雷 松，鄭向遠(yuǎn)，張文首，林家浩，岳前進(jìn)

（1清華大學(xué) 深圳研究生院海洋學(xué)部，廣東 深圳 518055；2大連理工大學(xué)運(yùn)載工程與力學(xué)學(xué)部工程力學(xué)系，遼寧 大連 116023）

海洋立管懸掛狀態(tài)的固有頻率和振型

雷 松1，2，鄭向遠(yuǎn)1，張文首2，林家浩2，岳前進(jìn)2

（1清華大學(xué) 深圳研究生院海洋學(xué)部，廣東 深圳 518055；2大連理工大學(xué)運(yùn)載工程與力學(xué)學(xué)部工程力學(xué)系，遼寧 大連 116023）

文章把懸掛狀態(tài)的立管簡(jiǎn)化為一端固定一端自由的梁模型，考慮截面性質(zhì)和有效張力及質(zhì)量的變化，其控制方程為變系數(shù)的四階偏微分方程，運(yùn)用微分變換方法推導(dǎo)了固有頻率和振型的數(shù)值計(jì)算方法。通過數(shù)值算例驗(yàn)證了文中方法的有效性，考察了收斂速度的變化情況，討論了立管末端的懸掛器具對(duì)固有頻率和振型的影響，并結(jié)合工程實(shí)際，給出了若干海況下立管懸掛狀態(tài)時(shí)在飛濺區(qū)的共振區(qū)域。

微分變換；有效張力；固有頻率；振型

0 引 言

立管是海洋石油開發(fā)中連接海面浮式生產(chǎn)平臺(tái)和水下井口的重要通道[1]，按照不同的功能又分為鉆井隔水立管、注水立管、修井立管和生產(chǎn)立管等。在起下水作業(yè)過程中，立管處于懸掛狀態(tài)，主要靠平臺(tái)上的吊車及水下機(jī)器人（ROV）輔助完成，由于受上部平臺(tái)運(yùn)動(dòng)以及波浪、流的激勵(lì)發(fā)生動(dòng)態(tài)變形，偏離豎直位置，可能引起立管與月池，立管與錨鏈及立管之間的相互碰撞，嚴(yán)重影響立管的結(jié)構(gòu)安全和作業(yè)效率，也給海底的對(duì)接工作帶來很大的難度，因此預(yù)測(cè)立管在懸掛狀態(tài)的固有頻率和振型有助于準(zhǔn)確選擇作業(yè)窗口期，提高作業(yè)效率[2-3]，在實(shí)際工程中有十分重要的意義。

立管一般簡(jiǎn)化為梁模型，由于立管的截面性質(zhì)，有效張力及單位長(zhǎng)度質(zhì)量沿長(zhǎng)度方向發(fā)生變化，其控制方程是一個(gè)變系數(shù)的四階偏微分方程，很難進(jìn)行解析求解[4-5]。針對(duì)類似問題，國(guó)內(nèi)外學(xué)者分別采用WKB方法[6]，傅立葉分析[7]，動(dòng)剛度法[8]，有限元法[9]，變量轉(zhuǎn)換[10]等數(shù)值方法來計(jì)算立管服役時(shí)的固有頻率和振型，而目前對(duì)立管懸掛狀態(tài)的固有頻率和振型研究還較少[11-12]，且其中一些數(shù)值算法的假設(shè)對(duì)新的邊界條件并不適用，并不能簡(jiǎn)單加以擴(kuò)展應(yīng)用到立管懸掛狀態(tài)；而微分變換方法[13-14]在求解類似的方程的初邊值問題時(shí)特別有效，本文目的就是將這種方法運(yùn)用到求解立管懸掛狀態(tài)時(shí)的固有頻率和振型中來，并驗(yàn)證了此算法的有效性及收斂速度。最后文中結(jié)合工程實(shí)際進(jìn)行了參數(shù)分析和討論。

1 力學(xué)模型的建立

1.1 控制方程

立管通常運(yùn)用基于小變形假設(shè)的歐拉—貝努利梁模型[15]來模擬，即假設(shè)微元的轉(zhuǎn)動(dòng)量可以忽略，只關(guān)注水平位移；和彎曲變形相比，因剪切力引起的角變形是微階小量，可予以忽略。如圖1所示建立坐標(biāo)系，以頂端為坐標(biāo)原點(diǎn)，x軸為順流向，y軸為橫流向，模型在xoz和yoz平面有相似的振動(dòng)形式和控制方程，本文以xoz平面為例?？紤]一般情況，立管的彎曲剛度、軸向張力及單位長(zhǎng)度質(zhì)量是沿長(zhǎng)度z方向的變化量，則懸掛狀態(tài)立管的自由振動(dòng)微分控制方程為：

為有效單位長(zhǎng)度質(zhì)量。

對(duì)于懸掛狀態(tài)的立管，有效張力Te（z）可表示為：

立管的有效單位長(zhǎng)度質(zhì)量me（z）可表示為：

圖1 立管模型及坐標(biāo)系Fig.1 Coordinate system

式中：mr，mf和ma分別為立管自身的質(zhì)量，立管內(nèi)部流體的質(zhì)量和海水引起的附加質(zhì)量，暫不予考慮流體流動(dòng)引起的慣性力。假設(shè)立管在xoy截面內(nèi)徑和外徑分別為Di和Da，立管密度為ρr，流體密度為ρf，海水密度為ρw，附加質(zhì)量系數(shù)為Ca，則：

懸掛狀態(tài)立管邊界條件為上端固定，下端自由，末端懸掛器具簡(jiǎn)化為集中質(zhì)量，記為mB=WB/g，可分別根據(jù)兩端的水平方向力平衡和力矩平衡，得到的四個(gè)邊界條件如下：

（1）式和（5）、（6）式一起建立了立管懸掛狀態(tài)時(shí)自由振動(dòng)的力學(xué)模型，方程的解通常用分離變量的空間函數(shù)和時(shí)間變量函數(shù)）表示為：

運(yùn)用（7）式可將（1）式和（5）、（6）式轉(zhuǎn)化為常微分方程。

1.2 無量綱化

為了使控制方程更具有一般性，可定義以下變量對(duì)轉(zhuǎn)化后的常微分方程進(jìn)行無量綱化：

式中：ω為立管的圓頻率。根據(jù)（7）式和（8）式，（1）式可寫為：

相應(yīng)地，四個(gè)邊界條件可寫為：

2 微分變換方法的運(yùn)用

2.1 微分變換的定義[9-11]

微分變換還有一些基本性質(zhì)，如線性性質(zhì)，乘積性質(zhì)，微分性質(zhì)等可參見文獻(xiàn)[9-11]。

2.2 應(yīng)用求解

運(yùn)用微分變換和它的基本性質(zhì)，常微分方程式（9）經(jīng)轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程：

（20）式有非平凡解，則需滿足：

（21）式為一個(gè)關(guān)于λ的高次代數(shù)方程，可用數(shù)值的方法求出λ。結(jié)合（8）式，則立管的頻率為：

求出立管的頻率后，就很容易得到立管振型。先假定χ0=1，把求得的λ代入（20）式，可求得χ1，χ2和χ3；有了χ0—χ3，便可利用遞推關(guān)系（15）式依次求出Φ（k）；再用微分逆變換（13）式即可求出振型，并可根據(jù)（23）式對(duì)振型進(jìn)行歸一化。

3 算 例

3.1 立管的基本參數(shù)

以文獻(xiàn)[8]中常用的鉆井隔水立管起下水作業(yè)為例進(jìn)行數(shù)值分析，假設(shè)截面和材料性質(zhì)在長(zhǎng)度方向保持一致，只考慮有效張力的變化，立管的外徑Do=0.558 8 m，內(nèi)徑Di=0.508 0 m，密度為ρr=7 850 kg/m3，抗彎剛度EI=3.186 0×108N·m2，表觀重力w=3 433.5 N/m，內(nèi)部流體密度為ρf=1 200 kg/m3，外部海水密度為ρw=1 025 kg/m3，附加質(zhì)量系數(shù)為Ca=1，末端懸掛器具的質(zhì)量mB=8.4×104kg。根據(jù)這些參數(shù)，則其控制方程式（9）可寫為：

結(jié)合邊界條件（16）-（19）式，利用（20）-（23）式便可求出立管的固有頻率和振型。

3.2 結(jié)果與分析

3.2.1 算法驗(yàn)證與收斂速度

首先通過與有限元結(jié)果的對(duì)比來驗(yàn)證此算法的有效性。以立管下水長(zhǎng)度L為100 m即σ=36.641 2，η=10.776 8，εm=1.013 6時(shí)為例，表1給出了兩種不同方法的計(jì)算結(jié)果，從表中可以看出兩種方法的計(jì)算結(jié)果吻合；而有限元的計(jì)算結(jié)果易受劃分單元數(shù)目影響，而微分變換方法的結(jié)果在理論上接近精確解，且便于進(jìn)行參數(shù)分析。

微分變換方法是一種迭代算法，計(jì)算的收斂速度決定了迭代的次數(shù)，也就是（14）式中所需的展開項(xiàng)數(shù)，取立管下水長(zhǎng)度L為100 m，收斂精度為0.000 1，考察其收斂速度。圖2給出了取不同的展開項(xiàng)時(shí)前四階頻率的計(jì)算結(jié)果，圖 2（a）中一階頻率在取25項(xiàng)后收斂值為0.330 6 rad/s，圖 2（b）中二階頻率取27項(xiàng)后收斂值為1.591 6 rad/s，圖2（c）中三階頻率取33項(xiàng)后收斂值為3.895 9 rad/s，圖2（d）中四階頻率取39項(xiàng)后收斂值為7.337 7 rad/s。從中可以推斷，計(jì)算更高階頻率需要更多的展開項(xiàng)，計(jì)算時(shí)間也相應(yīng)增長(zhǎng)。

圖3考察了立管在不同長(zhǎng)度時(shí)計(jì)算前四階頻率所需最小展開項(xiàng)的變化情況，從圖中可以看出計(jì)算一階頻率所需的展開項(xiàng)與立管的長(zhǎng)度大致呈線性關(guān)系，隨著長(zhǎng)度的增加，所需最小展開項(xiàng)從L=20 m時(shí)的10項(xiàng)增大到L=200 m時(shí)的47項(xiàng)；二階至四階頻率在長(zhǎng)度L＞80 m后，所需最小展開項(xiàng)也呈現(xiàn)線性增大的趨勢(shì)。圖4給出了計(jì)算前四階頻率所需時(shí)間與長(zhǎng)度之間的變化關(guān)系，所用計(jì)算機(jī)處理器主頻為2.4 GHz。長(zhǎng)度為20 m時(shí)所需時(shí)間為27.863 1 s，長(zhǎng)度為200 m時(shí)所需時(shí)間增大為152.224 5 s，從中可以看出立管長(zhǎng)度增大時(shí)，因所需展開項(xiàng)增多，耗費(fèi)機(jī)時(shí)增加，且增長(zhǎng)速度越來越快。

圖3 最小展開項(xiàng)與長(zhǎng)度之間的變化關(guān)系Fig.3 Relationship between least number of expansion terms and riser length

圖4 計(jì)算時(shí)間與長(zhǎng)度之間的變化關(guān)系Fig.4 Relationship between computing time and riser length

圖5 兩種工況下立管的前兩階頻率Fig.5 First two modal frequencies of risers under two different conditions

3.2.2 參數(shù)分析

通過兩種工況比較末端懸掛器具對(duì)立管模態(tài)的影響。工況1：立管末端懸掛器具下水，即σ=（wL+工況2：未懸掛器具下水，即圖 5給出了這兩種工況下立管的前兩階頻率隨長(zhǎng)度的變化情況。從橫向?qū)Ρ葋砜?，隨著立管長(zhǎng)度的增大，兩種工況下立管的固有頻率都呈現(xiàn)降低的趨勢(shì)?？v向?qū)Ρ瓤梢园l(fā)現(xiàn)，隨著長(zhǎng)度的增大，工況1的計(jì)算結(jié)果出現(xiàn)先小于工況2，然后等于工況2，再大于工況2的現(xiàn)象。出現(xiàn)這種現(xiàn)象是因?yàn)槟┒藨覓炱骶邔?duì)立管性質(zhì)有兩方面的影響，一方面增加立管的軸向張力，相當(dāng)于增加立管剛度；另一方面又增加了立管的質(zhì)量。在立管長(zhǎng)度較小時(shí)，增加質(zhì)量的因素起主導(dǎo)作用，引起頻率減?。婚L(zhǎng)度增大后，增加剛度的因素起主導(dǎo)作用，引起頻率增大。

圖6對(duì)比了L=100 m時(shí)兩種工況下的歸一化振型，從圖中可以看出，兩種工況下的振型形狀相似，懸掛器具后，振型形狀整體向下偏移，對(duì)上半段影響尚不明顯，但對(duì)下半段有較大影響，使高階振型中波腹點(diǎn)位置向下移動(dòng)，且曲率減小。此外，工況1時(shí)立管振型的末端更加靠近中軸線位置，這是因?yàn)槟┒说募匈|(zhì)量相當(dāng)于增加了約束，限制了立管尾段的位移。

圖6 兩種工況下的前四階振型Fig.6 First four mode shapes of riser under two different conditions

3.2.3 共振區(qū)域

在起下水作業(yè)過程中，立管從海面浮體上逐漸下放至海底。在此過程中，立管在位于水平面附近的飛濺區(qū)承受較大的周期性波浪荷載，隨著入水長(zhǎng)度增加，若立管的固有頻率接近波浪的頻率時(shí)就會(huì)引起共振現(xiàn)象，導(dǎo)致立管頂部因彎矩過大而失效。波浪以常用的P-M譜為例，討論立管起下水過程中可能的共振區(qū)域。圖7給出了P-M譜中有義波高Hs為3 m時(shí)的波浪譜曲線，其中95%的能量集中在紅色區(qū)域和ωH可根據(jù)文獻(xiàn)[16]求得，把此區(qū)間當(dāng)作波浪激勵(lì)頻率，對(duì)比立管的固有頻率，就可以得到共振區(qū)域。

針對(duì)工況1，立管在3種不同海況條件下的共振區(qū)域如表 2所示，從表中可以看出，在飛濺區(qū)易發(fā)生一階和二階共振。在有義波高為3 m的時(shí)候，立管的一階共振發(fā)生在入水長(zhǎng)度為15-50 m處，二階共振發(fā)生在85-270 m處；在有義波高為4 m的時(shí)候，立管的一階共振發(fā)生在水下18-60 m處，二階共振發(fā)生在95-325 m；在有義波高為5 m的時(shí)候，立管的一階共振發(fā)生在水下20-70 m處，二階共振發(fā)生在105-380 m。從表中也可以看出隨著有義波高的增大以及波浪的激勵(lì)頻率上限和下限分別降低，對(duì)應(yīng)立管的共振區(qū)域有所增大。

圖7 P-M譜Fig.7 P-M spectrum

表2 不同海況條件下的共振區(qū)域Tab.2 Resonance zone in different sea states

4 結(jié) 論

本文運(yùn)用微分變換方法求解立管自由懸掛狀態(tài)的固有頻率和振型,以常用的鉆井隔水立管起下水作業(yè)為例，通過數(shù)值算例可得到如下結(jié)論：

（1）微分變換的方法可以用來計(jì)算立管的固有頻率，取得收斂結(jié)果，收斂速度隨著立管長(zhǎng)度的增大大致呈線性增長(zhǎng)的趨勢(shì)。

（2）鉆井隔水立管起下水作業(yè)時(shí)，末端的懸掛器具在淺水時(shí)減小了立管固有頻率，隨著水深增大又增大了立管的固有頻率；末端的懸掛質(zhì)量同時(shí)影響立管下半段的振型，使末端更靠近平衡位置。

（3）立管攜帶器具起下水過程中，在飛濺區(qū)易發(fā)生一階和二階共振，共振區(qū)域隨有義波高的增大而增大。

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Natural frequencies and mode shapes of free-hanging risers

LEI Song1,2,ZHENG Xiang-yuan1,ZHANG Wen-shou2,LIN Jia-hao2,YUE Qian-jin2
(1 The Division of Ocean Science and Technology,Tsinghua University Shenzhen Graduate School, Shenzhen 518055,China;2 Faculty of Vehicle Engineering and Mechanics,Dalian University of Technology,Dalian 116023,China)

Free-hanging risers are simulated as Euler-Bernoulli beams with fixed-free boundary conditions. Considering varying flexural rigidities,effective tensions and mass density,free vibration of the riser is expressed in form of fourth order partial differential equation with variable coefficient whose analytic solution is not straightforward.The natural frequencies and mode shapes are obtained by using differential transformation method.The efficiency of this method and its good convergence rate are validated by numerical examples.Furthermore,the influence of a lumped mass at riser tip is discussed.Resonance zones,which are important during the installation of risers at the wave splash zone,are illustrated.

differential transformation;effective tension;natural frequency;mode shape

O175.2

A

10.3969/j.issn.1007-7294.2015.10.012

1007-7294（2015）10-1267-08

2015-04-29

中國(guó)博士后科學(xué)基金（2015M571043）；國(guó)家創(chuàng)新研究群體科學(xué)基金（5092100）

雷 松（1982－），男，博士后，E-mail:leisong1982@sz.tsinghua.edu.cn；鄭向遠(yuǎn)（1975－），男，研究員。