傅立葉級(jí)數(shù)方法的基礎(chǔ)上引入三項(xiàng)輔助傅立葉級(jí)數(shù)的方法使得現(xiàn)有的位移容許函數(shù)三階導(dǎo)數(shù)在整個(gè)求解域內(nèi)是連續(xù)的并且四階導(dǎo)數(shù)在各點(diǎn)均存在，這就可有效地克服邊界處可能存在的不連續(xù)性。

1.4 結(jié)構(gòu)能量泛函的建立

通過(guò)對(duì)位移函數(shù)逐次求導(dǎo)就可以得到速度、加速度等參數(shù)，因此，整個(gè)求解過(guò)程的主要任務(wù)就是求解未知的傅立葉展開(kāi)系數(shù)。在求解未知傅立葉系數(shù)時(shí)，首先對(duì)結(jié)構(gòu)的能量進(jìn)行描述，其具體過(guò)程如下：

矩形薄板的彎曲應(yīng)變能：

儲(chǔ)存在邊界的彈簧勢(shì)能可以表示為：

相應(yīng)地，一般彈性邊界條件下，將彈簧考慮為無(wú)質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)，結(jié)構(gòu)的整體動(dòng)能為：

外載荷所做的功可以表示為：

于是，系統(tǒng)的Lagrange能量泛函可以表示為：

1.5 振動(dòng)響應(yīng)的求解

將（4）-（7）式代入（8）式，并對(duì)未知傅立葉展開(kāi)系數(shù)求極值：

從而可將結(jié)構(gòu)的振動(dòng)問(wèn)題轉(zhuǎn)成了一個(gè)求解特征值方程的簡(jiǎn)單數(shù)學(xué)問(wèn)題，具體表示成以下形式：

式中：［K］=［Ks］+［Kp］，［Ks］是彈簧勢(shì)能剛度矩陣，［Kp］是結(jié)構(gòu)應(yīng)變勢(shì)能剛度矩陣，［M］是結(jié)構(gòu)的質(zhì)量矩陣。A和F分別為相同維數(shù)的未知Fourier系數(shù)和外載荷向量。當(dāng)｛F｝=｛0｝時(shí)，結(jié)構(gòu)就退化為自由振動(dòng)特征值方程：

當(dāng)｛F｝≠｛0｝時(shí)，即任意圓頻率ω激勵(lì)下，結(jié)構(gòu)受迫振動(dòng)時(shí)的未知傅立葉系數(shù)向量可表示為：

通過(guò)將上式代入（3）式，即可得到薄板結(jié)構(gòu)的受迫振動(dòng)響應(yīng)。

1.6 結(jié)構(gòu)的聲輻射

在求得薄板位移響應(yīng)表達(dá)式后，聲場(chǎng)中任意一點(diǎn)的聲壓可以通過(guò)Rayleigh積分求得：

式中：X為場(chǎng)點(diǎn)，Y為源點(diǎn)，ω為激勵(lì)圓頻率，ρ0為空氣密度，c為空氣中的聲速，代表場(chǎng)點(diǎn)與源點(diǎn)間的距離。

為便于計(jì)算，將結(jié)構(gòu)劃分為N個(gè)有限單元，這樣被離散后的結(jié)構(gòu)中每個(gè)小單元都可以視為一個(gè)獨(dú)立向外輻射噪聲的點(diǎn)聲源。這樣（13）式可表示為：

式中：vn（Y）可以通過(guò)對(duì)位移函數(shù)wp（x，y，t）求導(dǎo)得到，ΔS為單元面積。

同理，借助于聲強(qiáng)和聲功率的表達(dá)式可以推導(dǎo)出矩形板的總輻射聲功率；且當(dāng)結(jié)構(gòu)輻射表面與觀測(cè)點(diǎn)所在表面重合時(shí)，可以表示成如下形式：

采用上述方法將板結(jié)構(gòu)離散后，上式變?yōu)椋?/p>

各離散單元中心點(diǎn)速度v可以表示成列向量的形式，即v=（v1，v2，v3，…，vN）T，這樣輻射功率Wp可以簡(jiǎn)化為：

其中：Z為阻抗矩陣，其具體表達(dá)式如下所示，H表示共軛轉(zhuǎn)置。

最終，矩形板輻射聲功率級(jí)為：

2 數(shù)值計(jì)算與分析

2.1 方法的收斂性分析

因本方法在計(jì)算過(guò)程中，位移展開(kāi)截?cái)嘀礛、N對(duì)結(jié)果具有重要影響，為此，本節(jié)首先對(duì)改進(jìn)傅立葉級(jí)數(shù)方法的收斂性進(jìn)行驗(yàn)證。

以四邊固支（即C-C-C-C支撐方式）矩形薄板的自由振動(dòng)為例，本節(jié)研究了截?cái)嘀祵?duì)無(wú)量綱固有頻率的影響，計(jì)算如表1所示，其中Ω=ωa2（ρh/D）1/2。不難發(fā)現(xiàn)，當(dāng)M=N=10時(shí)，其頻率參數(shù)基本不發(fā)生變化，因此可以認(rèn)為在此截?cái)嘀迪拢倪M(jìn)傅立葉級(jí)數(shù)方法已收斂在后續(xù)數(shù)值計(jì)算中截?cái)嘀礛、N可取為10。從表中亦可看出，隨著截?cái)鄶?shù)的增大，薄板固有頻率的計(jì)算結(jié)果趨于一致，從而證明了本文方法的數(shù)值穩(wěn)定性。

表1 不同的截?cái)嘀礛、N下C-C-C-C板結(jié)構(gòu)無(wú)量綱頻率參數(shù)ΩTab.1 Non-dimensional frequency Ω of plate with different M and N under C-C-C-C BCS

2.2 結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)特性分析

為了證明本方法的正確性以及對(duì)于一般邊界條件的適用性，本小節(jié)對(duì)矩形薄板結(jié)構(gòu)在任意邊界條件下的自由振動(dòng)特性進(jìn)行了分析。本節(jié)選取了四種經(jīng)典邊界條件，即C-C-C-C、C-F-F-F、S-S-F-F和C-S-S-F，將薄板在這些條件下計(jì)算所得的無(wú)量綱頻率參數(shù)Ω與有限元仿真和文獻(xiàn)[18]計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，如表2至表5所示。同時(shí)，本文還列出了在C-C-C-C邊界和長(zhǎng)寬比r=2時(shí)本文方法與有限元方法計(jì)算所得的前6階固有模態(tài)振型。通過(guò)圖表數(shù)據(jù)對(duì)比可知，本文方法計(jì)算所得計(jì)算結(jié)果與現(xiàn)有文獻(xiàn)解及有限元仿真結(jié)果吻合得很好，從而驗(yàn)證了本文方法的正確性，并且可以看出該方法具有較高的計(jì)算精度。

表2 不同的長(zhǎng)寬比C-C-C-C板結(jié)構(gòu)無(wú)量綱頻率參數(shù)ΩTab.2 Non-dimensional frequency Ω of plate with different length/breadth ration with C-C-C-C BCS

續(xù)表2

表3 不同的長(zhǎng)寬比下C-F-F-F板結(jié)構(gòu)無(wú)量綱頻率參數(shù)ΩTab.3 Non-dimensional frequency Ω of plate with different length/breadth ration with C-F-F-F BCS

表4 不同的長(zhǎng)寬比下S-S-F-F板結(jié)構(gòu)無(wú)量綱頻率參數(shù)ΩTab.4 Non-dimensional frequency Ω of plate with different length/breadth ration with S-S-F-F BCS

續(xù)表4

表5 不同的長(zhǎng)寬比下C-S-S-F板結(jié)構(gòu)無(wú)量綱頻率參數(shù)ΩTab.5 Non-dimensional frequency Ω of plate with different length/breadth ration with C-S-S-F BCS

圖2 在C-C-C-C邊界下r=2時(shí)本文方法計(jì)算所得前6階固有模態(tài)振型Fig.2 The first 6 modes of plate under C-C-C-C BCS when r=2 with proposed method

圖3 在C-C-C-C邊界下r=2時(shí)有限元計(jì)算所得前6階固有模態(tài)振型Fig.3 The first 6 modes of plate under C-C-C-C BCS when r=2 with FEM

表6 S-S-S-S邊界下方板在不同的旋轉(zhuǎn)彈簧剛度下前6階無(wú)量綱頻率參數(shù)ΩTab.6 The first 6 Non-dimensional frequency Ω of plate with different rotating stiffness with S-S-S-S BCS

在此基礎(chǔ)上，本文研究了一般彈性邊界條件下結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)特性。表6給出了四邊簡(jiǎn)支條件下同時(shí)改變四邊旋轉(zhuǎn)彈簧剛度值時(shí)的前6階無(wú)量綱固有頻率參數(shù)，為便于對(duì)比驗(yàn)證，表6同時(shí)列出了部分有限元仿真結(jié)果作為參照。從表中可以看出，本文方法計(jì)算結(jié)果與有限元仿真結(jié)果吻合得很好，這就驗(yàn)證了本文方法對(duì)于彈性邊界的適用性。從表中還可以看出，彈性邊界下的剛度值的變化對(duì)于結(jié)構(gòu)的振動(dòng)特性影響較大，當(dāng)K的值在1×104～1×108N·m/rad區(qū)間時(shí)，結(jié)構(gòu)固有頻率發(fā)生劇烈變化，當(dāng)K低于104N·m/rad或大于108N·m/rad時(shí)平板結(jié)構(gòu)固有頻率變化較小，此時(shí)結(jié)構(gòu)已經(jīng)退化為經(jīng)典邊界條件。

圖4給出了C-C-C-F邊界下逐漸改變F邊的線性彈簧剛度k和旋轉(zhuǎn)彈簧剛度K時(shí)平板結(jié)構(gòu)第1階固有頻率的變化圖?？梢钥闯觯?dāng)k保持不變而K在逐漸增加時(shí)，系統(tǒng)固有頻率的曲率變化相對(duì)較?。欢?dāng)K保持不變而k在逐漸增加時(shí)，圖形的曲率卻變化很大，由此可以斷定橫向約束彈簧對(duì)結(jié)構(gòu)固有頻率的影響比旋轉(zhuǎn)彈簧大。

圖4 C-C-C-F下k和K影響程度比較Fig.4 Influence of k and K with C-C-C-F BCS

2.3 平板結(jié)構(gòu)振動(dòng)聲輻射特性研究

由于平板結(jié)構(gòu)聲輻射的關(guān)鍵在于求解給定激勵(lì)下平板的速度響應(yīng)，因此，對(duì)本文方法的驗(yàn)證最終可歸結(jié)為平板結(jié)構(gòu)給定激勵(lì)載荷下的振動(dòng)速度響應(yīng)的驗(yàn)證上。為此，本文首先對(duì)平板結(jié)構(gòu)的受迫振動(dòng)響應(yīng)進(jìn)行分析，并通過(guò)與有限元對(duì)比驗(yàn)證本文方法的正確性，在此基礎(chǔ)上，通過(guò)Rayleigh積分對(duì)平板結(jié)構(gòu)在空氣中的振動(dòng)聲輻射進(jìn)行了求解，分別從邊界條件、結(jié)構(gòu)尺寸、板厚以及激勵(lì)點(diǎn)位置四個(gè)方面對(duì)平板結(jié)構(gòu)聲輻射特性進(jìn)行研究。

2.3.1 平板結(jié)構(gòu)受迫振動(dòng)響應(yīng)分析

本節(jié)對(duì)矩形薄板結(jié)構(gòu)的受迫振動(dòng)速度響應(yīng)進(jìn)行研究。為便于分析，薄板基本參數(shù)設(shè)置如下：a=1 m，b=1 m，h=0.01 m，楊氏模量E=2.07×1011Pa，質(zhì)量密度ρ=7 800 kg/m3，泊松比μ=0.3，空氣中的聲速c=323 m/s，空氣密度ρ0=1.225 kg/m3，激勵(lì)幅值為100 N，計(jì)算頻率為2 Hz～1 kHz，掃頻間隔為△f=2 Hz。

圖5（a）和5（b）分別是在四邊固支和四邊簡(jiǎn)支且激勵(lì)點(diǎn)為板中心的情況下，分別利用本方法和有限元軟件計(jì)算所得的中心點(diǎn)和（0.2，0.3）點(diǎn)處的速度響應(yīng)級(jí)對(duì)比圖。由圖可知，本文方法求解得到的速度響應(yīng)與有限元軟件計(jì)算結(jié)果吻合得很好，只是在兩個(gè)共振的峰值點(diǎn)上出現(xiàn)了部分的差異，這是由于不同方法對(duì)于同一結(jié)構(gòu)共振峰的測(cè)定有一定的差異。因而，可以斷定：本文方法在對(duì)結(jié)構(gòu)聲輻射方面的計(jì)算結(jié)果是正確可靠的。

圖5 平板振動(dòng)速度響應(yīng)對(duì)比圖Fig.5 Vibration velocity of plate with different BCS

2.3.2 平板結(jié)構(gòu)聲輻射研究

下面將分別從邊界條件、結(jié)構(gòu)尺寸、板厚以及激勵(lì)點(diǎn)位置四個(gè)方面因素對(duì)薄板結(jié)構(gòu)振動(dòng)聲輻射的影響進(jìn)行研究。

（1）邊界條件對(duì)結(jié)構(gòu)聲輻射的影響

圖6給出了C-C-C-C﹑C-F-F-C和C-S-S-F三種不同邊界條件下平板結(jié)構(gòu)輻射聲壓級(jí)與聲功率級(jí)比較圖，其中聲壓級(jí)監(jiān)測(cè)點(diǎn)位于平板中心上方0.1 m處的位置。

圖6 典型界條件下結(jié)構(gòu)聲壓與聲功率對(duì)比Fig.6 Comparison of sound pressure and power of plate with different BCS

由圖6可以看出，一方面，在共振頻率處，不論是平板的輻射聲壓還是輻射聲功率均呈現(xiàn)出了峰值，這說(shuō)明無(wú)論邊界條件如何變化，只要激勵(lì)頻率與結(jié)構(gòu)固有頻率相等，均會(huì)有共振的情形出現(xiàn)；另一方面，對(duì)比不同邊界條件下平板輻射聲壓級(jí)與輻射聲功率級(jí)曲線可以看出，C-C-C-C邊界條件時(shí)平板結(jié)構(gòu)聲輻射共振峰最少，C-F-F-C邊界條件次之，C-S-S-F邊界條件時(shí)最為密集，由此可見(jiàn)，隨著結(jié)構(gòu)邊界約束條件的減弱，結(jié)構(gòu)聲壓級(jí)與輻射聲功率級(jí)共振峰也更為密集，輻射能量也更大，可見(jiàn)，邊界條件對(duì)結(jié)構(gòu)聲輻射的影響較大，增強(qiáng)結(jié)構(gòu)的邊界約束條件可有效降低結(jié)構(gòu)的聲輻射。

圖7給出了旋轉(zhuǎn)約束彈簧剛度值K＝1×105N·m/rad不變而橫向約束彈簧剛度值k分別為2×104N/m、2×105N/m和2×106N/m時(shí)平板結(jié)構(gòu)輻射聲壓級(jí)與聲功率級(jí)的對(duì)比曲線?？梢钥闯?，隨著橫向約束彈簧剛度k的增加，其結(jié)構(gòu)聲輻射響應(yīng)峰值點(diǎn)在向高頻移動(dòng)，而且從第一個(gè)峰值點(diǎn)的對(duì)比可以看出，橫向約束彈簧剛度k越大，其響應(yīng)峰值點(diǎn)也越高。此外，對(duì)比圖6與圖7可知，與經(jīng)典邊界不同的是：①?gòu)椥赃吔缦赂哳l峰值點(diǎn)趨于相同位置只是峰值點(diǎn)的值有所不同；②彈性邊界下平板結(jié)構(gòu)輻射聲功率除峰值點(diǎn)外還會(huì)出現(xiàn)一段平穩(wěn)過(guò)程，而經(jīng)典條件下幾乎不會(huì)出現(xiàn)或者說(shuō)出現(xiàn)的頻率段范圍很小。

圖7 典型橫向約束剛度下結(jié)構(gòu)聲壓與聲功率對(duì)比Fig.7 Comparison of sound pressure and power of plate with typical transverse constraint stiffness

（2）結(jié)構(gòu)長(zhǎng)寬比對(duì)聲輻射的影響

圖8給出了a/b=1﹑1.5和2等三種不同長(zhǎng)寬比下四邊固支時(shí)平板結(jié)構(gòu)輻射聲壓級(jí)與聲功率級(jí)的對(duì)比曲線。

圖8 典型尺寸下結(jié)構(gòu)聲壓與聲功率對(duì)比Fig.8 Comparison of sound pressure and power of plate with different size of plate

可以看出，一方面，隨著長(zhǎng)寬比的增加，平板結(jié)構(gòu)聲輻射共振峰值將逐漸向高頻段偏移，且共振峰數(shù)量也將存在較大差異，a/b=1.5時(shí)，結(jié)構(gòu)聲輻射共振峰最多，a/b=1時(shí)次之，a/b=2時(shí)最少；另一方面，隨著長(zhǎng)寬比的增加，結(jié)構(gòu)輻射聲壓和輻射聲功率也將發(fā)生改變，對(duì)于本文研究的平板結(jié)構(gòu)而言，a/b=1.5時(shí)平板結(jié)構(gòu)輻射噪聲最大，a/b=1時(shí)次之，a/b=2時(shí)平板結(jié)構(gòu)振動(dòng)聲輻射水平最低。

（3）板厚對(duì)結(jié)構(gòu)聲輻射的影響

圖9分別給出了h=0.005 m﹑0.01 m和0.015 m三種不同板厚下四邊固支板結(jié)構(gòu)振動(dòng)聲壓級(jí)與聲功率級(jí)比較曲線。從圖中可以看出，隨著板厚的增加，一方面第1階聲輻射共振峰頻率在逐漸提高，且其1階共振時(shí)峰值也在增大；另一方面，隨著結(jié)構(gòu)板厚的增加，平板結(jié)構(gòu)聲輻射共振峰數(shù)量在逐漸減少。

圖9 典型板厚下結(jié)構(gòu)聲壓與聲功率對(duì)比Fig.9 Comparison of sound pressure and power of plate with different thickness of plate

（4）激勵(lì)點(diǎn)位置的影響

圖10給出了激勵(lì)點(diǎn)在（0.3，0.3）﹑（0.4，0.4）和（0.5，0.5）三種不同位置下四邊固支板結(jié)構(gòu)振動(dòng)聲壓級(jí)與聲功率級(jí)的比較曲線?？梢钥闯觯?lì)點(diǎn)位置的改變對(duì)平板結(jié)構(gòu)聲輻射的影響相對(duì)較小，且由于此時(shí)結(jié)構(gòu)自身的動(dòng)力學(xué)特性不發(fā)生變化，而激勵(lì)作用點(diǎn)位置的改變僅會(huì)引起結(jié)構(gòu)被激勵(lì)模態(tài)的變化，因此其聲輻射響應(yīng)變化不大。對(duì)于本次研究的平板結(jié)構(gòu)而言，無(wú)論激勵(lì)點(diǎn)在何處，其首階共振峰位置是相同的；但當(dāng)激勵(lì)點(diǎn)作用于結(jié)構(gòu)中心位置時(shí)，結(jié)構(gòu)的反對(duì)稱模態(tài)將無(wú)法被激起，故其聲輻射共振峰值數(shù)目較少；而當(dāng)激勵(lì)點(diǎn)不再對(duì)稱中心時(shí)，結(jié)構(gòu)的反對(duì)稱模態(tài)也將被激起，故此時(shí)結(jié)構(gòu)的輻射聲壓和聲功率會(huì)不斷增大，且其共振峰數(shù)量也相對(duì)較多。

圖10 典型激勵(lì)位置下結(jié)構(gòu)聲壓與聲功率對(duì)比Fig.10 Comparison of sound pressure and power of plate with different size of plate

3 結(jié)論

本文基于改進(jìn)傅立葉級(jí)數(shù)方法建立了一般邊界條件下矩形板振動(dòng)聲輻射的分析模型。在對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行能量描述的基礎(chǔ)上建立了Lagrange函數(shù)，通過(guò)將未知傅立葉系數(shù)作為廣義變量，結(jié)合Rayleigh-Ritz法將結(jié)構(gòu)振動(dòng)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求解標(biāo)準(zhǔn)特征值方程的問(wèn)題；在此基礎(chǔ)上，結(jié)合Rayleigh積分進(jìn)一步導(dǎo)出了任意邊界下薄板結(jié)構(gòu)的輻射聲壓和聲功率表達(dá)式，并討論了不同參量對(duì)于結(jié)構(gòu)聲輻射的具體影響。通過(guò)上述研究可以得出如下結(jié)論：

（1）改進(jìn)傅立葉級(jí)數(shù)方法分析平板結(jié)構(gòu)振動(dòng)聲輻射問(wèn)題是可行的，且具有計(jì)算精度高、數(shù)值穩(wěn)定性好等優(yōu)點(diǎn)。

（2）薄板結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)特性分析表明，橫向約束彈簧對(duì)結(jié)構(gòu)固有頻率的影響比旋轉(zhuǎn)彈簧大。

（3）薄板結(jié)構(gòu)聲輻射特性研究表明，邊界條件、長(zhǎng)寬比、板厚、激勵(lì)點(diǎn)位置等會(huì)對(duì)結(jié)構(gòu)聲輻射產(chǎn)生影響：當(dāng)激勵(lì)頻率與結(jié)構(gòu)第1階固有頻率相等時(shí)，一般會(huì)引起結(jié)構(gòu)共振聲輻射情形的出現(xiàn)，且隨著邊界約束條件的減弱，共振聲輻射逐漸增多且峰值越來(lái)越大；隨著長(zhǎng)寬比和板厚的增加，結(jié)構(gòu)振動(dòng)首個(gè)共振峰的位置在逐漸向高頻范圍移動(dòng)，結(jié)構(gòu)共振峰數(shù)量在逐漸減少；激勵(lì)點(diǎn)位置不改變結(jié)構(gòu)共振頻率，但可能因無(wú)法激勵(lì)結(jié)構(gòu)局部共振模態(tài)而導(dǎo)致其聲輻射共振峰的減少。

[1]薛開(kāi),王久法,王威遠(yuǎn).變厚度薄板在任意彈性邊界條件下的自由振動(dòng)分析[J].振動(dòng)與沖擊,2013,32(21):131-135. Xue Kai,Wang Jiufa,Wang Weiyuan,Li Qiuhong，Wang Ping.Free vibration analysis of tapered plates with arbitrary elastic boundary condition[J].Journal of Vibration and shock,2013,32(21):131-135.

[2]Sakiyama T,Huang M.Free vibration analysis of rectangular plates with variable thickness[J].Journal of Sound and Vibration,1998,216(3):379-397.

[3]蘇淑蘭,饒秋華,王銀邦.單向變厚度Levy型薄板的自由振動(dòng)分析[J].中南大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2011,42(5): 1413-1418. Su Shulan,Rao Qiuhua,Wang Yinbang.Free vibration of Levy-plate with uni-directionally varying thickness[J].Journal of Central South University(Science and Technology),2011,42(5):1413-1418.

[4]Cheung Y K,Zhou D.The free vibration of tapered rectangular plates using a new set of beam with the Rayleigh-Ritz method [J].Journal of Sound and Vibration,1999,223(5):703-722.

[5]Malekzadeh P,Karami G.Large amplitude flexural vibration analysis of tapered plates with edges elastically restrained against rotation using DQM[J].Engineering Structures,2008,30(10):2850-2858.

[6]Bert C W,Malik M.Free vibration analysis of tapered rectangular plates by differential quadrature method:A semi-analytical approach[J].Journal of Sound and Vibration,1996,190(1):41-63.

[7]Kobayashi H,Sonoda K.Vibration and buckling of tapered rectangular plates with two edges simply supported and the other two edges elastically restrained against rotation[J].Journal of Sound and Vibration,1991,146(2):323-337.

[8]Leissa A W.The free vibration of rectangular plates[J].Journal of Sound and Vibration,1973,31,257-293.

[9]Bhat R B.Natural frequencies of rectangular plates are obtained by employing a set of beam characteristic orthogonal polynomials in the Rayleigh-Ritz method[J].Journal of Sound and Vibration,1985,102(4):493-499.

[10]Chen H L.Exact solutions for free-vibration analysis of rectangular plates using bessel function[J].Journal of Applied Mechanics,2007,74(2):1247-1251.

[11]Zhou Ding.Natural frequencies of rectangular plates using a set of static beam functions in rayleigh-ritz method[J].Journal of Sound and Vibration,1996,189(1):81-87.

[12]任惠娟,盛美萍.矩形薄板的模態(tài)聲輻射效率[J].機(jī)械科學(xué)與技術(shù),2010,29(10):1397-1400. Ren Huijuan,Sheng Meiping.A thin rectangular plate’s modal radiation efficiency[J].Mechanical Science and Technology for Aerospace Engineering,2010,29(10):1397-1400.

[13]尹崗,陳花玲,陳天寧.薄板低頻聲輻射效率的研究[J].西安交通大學(xué)學(xué)報(bào),1999,33(3):108-110. Yin Gang,Chen Hualing,Chen Tian ning.Acoustic radiation efficiency of thin plate at low frequency band[J].Journal of Xi’an Jiaotong University,1999,33(3):108-110.

[14]Graham R.High frequency vibration and acoustic radiation of fluid loaded plates[J].Transactions of Royal Society,London,1995,A 352:1-43.

[15]Li W L,Gibelings H J.Determination of the mutual radiation resistances of a rectangular plate and their impact on the radiated sound power[J].Journal of Sound and Vibration,2000,229(5),1213-1233.

[16]史冬巖,王青山,石先杰,莊重.任意邊界條件下正交各向異性薄板自由振動(dòng)特性分析[J].上海交通大學(xué)學(xué)報(bào), 2014,48(3):434-438. Shi Dongyan,Wang Qingshan,Shi Xianjie,Zhuang Zhong.Free vibration analysis of orthoropic think plates in general boundary condictions[J]Journal of Shanghai Jiaotong University,2014,48(3):434-438.

[17]史冬巖,石先杰,李文龍.任意邊界條件下環(huán)扇形板面內(nèi)振動(dòng)特性分析[J].振動(dòng)工程學(xué)報(bào),2014,27(2):1-8. Shi Dongyan,Shi Xianjie,Li Wenlong.In-plane vibration analysis of annular sector plates with arbitrary boundary supports [J].Journal of Vibration Engineering,2014,27(2):1-8.

[18]Li Wenglong,Zhang Xuefeng,Du Jingtao,Liu Zhigang.An exact series solution for the transverse vibration of rectangular plates with general elastic boundary supports[J].Journal of Sound and Vibration,2009,321(1-2):254-269.

Analysis of vibration and acoustic radiation characteristics for rectangular plates with general boundary conditions

ZHU Li1,2,FAN Xin3,PANF Fu-zhen1,4,MIAO Xu-hong4
(1.College of Shipbuilding Engineering,Harbin Engineering University,Harbin 150001,China;2.Navy Armament Merchant Center,Beijing 100071,China;3.Faculty of Vehicle Engineering and Mechanics,Dalian University of Technology,Dalian 116024,China；4.92857Army of PLA,Beijing 100007,China)

Based on the theory of plates,a new method called Improved Fourier Series Method(IFSM)is presented to study the vibration and acoustic characteristics of rectangular plates with arbitrary boundary conditions.The plate admissible functions is presented,which is invariantly sought as an improved Fourier cosine series,and a sine series is introduced to overcome the discontinuities of the structure.And then the Lagrange equation is established according to the principle of the minimum potential energy.Finally,by using the Rayleigh-Ritz technique the vibration characteristics can be easily acquired.Under these circumstances,with the help of Rayleigh integral formula,the expressions of sound pressure and acoustic power are derived.The effects of structural parameters and boundary conditions that have great impact on the acoustic radiation are also studied.The comparisons among numerical simulation results,which obtained with FEM and reposed in literatures,validate the correctness of the method．

improved Fourier series;rectangular plates;vibration;acoustic radiation;admissible function

O342TB532

A

10.3969/j.issn.1007-7294.2015.11.014

1007-7294（2015）11-1409-13

2015-05-12

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（51209052）；黑龍江省青年科學(xué)基金資助項(xiàng)目（QC2011C013）；哈爾濱市科技創(chuàng)新人才研究專項(xiàng)資金項(xiàng)目（2011RFQXG021）；上海交通大學(xué)海洋工程國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室基金（1307）；中國(guó)博士后基金（2014M552661）

朱理（1983-），男，博士研究生；

范鑫（1991―），男，本科生；

龐福振（1980―），男，博士后，副教授，E-mail：pangfuzhen@hrbeu.edu.cn。