張顯濤，楊建民，肖龍飛

（上海交通大學(xué)海洋工程國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海200240）

球體波能轉(zhuǎn)換裝置捕獲能量的理論研究

張顯濤，楊建民，肖龍飛

（上海交通大學(xué)海洋工程國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海200240）

球體波能轉(zhuǎn)換裝置在波浪的激勵(lì)下可以同時(shí)在水平和豎直兩個(gè)模式振蕩。基于線(xiàn)性微幅波浪和勢(shì)流理論，將波浪與球體相互作用簡(jiǎn)化為球體固定不動(dòng)，波浪繞過(guò)球體和球體在靜止流體中運(yùn)動(dòng)。線(xiàn)性疊加以后得到總的速度勢(shì)，計(jì)算出球體波能轉(zhuǎn)換裝置的平均功率和能量俘獲寬度因子的解析表達(dá)式。理論研究表明：裝置與波浪運(yùn)動(dòng)的相位差是影響波能的最重要的參數(shù)，最優(yōu)相位差為-π/2，并且給出了最優(yōu)相位差調(diào)節(jié)的理論表達(dá)式。另外，對(duì)波長(zhǎng)、波幅、球體半徑、水深和球心距靜水面的距離等因素也進(jìn)行了分析。

球體波能轉(zhuǎn)換裝置；理論研究；平均功率；能量俘獲寬度因子；影響因素

0 引言

相對(duì)于風(fēng)能，波能蘊(yùn)含更高的能量密度，是很有前景的新型能源。但是，由于海洋環(huán)境的復(fù)雜性，通常認(rèn)為波浪能的利用比風(fēng)能晚了二十年，而且擴(kuò)張性發(fā)展會(huì)在2030年左右[1]。

波能發(fā)電裝置據(jù)其工作原理可分為振蕩水柱式，振蕩浮體式和收縮坡道式三種，F(xiàn)alcao[2]對(duì)此有比較詳細(xì)的介紹。振蕩浮體式是研究較多的一種裝置，波能的捕獲是利用裝置的振蕩。浮子式波能轉(zhuǎn)換裝置主要是利用浮子的垂蕩運(yùn)動(dòng)。近岸振蕩浮體波能轉(zhuǎn)換裝置是利用橫蕩運(yùn)動(dòng)。本文研究的球體波能轉(zhuǎn)換裝置充分利用其與波浪相互作用的橫蕩與垂蕩運(yùn)動(dòng)，從而可以獲得更高的能量。振蕩浮體式波能轉(zhuǎn)換裝置與波浪相互作用研究的方法通常是數(shù)值計(jì)算和模型試驗(yàn)。Li Ye和Yu Yi-Hsiang[3]總結(jié)了數(shù)值計(jì)算的方法有格林函數(shù)法，基于勢(shì)流理論的Morison方程求解粘性力，以及基于CFD的求解Navier-Stokes方程的方法。Babarit等人[4]對(duì)很多振蕩浮體式波能轉(zhuǎn)換裝置進(jìn)行了數(shù)值計(jì)算，以期給數(shù)值計(jì)算提供一個(gè)參考標(biāo)準(zhǔn)。Orer和Ozdamar[5]對(duì)板式波能轉(zhuǎn)換裝置進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)探究。Flocard等[6-7]對(duì)波浪中垂直柱體的縱搖運(yùn)動(dòng)的波能捕獲進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)探究。

本文采用與數(shù)值計(jì)算和實(shí)驗(yàn)探究不同的方法，即對(duì)球體波能轉(zhuǎn)換裝置采用理論分析的解析方法，研究了裝置在波浪作用下，同時(shí)發(fā)生橫蕩和垂蕩兩種運(yùn)動(dòng)模式下的波能捕獲情況，推導(dǎo)了球體捕獲的平均功率和波能俘獲寬度因子，分析相對(duì)運(yùn)動(dòng)相位偏差、波長(zhǎng)、波幅、水深、球體半徑等參數(shù)對(duì)捕獲能量的影響。

1 波能轉(zhuǎn)換裝置描述

本文研究的球體波浪能轉(zhuǎn)換裝置位于水面以下，可以同時(shí)在水平和垂向振蕩，通過(guò)液壓泵將機(jī)械能進(jìn)一步轉(zhuǎn)化成電能。球體波能轉(zhuǎn)換裝置與波浪的相互作用如圖1所示。圖中標(biāo)出了球體的位置和尺寸。球體的半徑為R；球心位于靜水面以下，距離為h；水深為H；規(guī)則波的幅值為A，波長(zhǎng)為λ。球體在波浪作用下的水平速度為U（t），垂向速度為V（t）。本文的目的是基于線(xiàn)性波浪理論，計(jì)算球體上的水平力FH（t）和垂向力FV（t），然后計(jì)算平均捕獲能量P和能量俘獲寬度因子ζcapture。忽略粘性力的作用，粘性力作為一種耗散力，認(rèn)為本文計(jì)算的結(jié)果作為能量捕獲的一個(gè)上限，粘性力的作用會(huì)使能量捕獲有所減少。

2 波能轉(zhuǎn)換裝置與波浪的相互作用

2.1 線(xiàn)性波浪和勢(shì)流理論

當(dāng)波浪的幅值與波長(zhǎng)之比A/λ＜＜1時(shí)，可以認(rèn)為波浪是線(xiàn)性的。線(xiàn)性微幅波浪（Airy波）假設(shè)下，沿x方向傳播的行進(jìn)波在有限水深的速度勢(shì)[8]為

其中：φ是流體的速度勢(shì)，A是波幅，g是重力加速度，w是波浪的圓頻率，H為水深，y是距離靜水面的距離。k是波數(shù)，定義為k=2π/λ。

勢(shì)流理論是在忽略流體粘性的情況下得到了有關(guān)流體運(yùn)動(dòng)和動(dòng)力的理論。在理想流體的假設(shè)下，存在速度勢(shì)的拉普拉斯方程，

令u為水平速度，v為垂向速度，則速度勢(shì)滿(mǎn)足，

在球坐標(biāo)系中，不妨設(shè)速度勢(shì)為φ（r,θ,β），則有

2.2 球體與波浪相互作用下流場(chǎng)的總的速度勢(shì)

波浪與物體相互作用分為兩個(gè)子問(wèn)題[9]，物體在波浪中靜止不動(dòng)，入射波對(duì)物體發(fā)生作用，這部分的速度勢(shì)分別是入射勢(shì)和繞射勢(shì)；物體在靜水中以入射波浪的頻率發(fā)生振蕩，沒(méi)有入射波，這部分的速度勢(shì)稱(chēng)為輻射勢(shì)。兩種情況下的三種速度勢(shì)線(xiàn)性疊加得到物體與波浪相互作用的流體總的速度勢(shì)。

本文基于這種處理方法，對(duì)球體波能轉(zhuǎn)換裝置與波浪的相互作用簡(jiǎn)化，一是假定球體不動(dòng)，水平和垂直來(lái)流繞過(guò)球體；二是假定球體在靜水中做水平和垂直運(yùn)動(dòng)。Newman[8]運(yùn)用分離變量法對(duì)來(lái)流繞過(guò)球體的速度勢(shì)進(jìn)行求解，給出以速度U的來(lái)流繞過(guò)固定的半徑R的球體的速度勢(shì)φ為

半徑為R的球體在靜水中以速度U做運(yùn)動(dòng)，其流場(chǎng)的速度勢(shì)為

首先假定球體固定不動(dòng)，分別有速度為u的水平來(lái)流和速度為v的垂直來(lái)流繞過(guò)球體波能轉(zhuǎn)換裝置，依據(jù)（6）式可得速度勢(shì)

其中：當(dāng)球體的尺寸相對(duì)于波長(zhǎng)而言是一個(gè)小量時(shí)，設(shè)球體運(yùn)動(dòng)的幅值與水質(zhì)點(diǎn)響應(yīng)方向上運(yùn)動(dòng)的幅值相等，但是存在一個(gè)相位差φ，球體運(yùn)動(dòng)的水平和垂向速度分別為：

將兩種情況下的速度勢(shì)進(jìn)行線(xiàn)性疊加可以得到，球體波能轉(zhuǎn)換裝置與波浪相互作用下流場(chǎng)總的速度勢(shì)

可以驗(yàn)證流場(chǎng)中總的速度勢(shì)是滿(mǎn)足球體坐標(biāo)系下的拉普拉斯方程的，即φtotal滿(mǎn)足

2.3 波浪對(duì)球體波能轉(zhuǎn)換裝置的作用力

非定常場(chǎng)中表征流場(chǎng)動(dòng)力的伯努利方程為

其中：C（t）是與時(shí)間有關(guān)的常量，不妨將C（t）放到速度勢(shì)φ中得到齊次的伯努利方程：

依據(jù)（17）式，可以得到

依據(jù)（15）式，可以得到

球心的坐標(biāo)為（0，-h），球體的半徑為R，以球心上的速度值來(lái)近似表示整個(gè)球面上的速度值，則有

綜上可得，作用在波能轉(zhuǎn)換裝置的總水平力為FH，總垂向力為FV：

2.4 球體波能轉(zhuǎn)換裝置在波浪中的平均捕獲能量和能量俘獲寬度因子

依據(jù)（26）式和（27）式可以計(jì)算球體波能轉(zhuǎn)換裝置在一個(gè)波浪周期內(nèi)的平均捕獲能量為

Newman[8]給出了單位波峰長(zhǎng)度下，單位時(shí)間內(nèi)，波浪的傳遞功率為

其中：Vg為波群速，VP為波浪的相速度，

波能轉(zhuǎn)換裝置的能量俘獲寬度因子ζcapture定義為轉(zhuǎn)換裝置的捕獲能量與波浪的傳遞功率和轉(zhuǎn)換裝置在垂直波浪傳播方向上的尺度之積的比值[10-11]，即

這里假定球體的水平方向的運(yùn)動(dòng)速度幅值Umax，垂向的運(yùn)動(dòng)速度幅值Vmax分別與水質(zhì)點(diǎn)的水平方向的速度幅值和垂向的速度幅值相等，即：

當(dāng)水深H→∞時(shí)，有能量俘獲寬度因子的表達(dá)式

3 波能轉(zhuǎn)換裝置的平均捕獲能量和能量俘獲寬度因子的影響因素分析

3.1 波能轉(zhuǎn)換裝置與波浪之間運(yùn)動(dòng)的相位偏差對(duì)能量俘獲寬度因子的影響

波能轉(zhuǎn)換裝置與波浪之間的運(yùn)動(dòng)相位差是影響平均捕獲波能和波能俘獲寬度因子最重要的因素。在有限水深的情況下，（34）式表明當(dāng)相位偏差φ為時(shí)，能量俘獲寬度因子達(dá)到最大值，即最優(yōu)相位差為此時(shí)球體運(yùn)動(dòng)與所受的波浪力同相位，這時(shí)功率最大。而且波能轉(zhuǎn)換裝置的捕獲能量的相位差的有效區(qū)間為（-π，0），在這個(gè)區(qū)間內(nèi)，能量俘獲寬度因子是正值，波能轉(zhuǎn)換裝置的運(yùn)動(dòng)是比水質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)超前的。當(dāng)相位差位于區(qū)間（0，π）時(shí)，波能轉(zhuǎn)換裝置的運(yùn)動(dòng)比水質(zhì)點(diǎn)落后，這時(shí)捕獲的能量是負(fù)值，是無(wú)效區(qū)間。

為了得到最優(yōu)相位差，對(duì)波能轉(zhuǎn)換裝置的運(yùn)動(dòng)控制是必要的[12]。在初始布置球體波能轉(zhuǎn)換裝置時(shí)，控制其相位差的初始值為，其運(yùn)動(dòng)的圓頻率是w0，在實(shí)際情況下，外界波浪的頻率發(fā)生變化變成w（t），那么通過(guò)直接或間接對(duì)波浪周期的測(cè)量，利用負(fù)反饋，依據(jù)下式進(jìn)行相位差的實(shí)時(shí)調(diào)節(jié)：

這樣，可以保證波能轉(zhuǎn)換裝置的運(yùn)動(dòng)始終保持一個(gè)最優(yōu)相位差，獲得最大的能量捕獲。在具體的實(shí)現(xiàn)過(guò)程中，因?yàn)橄辔徽{(diào)節(jié)需要外部能量的輸入，即存在能耗。因此要綜合權(quán)衡相位調(diào)節(jié)后的最大捕獲能量與調(diào)節(jié)需要的輸入能量，使凈捕獲能量達(dá)到一個(gè)最優(yōu)值。

3.2 其他因素對(duì)能量俘獲寬度因子的影響

在有限水深的情況下，依據(jù)（34）式，其他影響能量俘獲寬度因子的因素主要有波數(shù)k，球體半徑R，水深H，球體球心與靜水面距離h等四個(gè)因素。下面將四個(gè)影響參數(shù)進(jìn)行無(wú)量綱化，即可以得到三個(gè)影響能量俘獲寬度的無(wú)量綱因素，

圖2 水深對(duì)能量俘獲寬度的影響，在kR=0.314，kh=0.314Fig.2 The influence of water depth on the ratio of power capture width

圖3 圓柱半徑R和球心距離靜水面距離h對(duì)能量捕獲寬度的影響Fig.3 The influence of sphere radius R and distance h on the ratio of power capture width

取波長(zhǎng)λ=100 m，球體半徑R=5 m，球心與靜水面距離為h=5 m，在最優(yōu)相位差時(shí)，得到水深對(duì)能量俘獲寬度因子的影響如圖2所示，可以發(fā)現(xiàn)，水深增加，能量俘獲寬度因子ζcapture增大，但增長(zhǎng)變慢，當(dāng)kh≥4.5時(shí)，能量俘獲寬度因子ζcapture逐漸趨于一個(gè)穩(wěn)定值。水平線(xiàn)代表應(yīng)用（36）式計(jì)算得到的結(jié)果。一般來(lái)講，水深越大，能量俘獲寬度越大，但是當(dāng)水深大致超過(guò)波長(zhǎng)的一半時(shí)，水深對(duì)能量俘獲大小的影響可以忽略。因此在實(shí)際布置波能轉(zhuǎn)換裝置時(shí)，要選擇一個(gè)適當(dāng)?shù)乃?，以追求能量獲取較大和維護(hù)控制經(jīng)濟(jì)可行的一個(gè)較優(yōu)的水深選擇。下面假設(shè)在深水情況下，在最優(yōu)相位差時(shí)，討論球體的半徑R和球心距靜水面的距離h對(duì)能量捕獲寬度的影響。由圖3，球體波能轉(zhuǎn)換器半徑R的增大，能量捕獲寬度因子ζcapture增大，開(kāi)始增加較慢，后來(lái)增加較快。在實(shí)際海況下，波能轉(zhuǎn)換裝置的尺寸選取還要考慮結(jié)構(gòu)強(qiáng)度，共振區(qū)間和維護(hù)的成本等。因此，實(shí)際選取尺寸時(shí)，尺寸并非越大越好。球體球心距離靜水面距離增加，能量捕獲寬度因子減小，在距離較小時(shí)，能量捕獲的減小較慢，但隨著距離的增加，能量捕獲寬度因子會(huì)出現(xiàn)較大幅度的減小，如圖3中kh=0.754 0時(shí)的曲線(xiàn)明顯偏離了其他幾組曲線(xiàn)。所以目前研究較多的浮體式波能發(fā)電裝置基本都是浮在水面上的。在水面以下的裝置雖然能量的捕獲變小，同時(shí)可減小外界波浪力對(duì)結(jié)構(gòu)破壞作用，但選擇時(shí)要綜合考慮能量捕獲和結(jié)構(gòu)安全性與維護(hù)成本。

從（34）式和（35）式可以看到，波浪幅值對(duì)于能量俘獲寬度因子沒(méi)有影響，但波浪幅值的平方對(duì)應(yīng)能量的大小[13]，因此波浪的幅值對(duì)于波能轉(zhuǎn)換裝置捕獲平均能量有較大的影響，這點(diǎn)可以從（28）式看出。波能轉(zhuǎn)換裝置捕獲到的平均能量是和波幅的平方成比例的。

4 結(jié)論

本文在線(xiàn)性微幅波浪和勢(shì)流理論的假設(shè)下，推導(dǎo)了球體波能轉(zhuǎn)換裝置在水平和豎直兩個(gè)模式振蕩下平均捕獲能量和能量俘獲寬度因子解析表達(dá)式，基于推導(dǎo)結(jié)果對(duì)影響波能裝置能量俘獲寬度因子的因素進(jìn)行討論，獲得結(jié)論總結(jié)如下：

（1）推導(dǎo)了球體波能捕獲裝置在有限水深和無(wú)限水深中能量俘獲寬度因子的理論表達(dá)式，并給出了球體運(yùn)動(dòng)與波浪的水質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)最優(yōu)相位差的調(diào)節(jié)的理論公式。

（2）水深增加，能量俘獲寬度因子增大，但是增長(zhǎng)的速度逐漸變慢，當(dāng)水深超過(guò)波長(zhǎng)的一半時(shí)，水深對(duì)能量俘獲大小的影響可以忽略。

（3）隨球體波能轉(zhuǎn)換裝置半徑的增大，能量捕獲寬度因子也增大，剛開(kāi)始增加得比較慢，后來(lái)增加得較快。球體距離水面的距離的增加會(huì)導(dǎo)致能量俘獲寬度因子的減小，實(shí)際設(shè)計(jì)時(shí)，應(yīng)選取浮在水面上的波能發(fā)電裝置。

（4）波幅的大小對(duì)于能量俘獲寬度因子沒(méi)有影響，但是對(duì)裝置捕獲的能量大小有較大的影響。

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Analytical study of power capture of spherical wave energy converts in two modes

ZHANG Xian-tao,YANG Jian-min,XIAO Long-fei
(State Key Laboratory of Ocean Engineering,Shanghai Jiao Tong University,Shanghai 200240,China)

A floating spherical wave energy converter submerged under the water surface is studied.The converter can oscillate in both horizontal and vertical modes induced by waves and transfer mechanical energy forward by hydraulic cylinders.Based on the linear potential theory of airy waves,the interaction of the waves and the wave energy converters can be divided into two parts.One is flow past a fixed spherical body. The other is a spherical body moving in fluid at rest.By linear superposition of the two parts of velocity potential,the final velocity potential is achieved.Then the time-averaged power capture and power capture width ratio is calculated.Different parameters that affect the efficiency of wave energy harvesting are analyzed.The optimal phase difference between the motion of converters and water particles is obtained with a value of-π/2.And phase control is needed to keep the optimal phase difference for different waves.The radius of the spherical body,the wave length and wave amplitude and water depth,as well as the distance of the center of the wave energy converter from the surface,have effects on the efficiency of power capture.

spherical wave energy converter;analytical study;time-averaged power; power capture width ratio;influence factor

P751

A

10.3969/j.issn.1007-7294.2015.04.001

1007-7294（2015）04-0349-07

2014-10-26

張顯濤（1991-），男，碩士生，E-mail:zhxter@outlook.com；楊建民（1958-），男，教授，博士生導(dǎo)師。