金立斌，戴曉文，石 磊

（1.中國人民大學(xué) 統(tǒng)計學(xué)院，北京 100872；2.云南財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計與數(shù)學(xué)學(xué)院，昆明 650221）

0 引言

1 模型介紹及得分檢驗

1.1 混合空間自回歸模型

其中，y為n×1的因變量，ρ為空間自回歸系數(shù)，W為n×n的空間權(quán)重矩陣，X，β分別為設(shè)計矩陣及相應(yīng)的參數(shù)向量。若In-ρW 可逆，其中In為n階單位陣，若略去前面的常數(shù)項，模型的對數(shù)似然函數(shù)為

由于參數(shù)的ML估計無法得到明顯的運(yùn)算式，故只能通過迭代求解。

1.2 異常值模型

為識別混合空間自回歸模型中的單個異常值問題，我們同時考慮均值滑動模型和方差加權(quán)模型。并最終對兩種模型的異常值檢驗的結(jié)果加以對比。

對于混合空間自回歸模型，加入均值擾動的異常值模型如下：

ω表示第i個點的方差權(quán)重，若ω顯著不等于1，則說明第i個數(shù)據(jù)點有不同于其他點的方差，因而為異常點，該異常值的檢驗問題可以歸結(jié)為如下假設(shè)檢驗問題：

1.3 得分檢驗

2 SAR模型異常值的得分檢驗

對于SAR模型的均值滑動模型和方差加權(quán)模型，由于其參數(shù)的極大似然估計一般只能通過迭代求出。因此，一種常用的方法就是采用Score檢驗。我們首先考慮均值滑動模型，此時，對數(shù)似然函數(shù)為

高強(qiáng)度鋼筋的推廣應(yīng)用，既有利于推動鋼鐵行業(yè)的轉(zhuǎn)型升級和產(chǎn)品結(jié)構(gòu)調(diào)整，又能促進(jìn)我國各類建筑和基礎(chǔ)設(shè)施的質(zhì)量升級，推動建筑業(yè)的技術(shù)進(jìn)步和裝備水平的提高，具有顯著的經(jīng)濟(jì)效益和環(huán)境效益，這也是我國建筑業(yè)和鋼鐵行業(yè)可持續(xù)發(fā)展的迫切要求。

3 應(yīng)用

若將定理1和定理2的結(jié)論應(yīng)用于一階空間自回歸模型，即可得出一階空間自回歸模型的均值滑動模型和方差加權(quán)模型的單個異常值得分檢驗統(tǒng)計量。

3.1 一階空間自回歸模型

顯然，F(xiàn)AR模型與SAR模型相比，缺少了Xβ這個線性回歸部分，即前者為后者的設(shè)計矩陣X=0時的特例。同樣，我們可以求得模型的對數(shù)似然函數(shù)

同樣由于參數(shù)的ML估計無顯式解，所以只能通過迭代求解。

3.2 FAR模型的異常值得分檢驗

4 實例分析

我們將用哥倫布市社區(qū)犯罪數(shù)據(jù)說明本文檢驗方法的應(yīng)用，分別采用SAR模型和FAR模型對數(shù)據(jù)進(jìn)行建模，再根據(jù)兩個模型對數(shù)據(jù)進(jìn)行異常值檢驗。在識別出異常點之后，我們根據(jù)異常值模型的假設(shè)和異常值的檢驗結(jié)果建立優(yōu)化模型，通過對比優(yōu)化模型和原模型的性質(zhì)來說明異常值檢驗方法的有效性。

4.1 基于SAR模型的分析

利用本文提出的方法，根據(jù)定理1和2的結(jié)論可知，SAR模型的均值擾動形式和方差擾動形式的得分檢驗統(tǒng)計量都服從分布χ2()1。分別考慮有標(biāo)識和無標(biāo)識的異常值檢驗問題，主要結(jié)論如下：

下面我們開始對數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，針對SAR模型，圖1給出了模型的標(biāo)準(zhǔn)殘差圖，可以看出某些數(shù)據(jù)點存在一定的異常。

圖1 SAR模型觀測數(shù)據(jù)的殘差圖.

圖2 (a)均值漂移模型下異常值 (b)方差加權(quán)模型下異常值檢驗統(tǒng)計量 檢驗統(tǒng)計量

對比這SAR模型的兩種異常值模型的檢驗結(jié)果，我們發(fā)現(xiàn)雖然擾動方式不同，但是檢驗結(jié)果較為相似。此外，從圖2可看出，方差加權(quán)模型在識別哥倫布市社區(qū)犯罪數(shù)據(jù)時較均值漂移模型更敏感。

下面根據(jù)SAR模型異常值檢驗的結(jié)果，建立修正模型，并將之與原模型相比來驗證檢驗方法的有效性.這一方法已被一些作者采用。本文采用無標(biāo)識的異常值檢驗結(jié)果進(jìn)行分析。

根據(jù)圖2(a)的檢驗結(jié)果，SAR模型的均值優(yōu)化模型可記為：

λ1，λ2分別為第4和34個元素方差上的權(quán)重系數(shù)。

我們分別從殘差的峰度、偏度和殘差的Q-Q圖這兩種角度來對比原模型和修正模型，并分析這兩個修正模型的性質(zhì)較原模型是否存在改進(jìn)。若修正模型相對于原模型存在改進(jìn)，即根據(jù)異常值檢驗結(jié)果提出的修正模型性質(zhì)上優(yōu)于原模型，則說明我們的異常值檢驗方法是有效的。

圖3 (a)原模型殘差 (a)優(yōu)化模型(16)殘差 (b)優(yōu)化模型(17)殘差的Q-Q圖. 的Q-Q圖. 的Q-Q圖.

而從Q-Q圖角度來看，若數(shù)據(jù)嚴(yán)格服從正態(tài)分布，則這些概率點將形成一條直線；若點偏離直線，則正態(tài)性較為可疑。原模型（1）下的殘差的Q-Q圖如圖3(a)所示，雖然大部分概率點圍繞在擬合直線周圍，但是存在一個顯著的離群點.修正模型（16）和（17）殘差的Q-Q圖分別如圖3(b)和3(c)所示，兩者所有概率點都緊密圍繞在擬合直線周圍，消除了離群點。所以從Q-Q圖的角度，我們也得出了修正模型（16）和（17）性質(zhì)遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于原模型（1）。

圖4 FAR模型觀測數(shù)據(jù)的殘差圖

綜合以上兩點，我們可以判定所采用的異常值檢驗方法是有效的，并取得了理想的效果。此外，修正模型（16）和（17）也為數(shù)據(jù)中存在的異常情況提供了一個有效的處理辦法。

4.2 基于FAR模型的分析

若采用FAR模型對數(shù)據(jù)進(jìn)行描述，可得模型的標(biāo)準(zhǔn)殘差圖如圖4所示，也可看出某些數(shù)據(jù)點存在一定的異常。

FAR模型的兩種擾動形式的得分檢驗統(tǒng)計量均服從分布 χ2()1。同樣考慮有標(biāo)識和無標(biāo)識的異常值檢驗問題，取置信水平α=0.05，可得FAR模型的兩種擾動模式的Score檢驗結(jié)果如圖5所示。

圖5 (a)均值漂移模型下異常值 (b)方差加權(quán)模型下異常值檢驗統(tǒng)計量. 檢驗統(tǒng)計量

FAR模型的均值漂移模型的得分檢驗結(jié)果如圖5(a)所示：在臨界值為3.84時，4，17，34號個體為異常值；而臨界值為10.79時，只有4號個體為異常值.方差加權(quán)模型的檢驗結(jié)果如圖5(b)所示，檢驗的結(jié)果都是4，17號個體被識別為異常值。上述FAR模型的兩種擾動模型形式的異常值檢驗結(jié)果也較類似，且方差加權(quán)模型在該數(shù)據(jù)時較均值漂移模型更敏感。

同樣，我們根據(jù)FAR模型異常值檢驗的結(jié)果，建立修正模型來驗證檢驗方法的有效性。我們也采用無標(biāo)識的異常值檢驗結(jié)果進(jìn)行分析。

λ1，λ2分別為第4和17個元素方差上的權(quán)重系數(shù)。

同樣，我們通過考慮殘差的峰度、偏度和殘差的Q-Q圖這兩種角度來對比原模型和修正模型，進(jìn)而論證異常值檢驗方法的有效性。

圖6 (a)FAR模型殘差 (b)優(yōu)化模型(18)殘差 (c)優(yōu)化模型(19)殘差的Q-Q圖. 的Q-Q圖. 的Q-Q圖.

對于FAR模型，計算得原模型殘差的偏度和峰度為SK=-1.416，K=7.2936，而均值修正模型（18）中殘差的SK=-0.4622，K=4.4334 ，方差修正模型（19）中殘差的SK=0.3068，K=2.4451，兩者在殘差的偏度和峰度的性質(zhì)都大大優(yōu)于原模型，從而說明了我們的異常值檢驗方法的有效性。

原模型下的殘差的Q-Q圖如圖6(a)所示，存在兩個顯著的離群點。修正模型（18）和（19）殘差的Q-Q圖分別如圖6(b)和6(c)所示：修正模型（18）將原模型的離群值從兩個減少為一個，改善了殘差的正態(tài)性；而修正模型（19）所有點都緊密圍繞在擬合直線周圍。所以從Q-Q圖的角度，我們也得出了修正模型（18）和（19）性質(zhì)遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于原模型的結(jié)論。

綜合以上兩點，我們也可以判定所采用的異常值診斷方法是有效的，并取得了理想的效果。此外，修正模型（18）和（19）為數(shù)據(jù)中存在的異常情況提供了一個有效的處理辦法。

5 結(jié)論

本文研究了混合空間自回歸模型的單個異常值檢驗問題，考慮均值滑動模型及方差加權(quán)模型，分別導(dǎo)出了得分檢驗統(tǒng)計量及近似分布，并將結(jié)論推廣到一階空間自回歸模型。我們運(yùn)用提出的方法對實例數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，分別在SAR模型和FAR模型下進(jìn)行分析，并基于均值漂移模型和方差加權(quán)模型進(jìn)行異常值的檢驗，最終都識別出了其中的異常點。最后，我們基于異常值檢驗的結(jié)果建立了相應(yīng)的修正模型，并通過對比說明了所提出的方法的有效性。本文得出的一些結(jié)論，為該數(shù)據(jù)的進(jìn)一步分析提供了重要的信息。本文的方法可以推廣到SAR模型的多個異常值的檢驗，只是識別過程更困難，有待于進(jìn)一步研究。

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