譚吉玉，朱傳喜，張小芝，朱 麗

（南昌大學(xué) 理學(xué)院管理科學(xué)與工程系，南昌330031）

0 引言

區(qū)間數(shù)是Moore[1]在20世紀(jì)60年代提出來(lái)的，為描述不確定性問(wèn)題提供了很大的方便。人們通常使用隨機(jī)或者模糊分析方法描述不確定性問(wèn)題，但無(wú)論是隨機(jī)過(guò)程的分布函數(shù)，還是模糊數(shù)學(xué)的隸屬度函數(shù)都是不容易確定的。事實(shí)上，用區(qū)間數(shù)描述復(fù)雜的不確定性問(wèn)題，更符合人們模糊的思維習(xí)慣。在區(qū)間數(shù)基礎(chǔ)上建立的區(qū)間運(yùn)算[2]不僅能處理參與計(jì)算的量的不精確數(shù)據(jù)，而且能自動(dòng)跟蹤截?cái)嗪蜕崛胝`差，同時(shí)具有計(jì)算簡(jiǎn)單，需要數(shù)據(jù)量少等優(yōu)點(diǎn)。不確定性問(wèn)題的區(qū)間分析方法目前成為工程技術(shù)領(lǐng)域、管理決策領(lǐng)域及理論研究的熱點(diǎn)[3]。

1 基于TOPSIS的區(qū)間數(shù)排序法

1.1 區(qū)間數(shù)的概念及其運(yùn)算法則

1.2 基于TOPSIS的區(qū)間數(shù)排序原理

TOPSIS是一種逼近于理想解的排序方法。其基本原理，是通過(guò)檢測(cè)評(píng)價(jià)對(duì)象與最優(yōu)解、最劣解的距離來(lái)進(jìn)行排序，若評(píng)價(jià)對(duì)象最靠近最優(yōu)解同時(shí)又最遠(yuǎn)離最劣解，則為最好；否則為最差。其中最優(yōu)解（正理想解）的各指標(biāo)值都達(dá)到各評(píng)價(jià)指標(biāo)的最優(yōu)值；最劣解（負(fù)理想解）的各指標(biāo)值都達(dá)到各評(píng)價(jià)指標(biāo)的最差值。本文將TOPSIS的原理引入到區(qū)間數(shù)的排序問(wèn)題中，為此，需要建立有限個(gè)區(qū)間數(shù)的正理想?yún)^(qū)間數(shù)和負(fù)理想?yún)^(qū)間數(shù)的概念。又因?yàn)樵诙鄬傩詻Q策問(wèn)題中，為了消除不同物理量綱對(duì)決策結(jié)果的影響，都需要將決策矩陣進(jìn)行規(guī)范化處理，因此，本文所考慮的區(qū)間數(shù)均包含于[0，1]。

2 屬性權(quán)重和屬性值都為區(qū)間數(shù)的多屬性決策方法

2.1 決策問(wèn)題

2.2 決策方法及步驟

Step5:按各方案綜合屬性值的相對(duì)貼近度Si的大小對(duì)備選方案進(jìn)行排序和擇優(yōu)

3 實(shí)例分析

用文獻(xiàn)[9]中的部分?jǐn)?shù)據(jù)來(lái)說(shuō)明本文提出的方法，考慮一個(gè)大學(xué)的學(xué)院評(píng)估問(wèn)題。某大學(xué)將采用教學(xué)(U1)，科研(U2)和服務(wù)(U3)為評(píng)估屬性，對(duì)5個(gè)學(xué)院(Ai，i=1，2，3，4，5)進(jìn)行評(píng)估。屬性權(quán)重信息為：

Step2:確定權(quán)重

由式(1)和式(2)得區(qū)間型權(quán)重的正理想?yún)^(qū)間數(shù)[0.3755，，1]，負(fù)理想?yún)^(qū)間數(shù)[0，0.3009]，由式(4)算得相對(duì)貼近度：C1=0.3541，C2=0.33037，C3=0.3254 ，由式(7)對(duì)屬性區(qū)間型權(quán)重的相對(duì)貼近度進(jìn)行歸一化得實(shí)數(shù)型屬性權(quán)重：w1=0.3602，w2=0.3089，w3=0.3309。

Step3:計(jì)算各方案的加權(quán)綜合屬性值

由式(8)計(jì)算各方案的加權(quán)綜合屬性值：

Step4:計(jì)算各方案加權(quán)綜合屬性值的相對(duì)貼近度

表1 五個(gè)學(xué)院的計(jì)算結(jié)果

Step5:按Si的大小對(duì)五個(gè)學(xué)院進(jìn)行排序

因此，這 5個(gè)學(xué)院的綜合排序?yàn)椋篈2＞A3＞A5＞A1＞A4，A2學(xué)院的綜合排名最高，此排序結(jié)果與原文獻(xiàn)中的排序結(jié)果完全一致，本文中的方法簡(jiǎn)潔很多。

4 結(jié)論

本文基于傳統(tǒng)的TOPSIS思想，引入了一個(gè)正理想?yún)^(qū)間數(shù)和一個(gè)負(fù)理想?yún)^(qū)間數(shù)，通過(guò)計(jì)算每一個(gè)區(qū)間數(shù)的相對(duì)貼近度，根據(jù)區(qū)間數(shù)相對(duì)貼近度的大小對(duì)區(qū)間數(shù)進(jìn)行排序。該方法彌補(bǔ)了以前區(qū)間數(shù)排序法中的許多缺陷。主要有以下四點(diǎn)：①不需要對(duì)區(qū)間數(shù)進(jìn)行兩兩比較，從而無(wú)需考慮判斷矩陣的一致性問(wèn)題；②能夠區(qū)分中心數(shù)相同的區(qū)間數(shù)，因而充分考慮了變量取值的分散性；③排序公式簡(jiǎn)潔、唯一、適用性強(qiáng)，無(wú)需根據(jù)區(qū)間數(shù)端點(diǎn)的具體位置分情況討論；④每一個(gè)區(qū)間數(shù)通過(guò)相對(duì)貼近度轉(zhuǎn)化成了一個(gè)實(shí)數(shù)，因此可以說(shuō)建立起了區(qū)間數(shù)比較關(guān)系的一個(gè)完備劃分。

[1]Moore R E.Interval Analysis[M].Englewood Cliffs,N J：Prentice Hall,1966.

[2]Moore R E.Methods and Applications of Interval Analysis[M].Philadelphia,PA：SIAM,1979.

[3]孫海龍,姚衛(wèi)星.區(qū)間數(shù)排序方法評(píng)述[J].系統(tǒng)工程學(xué)報(bào),2010,25(3).

[4]Nakahara Y,Sasaki M,Gen M.On the Linear Programming Problems with Interval Coefficients[J].International Journal of Computer Industrial Engineering.1992,23(1/4).

[5]徐澤水,達(dá)慶利.區(qū)間數(shù)排序的可能度法及其應(yīng)用[J].系統(tǒng)工程學(xué)報(bào),2003,18(1).

[6]劉健,劉思峰.屬性值為區(qū)間數(shù)的多屬性決策對(duì)象排序研究[J].中國(guó)管理科學(xué),2010,18(3).

[7]徐改麗,呂躍進(jìn).不確定性多屬性決策中區(qū)間數(shù)排序的一種新方法[J].統(tǒng)計(jì)與決策,2008,19(3).

[8]Cheng C H,Goh C H,Tung Y C A.A Revised Weighted Sum Decision Model for Robot Selection[J].Computers&Industrial Engineering,1996,30(2).

[9]Bryson N,Mobolurin A.An Action Learning Evaluation Procedure for Multiple Criteria Decision Making Problems[J].European Journal of Operational Research,1996,96(3).