王 鹍, 劉亞秋, 郝 兵, 史慶武

(1.佳木斯大學(xué) 信息電子技術(shù)學(xué)院, 黑龍江 佳木斯 154007;2.東北林業(yè)大學(xué) 信息與計算機(jī)工程學(xué)院, 哈爾濱 150040)

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五維系統(tǒng)的混沌動力學(xué)分析

王 鹍1,2, 劉亞秋2, 郝 兵1, 史慶武1

(1.佳木斯大學(xué) 信息電子技術(shù)學(xué)院, 黑龍江 佳木斯 154007;2.東北林業(yè)大學(xué) 信息與計算機(jī)工程學(xué)院, 哈爾濱 150040)

以一個五維混沌系統(tǒng)為研究對象,利用狀態(tài)變量反饋方法,引入一個線性控制器,形成一個五維受控系統(tǒng)。利用李雅普諾夫方法和勞斯穩(wěn)定判據(jù)進(jìn)行理論分析,設(shè)計控制器,求出受控系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的控制律。采用數(shù)值仿真試驗的方法進(jìn)一步研究該五維受控系統(tǒng)的動力學(xué)行為及其混沌運(yùn)動特征。線性控制器在不同的參數(shù)區(qū)域內(nèi)選取控制參數(shù),該五維受控系統(tǒng)的響應(yīng)曲線呈現(xiàn)出平衡點(diǎn)漸近穩(wěn)定、收斂到某些固定點(diǎn)、周期軌道運(yùn)動、新混沌的分岔現(xiàn)象。提供了一個動力學(xué)性態(tài)豐富的五維混沌控制和反控制系統(tǒng)。對需求高維混沌信號的混沌保密通信等相關(guān)領(lǐng)域提供了理論和試驗支持。

五維混沌系統(tǒng); 動力學(xué)分析; 混沌控制

0 引 言

隨著網(wǎng)絡(luò)信息技術(shù)和通信技術(shù)的快速發(fā)展,通信的安全性和保密性危機(jī)日趨嚴(yán)重。由于混沌信號自身對初始條件十分敏感,具有非周期、連續(xù)寬頻帶、似噪聲的復(fù)雜隨機(jī)特性,經(jīng)過混沌信號調(diào)制后的信號即使被敵方截獲,也很難被破譯,因此,混沌同步的理論和技術(shù)被重點(diǎn)應(yīng)用在混沌保密通信等相關(guān)領(lǐng)域[1-2],這就急需研究發(fā)現(xiàn)復(fù)雜的混沌系統(tǒng)作為信號源。

混沌現(xiàn)象多種多樣,混沌系統(tǒng)亦多種多樣。當(dāng)混沌現(xiàn)象有害時,設(shè)法抑制混沌,當(dāng)混沌有益時,善加利用,這就是混沌控制和反控制。較成熟的混沌系統(tǒng)研究主要集中在一些低維的混沌系統(tǒng)上,如Logistic映射[3]、氣象學(xué)中的Lorenz系統(tǒng)[4],陳氏系統(tǒng)[5]、呂氏系統(tǒng)[6]、電路中的Chua系統(tǒng)等[7]。而高維混沌系統(tǒng),由于其動力學(xué)行為復(fù)雜,運(yùn)動模型往往未知,高維系統(tǒng)混沌的研究剛剛起步[8-10]。

一般來講,混沌系統(tǒng)維數(shù)越高,系統(tǒng)響應(yīng)越復(fù)雜,倘若選擇高維的混沌系統(tǒng)、超混沌系統(tǒng)作為混沌源信號,對原始信號進(jìn)行掩蓋加密,信息傳遞的安全性將會更高。目前存在的問題是模型結(jié)構(gòu)已知的高維混沌系統(tǒng)并不多,雖有幾種五維系統(tǒng)正在信號加密的探索中[11-13],但是其動力學(xué)行為并不豐富,遠(yuǎn)不能滿足實(shí)際的需要。因此,發(fā)現(xiàn)更多的高維混沌系統(tǒng)及研究其動力學(xué)行為迫在眉睫。

本文以五維系統(tǒng)作為研究對象,引入狀態(tài)變量反饋,使用解析法和仿真實(shí)驗來分析五維受控系統(tǒng)的非線性動力學(xué)行為,發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)出現(xiàn)了分岔現(xiàn)象[14-15],具有混沌及周期等多種運(yùn)動狀態(tài)。

1 五維系統(tǒng)混沌模型及仿真

所選的一類五維非線性系統(tǒng)的微分方程為:

在文獻(xiàn)[16]中,取a=3.9,b=9.17,c=3.94,d=7.068,e=1時,該五維系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型為:

計算求得系統(tǒng)(2)的2個平衡點(diǎn),分別是[1,0,0,0,0]T和[-1,0,0,0,0]T。

(a)—狀態(tài)變量x1的響應(yīng); (b)—系統(tǒng)的三維相圖(x1,x2,x5)。

該五維系統(tǒng)的相軌跡是不規(guī)則的雜亂波,始終在一個有界的區(qū)域里,圖1b出現(xiàn)了奇怪吸引子現(xiàn)象,滿足混沌特征。因此,該五維系統(tǒng)是混沌系統(tǒng),從整體上說混沌是穩(wěn)定的,但平衡狀態(tài)不穩(wěn)定。

2 平衡狀態(tài)漸近穩(wěn)定

2.1 控制器的設(shè)計

為了實(shí)現(xiàn)五維系統(tǒng)的相軌跡漸近收斂到平衡狀態(tài),將一個或幾個變量反饋引入系統(tǒng),根據(jù)反饋控制原理設(shè)計控制器,求取控制規(guī)律。

根據(jù)李雅普諾夫方法求得系統(tǒng)(3)平衡狀態(tài)的雅可比矩陣:

線性化后得到特征方程為:

利用勞斯穩(wěn)定判據(jù),計算求得控制律:當(dāng)相軌跡漸近收斂到平衡點(diǎn)[1,0,0,0,0]T時,反饋k1取值區(qū)域為k1>1;當(dāng)相軌跡漸近收斂到平衡點(diǎn)[-1,0,0,0,0]T時,反饋的取值區(qū)域為k1>2。

2.2 數(shù)值仿真實(shí)驗

在k1>2的廣大區(qū)域內(nèi)選取參數(shù)做仿真實(shí)驗,取k1=15,數(shù)值仿真如下。

1) 受控系統(tǒng)的相軌跡收斂到第1個平衡點(diǎn),仿真如圖2所示。

(a)—x1的相圖; (b)—受控系統(tǒng)的三維相圖(x1,x2,x5)。

2) 受控系統(tǒng)的相軌跡收斂到第2個平衡點(diǎn),仿真如圖3所示。

(a)—x1的相圖; (b)—三維相圖(x1,x2,x4)。

理論分析知道,當(dāng)k1>2時,2個平衡狀態(tài)都能漸近穩(wěn)定,仿真實(shí)驗驗證了理論的正確性。

3 實(shí)驗分析受控系統(tǒng)其他運(yùn)動狀態(tài)

3.1 受控系統(tǒng)周期運(yùn)動

(a)—x1的響應(yīng)圖; (b)—二維相圖(x2,x3)。

3.2 受控系統(tǒng)狀態(tài)軌跡收斂

(a)—x1的響應(yīng)圖; (b)—x2的響應(yīng)圖; (c)—二維相圖(x4,x5); (d)—三維相圖(x1,x3,x4)。

從圖5可知,反饋參數(shù)k1=0.62時,五維受控系統(tǒng)收斂到點(diǎn)[0.42,-0.36,0,0,0]T。

3.3 系統(tǒng)出現(xiàn)新的混沌

當(dāng)k1=0時,受控系統(tǒng)是原系統(tǒng)(2),混沌圖形如圖1所示。當(dāng)k1<0時,大量仿真實(shí)驗表明受控系統(tǒng)出現(xiàn)新的混沌。取k1=-2,仿真結(jié)果見圖6。

(a)—x2的相圖; (b)—系統(tǒng)的三維相圖(x1,x3,x5)。

由圖6、圖4和圖5可知,k1在不同的參數(shù)區(qū)域選值,受控系統(tǒng)出現(xiàn)由混沌到周期運(yùn)動再到收斂的跳變,出現(xiàn)了分叉現(xiàn)象,動力學(xué)性態(tài)豐富。

4 結(jié) 語

本文將一個五維混沌系統(tǒng)引入一個狀態(tài)變量反饋,利用李雅普諾夫方法和勞斯穩(wěn)定判據(jù)求出受控系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的解析解。通過大量的仿真實(shí)驗研究,確定出不同的參數(shù)區(qū)域,當(dāng)選取不同的控制參數(shù)時,該五維受控系統(tǒng)呈現(xiàn)出平衡點(diǎn)穩(wěn)定、收斂、周期運(yùn)動等動力學(xué)行為,實(shí)現(xiàn)了五維系統(tǒng)的混沌控制和反控制,為混沌保密通信等相關(guān)領(lǐng)域需要的復(fù)雜混沌信號提供了理論和試驗支持。

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Analysis of chaotic dynamics of five-dimensional system

WANGKun1,2,LIUYaqiu2,HAOBing1,SHIQingwu1

(1.College of Information and Electronic Technology, Jiamusi University, Jiamusi 154007, China;2.College of Information and Computer Engineering, Northeast Forestry University, Harbin 150040, China)

A 5-dimensional chaos system is taken as the object of this paper.A linear controller is introduced by the state variables feedback method to form a 5-dimensional controlled system.The Lyapunov method and the Routh criterion are used for theoretical analysis and controller design, and then a control law of asymptotical stable controlled system is obtained.The dynamic behavior and its chaos motion characteristics of this 5-dimensional controlled system are further studied by the numerical simulation method.Given linear controller with the control parameters selected in different regions, the response curves of this 5-dimensional controlled system show the bifurcations such as asymptotic stability at the equilibrium point, convergence at some fixed points, periodic orbit motion, new chaos, etc.A rich characteristic dynamic 5-dimensional chaos control and anti-control system is proposed here, providing theoretcial and experimental support for the related fields of chaos secure communication, which require high-dimensional chaos signals.

five-dimensional chaotic system; dynamic analysis; chaos control

2014-10-26。

國家自然科學(xué)基金資助項目(31370565); 佳木斯大學(xué)面上科研項目(L2010-128); 黑龍江省自然科學(xué)基金資助項目(E201212); 黑龍江省教育廳科研面上項目(12521539)。

王 鹍(1975-),女,黑龍江佳木斯人,佳木斯大學(xué)講師,東北林業(yè)大學(xué)博士研究生; 通信作者: 劉亞秋(1971-),男,遼寧法庫人,東北林業(yè)大學(xué)教授,博士,博士研究生導(dǎo)師。

1673-5862(2015)01-0076-05

TP13

A

10.3969/ j.issn.1673-5862.2015.01.017