李安邦　徐新華

摘要：基于經(jīng)典有限差分原理建立了內(nèi)嵌管式輻射地板的頻域有限差分（FDFD）模型，同時(shí)采用Fluent軟件建立了內(nèi)嵌管式輻射地板的CFD模型作為參考模型，將內(nèi)嵌管式輻射地板FDFD模型在典型頻域點(diǎn)的計(jì)算結(jié)果轉(zhuǎn)換成時(shí)域內(nèi)的幅值與相角，并與CFD模型的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對比.FDFD模型能準(zhǔn)確預(yù)測內(nèi)嵌管式輻射地板的熱特性.采用FDFD模型進(jìn)一步計(jì)算了不同厚度絕熱層的輻射地板的頻域熱特性，分析了絕熱層厚度對內(nèi)嵌管式輻射地板熱特性的影響.結(jié)果表明，在高頻區(qū)域，絕熱層厚度對地板傳熱的影響較小，而在低頻區(qū)域內(nèi)影響較為明顯，盡管絕熱層厚度取到40 mm，地板下表面仍存在較大的熱流損失，約占管道熱流的16%.

關(guān)鍵詞：頻域有限差分法；內(nèi)嵌管式輻射地板；頻域熱特性；CFD

中圖分類號：TU832 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

由于內(nèi)嵌管式地板輻射系統(tǒng)相比于空氣空調(diào)系統(tǒng)具有更好的熱舒適性以及更高的能效，該系統(tǒng)在建筑里越來越多地被使用[1-3].在內(nèi)嵌管式地板輻射系統(tǒng)的設(shè)計(jì)過程中，準(zhǔn)確的能耗模擬模型可以幫助設(shè)計(jì)人員確定合適的系統(tǒng)規(guī)模以及選擇更優(yōu)化的系統(tǒng)運(yùn)行策略[4].關(guān)于內(nèi)嵌管式地板傳熱模型的動態(tài)解析求解很難實(shí)現(xiàn)，目前在內(nèi)嵌管式地板傳熱模擬計(jì)算中主要采用的是半解析模型[5]、簡化計(jì)算模型[6]以及數(shù)值模型[7-8].半解析模型和簡化模型雖然計(jì)算比較方便，但由于對原物理模型進(jìn)行了較大程度的簡化，計(jì)算結(jié)果偏差較大.時(shí)域數(shù)值模型（比如有限元模型、有限差分模型等）都可以獲得具有較高準(zhǔn)確度的計(jì)算結(jié)果，但是需要耗費(fèi)大量的計(jì)算時(shí)間，且精度越高所需的計(jì)算時(shí)間代價(jià)越高.頻域差分法（frequencydomain finitedifference method， FDFDM） 在電磁領(lǐng)域有著較為廣泛的應(yīng)用[9-10]，而在求解傳熱問題方面的應(yīng)用較少.相比于時(shí)域的數(shù)值模型，F(xiàn)DFDM主要有兩大特點(diǎn)：其一，計(jì)算過程中沒有時(shí)間項(xiàng)，在求解周期性傳熱問題時(shí)，無論周期的長短，F(xiàn)DFDM計(jì)算熱流以及溫度的衰減和延遲所需要的時(shí)間遠(yuǎn)小于時(shí)域數(shù)值模型；其二，F(xiàn)DFDM計(jì)算出頻域熱響應(yīng)可以作為簡化模型參數(shù)辨識的數(shù)據(jù)基礎(chǔ)，例如：多項(xiàng)式傳遞函數(shù)模型的辨識[11]，RC網(wǎng)絡(luò)模型的辨識[12].本文將采用FDFD方法計(jì)算帶有不同絕熱層厚度的內(nèi)嵌管式輻射地板的頻域熱特性，并分析不同絕熱層厚度對內(nèi)嵌管式輻射地板的頻域熱特性的影響.

1內(nèi)嵌管式輻射地板的FDFD模型

內(nèi)嵌管式輻射地板的結(jié)構(gòu)如圖1所示，其中絕熱層的厚度δc將作為變量來討論絕熱層厚度對內(nèi)嵌管式輻射地板的頻域熱特性的影響.以圖1中的abcd結(jié)構(gòu)為研究對象，并將該結(jié)構(gòu)劃分成有限個(gè)微小的矩形單元.內(nèi)嵌管式輻射地板中各材料的熱物性如表1所示.

聯(lián)立所有單元的矩陣方程得到關(guān)于整個(gè)計(jì)算區(qū)域熱流平衡的大型稀疏矩陣方程，通過對這一大型稀疏矩陣方程進(jìn)行求解就可以得到任意單元頻域熱響應(yīng).

2內(nèi)嵌管式輻射地板的CFD模型

隨著計(jì)算機(jī)科學(xué)和數(shù)值計(jì)算等學(xué)科的發(fā)展，計(jì)算機(jī)數(shù)值模擬日趨成熟，在一些領(lǐng)域內(nèi)實(shí)驗(yàn)成本很高甚至有的實(shí)驗(yàn)難以實(shí)現(xiàn)，許多研究[13-14]常采用數(shù)值模擬替代真實(shí)實(shí)驗(yàn)作為檢驗(yàn)?zāi)Ｐ褪欠駵?zhǔn)確的參考依據(jù).本文采用該結(jié)構(gòu)CFD模型預(yù)測結(jié)果作為參考值.建立圖1中abcd結(jié)構(gòu)的CFD模型，通過CFD模型和FDFD模型計(jì)算數(shù)據(jù)的對比來說明FDFD模型的準(zhǔn)確性.對于任意頻率點(diǎn)ω，CFD模型的外擾為以2π/ω為周期的單位諧波，該單位諧波將以用戶自定義函數(shù)（UDF）的形式輸入到CFD模擬軟件中.在FDFD模型和CFD模型中，abcd結(jié)構(gòu)的上表面ab定義為第3類邊界條件，ab表面與室內(nèi)的綜合換熱系數(shù)為7 W/m2·K，下表面cd和管道表面（忽略管道壁厚）定義為第1類溫度邊界條件（給定溫度），表面ac和bd均看作絕熱面.

3FDFD模型與CFD模型的計(jì)算結(jié)果對比

對于線性導(dǎo)熱問題， 頻域熱響應(yīng)（板壁對溫度諧波熱擾的衰減和時(shí)間延遲或者相角差）與溫度諧波熱擾的幅值和相角均無關(guān)[15].內(nèi)嵌管式輻射地板的導(dǎo)熱微分方程為線性方程，即同樣為線性導(dǎo)熱問題， 地板各表面的頻域熱流響應(yīng)的幅值與溫度諧波熱擾的幅值呈線性比例關(guān)系（該比例只與頻率和該結(jié)構(gòu)的熱物性有關(guān)）， 兩者的相角差與溫度諧波熱擾的相角無關(guān).因此關(guān)于溫度諧波熱擾的幅值和相角的選取對內(nèi)嵌管式輻射地板頻域熱特性的分析并無影響.

為了便于分析， 本文在計(jì)算內(nèi)嵌管式輻射地板頻域熱流響應(yīng)時(shí)， 溫度諧波熱擾均采用相角為0的單位溫度諧波.內(nèi)嵌管式輻射地板通常存在地板上表面和管道表面兩個(gè)表面的熱擾（地板下表面的熱擾一般不明顯，且保溫層對熱擾有較大的抵抗作用，因此不考慮地板下表面熱擾），將溫度邊界條件設(shè)置成2種情況：1） 地板上表面特征熱擾， 即地板上表面存在一個(gè)幅值為1，相角為0的溫度諧波，其余兩個(gè)表面的溫度均設(shè)定為0 ℃；2） 管道表面特征熱擾， 即管道表面存在一個(gè)幅值為1，相角為0的溫度諧波，其余兩個(gè)表面的溫度均設(shè)定為0 ℃.為了便于將FDFD模型和CFD模型的結(jié)果進(jìn)行比較，本文將FDFD得到的頻域熱響應(yīng)（u 和 v）代入式（2）和式（3）轉(zhuǎn)換成時(shí)域里的溫度幅值和相角Φ.

以不帶絕熱層的內(nèi)嵌管式輻射地板為例，且考慮單位溫度諧波設(shè)置在地板上表面的情況（其余兩表面的溫度均設(shè)為0），由FDFD模型以及CFD模型計(jì)算出的地板上表面和管道表面的周期分別為12 h和48 h的熱流曲線分別如圖3及圖4所示.通過比較可以發(fā)現(xiàn)，F(xiàn)DFD模型和CFD模型的計(jì)算結(jié)果吻合很好，這說明FDFD模型能很好地計(jì)算內(nèi)嵌管式輻射地板的熱特性.計(jì)算時(shí)間表明FDFD模型的計(jì)算時(shí)間遠(yuǎn)遠(yuǎn)比CFD模型少，計(jì)算快速高效.

4內(nèi)嵌管式輻射地板的頻域熱響應(yīng)

頻域熱特性包括幅頻特性和相頻特性，幅頻特性是指溫度諧波熱擾傳遞的衰減倍數(shù)（輸入溫度諧波的幅值與輸出溫度諧波的幅值之間的比值）與頻率的關(guān)系，相頻特性是指輸出溫度諧波和輸入的溫度諧波之間的相位差或者相角差與頻率的關(guān)系.衰減倍數(shù)大和相位差大均可以反映系統(tǒng)具有較好的隔熱效果.為了研究絕熱層厚度對內(nèi)嵌管式輻射地板的頻域熱特性的影響，本文建立了不同厚度絕熱層的內(nèi)嵌管式地板的FDFD模型，并計(jì)算出10-10 ～10-3 rad/s之間的一系列離散頻率點(diǎn)上的熱響應(yīng)（各表面熱流的幅值和相角）.在工程實(shí)際中常用的絕熱層厚度分別為20，30，40 mm， 為了進(jìn)行對比研究，本文還計(jì)算分析了絕熱層厚度分別為100，200 mm及理想絕熱情況下內(nèi)嵌管式輻射地板的頻域熱特性.圖5～圖7為管道邊界存在幅值為1 ℃，相角為0的溫度諧波作用而其余兩表面（地板上表面和地板下表面）的溫度均為0時(shí)，絕熱層厚度對地板各表面的熱流響應(yīng)的影響.