李保安，李靈曉

(1.河南科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，河南 洛陽 471023；2.上海師范大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，上海 200234)

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(G′/G,1/G)-展開法在求解非線性演化方程中的應(yīng)用

李保安1,2，李靈曉1

(1.河南科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，河南 洛陽 471023；2.上海師范大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，上海 200234)

(G′/G,1/G)-展開法是求解數(shù)學(xué)物理問題中非線性演化方程新行波解的一種直接而有效的方法，可以看作是(G′/G)-展開法的擴(kuò)展方法。利用該方法，KdV方程和Burgers方程的含任意參數(shù)的新行波解被成功求解。當(dāng)參數(shù)賦以特殊值時(shí)，從行波解中可以獲得著名的孤立波解。

(G′/G,1/G)-展開法；行波解；孤立波解；KdV方程；Burgers方程

0 引言

近年來,尋求復(fù)雜的物理現(xiàn)象中非線性演化方程(NLEEs)行波解的研究發(fā)揮著重要作用。很多有效的方法，如Tanh-展開法[1-2]、Jacobi橢圓函數(shù)展開法[3-4]、齊次平衡法[5-6]、F-展開法[7-8]、輔助常微分方程方法[9-10]、指數(shù)函數(shù)展開法[11-12]和(G′/G)-展開法[13-14]等，可以成功地獲取NLEEs的孤立波解、沖擊波解、周期波解等類型的精確行波解，但這些解的形式大部分較為單一，并不能有效地反映某些復(fù)雜的物理現(xiàn)象，從而某種程度上限制了它的一些應(yīng)用。

本文應(yīng)用(G′/G,1/G)-展開法[15]，求解了著名的KdV方程和Burgers方程的更為豐富形式的行波解，該方法是(G′/G)-展開法的擴(kuò)展。

1 (G′/G，1/G)-展開法的基礎(chǔ)公式

作為(G′/G,1/G)-展開法的預(yù)備工作，考慮二階線性常微分方程(LODE)[16]

G″(ξ)+λG(ξ)=μ,

(1)

并設(shè)

φ=G′/G,ψ=1/G,

(2)

由式(1)和式(2)得到：

φ′=-φ2+μψ-λ,ψ′=-φψ。

(3)

方程(1)的一般解有3種情形:

情形1 當(dāng)λ<0時(shí)，方程(1)的一般解為：

(4)

由式(2)和式(4)得到關(guān)系式：

(5)

情形2 當(dāng)λ>0時(shí)，方程(1)的一般解為：

(6)

由式(2)和式(6)得到關(guān)系式：

(7)

情形3 當(dāng)λ=0時(shí),方程(1)有一般解：

(8)

并且有關(guān)系式

(9)

2 KdV方程

考慮以下形式著名的KdV方程[17]：

ut+uux+δuxxx=0,

(10)

該方程在淺水波、等離子體磁流波、非諧振晶格振動(dòng)和離子聲波中廣泛應(yīng)用。由行波變換

u(x,t)=u(ξ),ξ=x-Vt。

(11)

方程(11)化為關(guān)于u=u(ξ)的常微分方程：

-Vu′+uu′+δu?=0,

(12)

將該方程積分一次，得到：

(13)

其中，C是待定的積分常數(shù)。

考慮方程(13)中u″和u2的齊次平衡，設(shè)方程(13)的解具有形式：

u=a2φ2+a1φ+a0+b2φψ+b1ψ，a2≠0。

(14)

其中，φ和ψ滿足式(1)和式(2)。

情形1 當(dāng)λ<0時(shí)，將式(14)代入式(13)，并利用式(3)和式(5)，方程(13)的左邊化為關(guān)于φ和ψ的多項(xiàng)式，令同次冪系數(shù)為零，得到關(guān)于參數(shù)a2、a1、a0、b2、b1、V,λ(λ<0)、μ和σ的代數(shù)方程組，求解得：

根據(jù)以上結(jié)果，并利用式(4)，得到方程(10)的雙曲函數(shù)行波解為：

(15)

其中：ξ=x-Vt；A1、A2、λ(λ<0)和V是任意常數(shù)。

情形2 當(dāng)λ>0時(shí)，類似情形1，由(G′/G,1/G)-展開法的基礎(chǔ)公式，求解相應(yīng)的代數(shù)方程組得到：

根據(jù)以上結(jié)果，并利用式(6)，得到方程(10)的三角函數(shù)形式的行波解為：

其中：ξ=x-Vt；A1、A2、λ(λ<0)和V是任意常數(shù)。

情形3 當(dāng)λ=0時(shí)，根據(jù)類似的計(jì)算，得到：

由上述結(jié)果，利用式(8)，得到方程(10)的有理函數(shù)形式的行波解為：

其中：ξ=x-Vt；A1、A2和V是任意常數(shù)。

3 Burgers方程

考慮以下形式著名的Burgers方程[18]：

ut+uux-νuxx=0,

(16)

行波約化得到

u(x,t)=u(ξ),ξ=x-Vt。

(17)

將式(16)代入方程(15)，則方程(15)化為關(guān)于u(ξ)的常微分方程，關(guān)于ξ積分得到含積分常數(shù)C的方程：

(18)

考慮u2和u′齊次平衡，設(shè)方程(17)的解具有形式:

u=a1φ+a0+b1ψ,a1≠0。

(19)

情形1 當(dāng)λ<0時(shí),將式(18)代入式(17)，并利用式(3)和式(5)，方程(17)的左邊化為關(guān)于φ和ψ的多項(xiàng)式，令同次冪系數(shù)為零，得到關(guān)于參數(shù)a1、a0、b1、V、λ(λ<0)、μ和σ的代數(shù)方程組，求解得到：

由上述結(jié)果，得到方程(15)的雙曲函數(shù)行波解為：

(20)

其中：ξ=x-Vt；A1、A2、λ(λ<0)和V是任意常數(shù)。

情形2 當(dāng)λ>0時(shí),類似情形1，利用(G′/G,1/G)-展開法基礎(chǔ)公式，求解相應(yīng)的代數(shù)方程組得到：

由這些結(jié)果，得到方程(15)的三角函數(shù)形式的行波解為：

其中：ξ=x-Vt；A1、A2、λ(λ>0)和V是任意常數(shù)。

情形3 當(dāng)λ=0時(shí),根據(jù)類似的計(jì)算，得到：

由上述結(jié)果，得到方程(15)的有理函數(shù)形式的行波解為：

其中：ξ=x-Vt；A1、A2和V是任意常數(shù)。

4 結(jié)果比較

在式(15)和式(20)中取特定參數(shù)，如A1=0，A2≠0和A2=0，A1≠0時(shí)，KdV方程的解u1分別為：

其中：ξ=x-Vt；λ(λ<0)和V為任意常數(shù)。

而Burgers方程的解u1分別為：

其中：ξ=x-Vt；λ(λ<0)和V為任意常數(shù)，上述結(jié)果與其他文獻(xiàn)中得到的結(jié)果相同。

當(dāng)方程(1)中μ=0，展開式(14)和式(18)中bi=0時(shí)，(G′/G,1/G)-展開法就成為(G′/G)-展開法。容易驗(yàn)證上述KdV方程的解u1、u4和u7，Burgers方程的解u1、u4和u7與利用(G′/G)-展開法求解的結(jié)果相同，所以該方法看作是(G′/G)-展開法的一種擴(kuò)展。但本文也得到了其他文獻(xiàn)中沒有出現(xiàn)過的新形式行波解：圖1a和圖1b分別是KdV方程的雙曲函數(shù)行波解u1和u2取特定參數(shù)值時(shí)的圖形；圖2a和圖2b分別是Burgers方程的雙曲函數(shù)行波解u1和u2取特定參數(shù)值時(shí)的圖形。

圖1 KdV方程的雙曲函數(shù)行波解

圖2 Burgers方程的雙曲函數(shù)行波解

5 結(jié)束語

利用(G′/G,1/G)-展開法求得了KdV和Burgers方程多種類型的含有任意參數(shù)的精確行波解，適當(dāng)選取參數(shù)A1和A2時(shí)，可以得到方程著名的孤立波解，并與以往文獻(xiàn)作了比較，出現(xiàn)的新形式行波解將對(duì)復(fù)雜的物理想象的解釋起到一定的借鑒作用。

致謝：本文得到王明亮教授的悉心指導(dǎo)與幫助，作者表示衷心感謝!

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國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(11271110);河南省教育廳自然科學(xué)研究計(jì)劃基金項(xiàng)目(2011B110013)

李保安(1972-),男,河南洛陽人,副教授,碩士,研究方向?yàn)榉蔷€性偏微分方程.

2014-12-08

1672-6871(2015)03-0090-06

O175.2

A