張文福

( 東北石油大學(xué) 防災(zāi)減災(zāi)及防護(hù)工程省高校重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，黑龍江 大慶 163318 )

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固體含源導(dǎo)熱問題的Hamilton原理及其解析方法

張文福

( 東北石油大學(xué) 防災(zāi)減災(zāi)及防護(hù)工程省高校重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，黑龍江 大慶 163318 )

變分原理的推導(dǎo)一般采用試湊法或Lagrange乘子法.基于固體瞬態(tài)熱傳導(dǎo)的微分方程，利用奧奇西克分部積分法建立固體含源導(dǎo)熱問題的Hamilton原理.該原理可以用于構(gòu)建新的有限元數(shù)值算法，也可以用于獲得一些復(fù)雜邊界問題的新解析解.分析Hamilton原理在熱傳導(dǎo)問題解析解方面的應(yīng)用，利用康托洛維奇—里茨雜交法給出2個(gè)算例的近似解析解和精確解析解，從而證明建立的Hamilton原理及其解析解法的正確性和有效性.討論基于熱質(zhì)理論的Hamilton 原理存在的問題.

Hamilton原理； 解析解； 變分法； 康托洛維奇—里茨雜交法

0 引言

經(jīng)典分析力學(xué)由Newton I、Lagrange J L和Hamilton W R創(chuàng)立.其中Lagrange J L在《分析力學(xué)》中首次引入“廣義坐標(biāo)”的概念(現(xiàn)代振動(dòng)力學(xué)中廣泛使用的振型是一種“廣義坐標(biāo)”[1-2])，并建立Lagrange方程.然而，Lagrange方程是基于質(zhì)點(diǎn)系力學(xué)建立的，僅適用于建立多自由度體系的運(yùn)動(dòng)方程，不適合描述連續(xù)介質(zhì)的基本問題，并且不包含自然邊界條件.Hamilton W R[3]將變分思想引入分析力學(xué)，拓展Lagrange方程，建立Hamilton原理.該原理不但形式簡(jiǎn)潔，還運(yùn)用泛函求極值的方法，將真實(shí)運(yùn)動(dòng)從約束容許的一切可能運(yùn)動(dòng)中“挑選”出來，并且可以直接推出自然邊界條件，從而克服Lagrange方程的缺點(diǎn).經(jīng)典分析力學(xué)的全部理論框架，包括Lagrange方程可以由Hamilton原理推演出來，并且Hamilton原理具有規(guī)范變換不變性，對(duì)現(xiàn)代理論物理的研究有重要價(jià)值.

Hamilton原理是否適用于非保守力系的問題一直存在爭(zhēng)議.一些人提出用新的變分原理解決非保守力系問題，如Leipholz H[4]提出廣義自共扼的概念，建立廣義的Hamilton原理；劉殿魁等提出適合于分析非保守力系的“擬變分原理”[5].實(shí)際上，只要非保守力虛功的定義和變分運(yùn)算正確，Hamilton原理同樣適用于非保守力系問題，含熱源導(dǎo)熱問題也屬于非保守力系問題，因而Hamilton原理同樣適用于分析含熱源導(dǎo)熱問題.

與分析力學(xué)相比，熱傳導(dǎo)變分原理的提出較晚.最早的是由Onsager L提出的適合穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過程的最小能量耗散原理，比較完善的變分原理是由Biot M A建立的.Biot M A[6]采用類比法，參照分析力學(xué)引入位移矢量場(chǎng)和廣義坐標(biāo)的概念，建立熱傳導(dǎo)的Lagrange方程；宋柏等[7-8]基于Einstein質(zhì)能關(guān)系，給出熱質(zhì)運(yùn)動(dòng)需要滿足的Hamilton原理和Lagrange方程，還利用建立的Lagrange方程給出含熱源導(dǎo)熱問題的近似解析解，為建立傳熱學(xué)提供新思路.筆者從變分原理角度討論固體含熱源導(dǎo)熱問題.首先利用奧奇西克分部積分法[9]或梁立孚變積法[10]得到固體含熱源導(dǎo)熱問題的Hamilton原理；然后引入康托洛維奇—里茨雜交法，推導(dǎo)2個(gè)典型問題的近似解析解和精確解析解；最后討論過增元提出的Hamilton原理.

1 微分方程與定解條件

設(shè)xi(i=1,2,3)為笛卡爾(Cartesian)坐標(biāo)，采用啞標(biāo)自動(dòng)求和約定，根據(jù)傳熱學(xué)理論，在固體含源熱傳導(dǎo)問題中，任一點(diǎn)P(x1,x2,x3)的溫度場(chǎng)T(x1,x2,x3,t)由微分方程和定解條件求得：

微分方程

(1)

邊界條件

T=Tw(xi,t),P∈S1;

(2)

(3)

初始條件

T(xi,0)=T0(xi),P∈V∪S.

(4)

式(1-4)中：ki為導(dǎo)熱系數(shù)；ρ為密度；cp為比熱；qv(xi,T,t)為體積熱源強(qiáng)度；qsi(xi,T,t)為表面熱流強(qiáng)度，流入?yún)^(qū)域?yàn)檎籘w(xi,t)為指定的邊界溫度；T0(xi)為初始的邊界溫度；V為求解區(qū)域；S為區(qū)域的全部邊界，S=S1∪S2.

與經(jīng)典傳熱學(xué)的“三類邊界”劃分方法[9]不同，文中僅需要指定兩類邊界，即溫度邊界及溫度法向?qū)?shù)邊界，其中后者為一種“廣義邊界”，包含第二類邊界、第三類邊界及其線性組合，既可以是位置和時(shí)間的函數(shù)，也可以是溫度的函數(shù).這種劃分依據(jù)是變分原理，因?yàn)闇囟冗吔鐬橹付ā拔灰啤边吔?，其變分為零；溫度法向?qū)?shù)邊界在變分原理中將以“非保守力虛功”的形式出現(xiàn)，且具有某種“外力”的特性，它與“位移”變分的乘積(虛功)通常不為零.

2 Hamilton原理

根據(jù)力學(xué)虛功原理，基于微分方程的變分逆運(yùn)算，采用奧奇西克分部積分法[9]建立固體瞬態(tài)熱傳導(dǎo)的Hamilton原理，從而提供一種建立瞬態(tài)熱傳導(dǎo)(內(nèi)含熱源)問題泛函的簡(jiǎn)便方法.與奧奇西克分部積分法[9]類似，梁立孚變積法[10]實(shí)質(zhì)上也是一種分部積分法.

首先將微分方程(1)乘以變分δT，并在時(shí)間和空間范圍內(nèi)進(jìn)行積分，從而得到積分形式：

(5)

式中：dV為體積微元，dV=dx1dx2dx3.

然后采用分部積分法[9]，將式(5)的變分算子移到積分號(hào)外.對(duì)式(5)的第一項(xiàng)作分部積分：

(6)

根據(jù)邊界條件(3)，將式(6)簡(jiǎn)化為

(7)

對(duì)式(5)的第三項(xiàng)作分部積分：

(8)

在時(shí)域邊界t=t1和t=t2處取δT|=0[1-2]，有

(9)

將式(7)和式(9)代入式(5)，得到

(10)

將式(10)與分析力學(xué)拓展的Hamilton原理[1-2]

(11)

進(jìn)行類比，若令

動(dòng)能

T*=0,

(12)

勢(shì)能

(13)

系統(tǒng)耗散能

(14)

非保守力所做的虛功

(15)

則非定常熱傳導(dǎo)問題的溫度場(chǎng)求解可以轉(zhuǎn)化為分析力學(xué)的變分問題.

3 基于Hamilton原理的解析法及其應(yīng)用

3.1 康托洛維奇—里茨雜交法

與瑞雷—里茨提出的待定系數(shù)法不同，康托洛維奇提出待定函數(shù)法[11]，為獲得高精度的解析解提供理論基礎(chǔ).當(dāng)泛函為

(16)

時(shí)，則將問題的解假設(shè)為

(17)

式中：φj(η)為預(yù)先選定的空間函數(shù)，根據(jù)邊界條件選定；cj(τ)為待定的時(shí)間函數(shù).與經(jīng)典的分離變量法類似，隱含地假設(shè)時(shí)空函數(shù)可以由時(shí)間函數(shù)和空間函數(shù)的乘積疊加得到，對(duì)多數(shù)力學(xué)問題是適用的.

將假設(shè)的空間函數(shù)φj(η)代入泛函，利用泛函的駐值條件，可以導(dǎo)出關(guān)于cj(τ)的常系數(shù)微分方程，從而結(jié)合初值條件解出cj(τ)，即為康托洛維奇—里茨雜交法的基本思路[12].因?yàn)榭臻g函數(shù)φj(η)和根據(jù)變分條件求得的時(shí)域函數(shù)cj(τ)為解析形式，故利用康托洛維奇—里茨雜交法可以獲得問題的解析解.如果空間函數(shù)φj(η)能夠精確滿足邊界條件，則將獲得精確解析解；否則，為近似解析解.

若將連續(xù)體劃分為若干單元，將康托洛維奇—里茨雜交法應(yīng)用于每個(gè)單元分析，則可建立一種新型的有限元計(jì)算格式.

結(jié)合文獻(xiàn)[7-8]給出的2個(gè)算例，利用文中提出的Hamilton原理分別推演問題的近似解析解和精確解析解.

3.2 算例1

考慮區(qū)域?yàn)?0 ℃時(shí),平板有定常的內(nèi)熱源qv(x,T,t)=q0，求平板溫度分布的近似解析解.

根據(jù)康托洛維奇—里茨雜交法，取算例1的溫度場(chǎng)為

(18)

(19)

式中：f1(t)為待定的時(shí)間函數(shù)，采用變分方法得到.

式(18)的空間函數(shù)滿足平板兩側(cè)的熱邊界條件，為可用試函數(shù).計(jì)算Hamilton原理中各項(xiàng)能量及其變分的公式為

(20)

(21)

(22)

(23)

利用Hamiliton原理的端點(diǎn)變分條件[1-2]，式(23)右端的第一項(xiàng)結(jié)果應(yīng)該為零，則變?yōu)?/p>

(24)

(25)

將式(21)、式(24)和式(25)代入式(11)得到

(26)

因?yàn)棣膄1(t)具有任意性，式(26)積分成立的條件應(yīng)是方括號(hào)內(nèi)的結(jié)果為零，即

(27)

或者

(28)

式(28)是關(guān)于時(shí)間函數(shù)f1(t)的一階常系數(shù)微分方程，其解為

(29)

式中：A1為待定系數(shù)，根據(jù)初始條件確定，如將式(29)代入式(18)得到

(30)

根據(jù)初始條件

(31)

得

(32)

從而得到溫度場(chǎng)的近似解析解為

(33)

若溫度場(chǎng)取為無窮級(jí)數(shù)形式，即

(18b)

則根據(jù)文中提出的Hamiliton原理和康托洛維奇—里茨雜交法，還可以方便地求得算例1的精確解析解為

(34)

3.3 算例2

考慮區(qū)域?yàn)?0 ℃時(shí)，平板有隨時(shí)間變化的內(nèi)熱源qv(x,T,t)=q0sin2t，求平板的溫度分布的精確解析解.

文獻(xiàn)[8]給出算例2的近似解析解，文中基于康托洛維奇—里茨雜交法和建立的Hamilton原理給出精確解析解.首先算例2的溫度場(chǎng)寫成無窮級(jí)數(shù)表達(dá)形式

(35)

(36)

式(35)的空間函數(shù)滿足平板兩側(cè)的邊界條件，為可用試函數(shù).計(jì)算Hamilton原理中各項(xiàng)能量及其變分的公式為

(37)

(38)

利用Hamiliton原理的端點(diǎn)變分條件[1-2]，式(38)右端的第一項(xiàng)結(jié)果應(yīng)該為零，則變?yōu)?/p>

(39)

(40)

將式(37)、式(39)和式(40)代入式(11)得到

(41)

因?yàn)棣膄j(t)具有任意性，則式(41)積分成立的條件是方括號(hào)內(nèi)的結(jié)果為零，從而得到

(42)

這是關(guān)于待定時(shí)間函數(shù)fj(t)的一階常系數(shù)微分方程，其精確解析解為

(43)

式中：Aj為根據(jù)初始條件確定的待定系數(shù).

將式(43)代入式(35)，由初始條件

(44)

(45)

文獻(xiàn)[8]用Lagrange方程僅能得到算例2的一階近似解析解，根據(jù)文中提出的Hamilton原理和康托洛維奇—里茨雜交法能得到問題的精確解析解.

4 討論

(1)利用所建立的Hamilton原理，可將真實(shí)溫度場(chǎng)從約束容許的一切可能溫度場(chǎng)中“挑選”出來，得到固體含熱源導(dǎo)熱問題的精確解析解.

(2)人們?cè)噲D給出傳熱和傳質(zhì)問題的完全積分型的變分原理，因?yàn)橥耆e分型的泛函為二次型，積分簡(jiǎn)單，且容易按常規(guī)方法進(jìn)行變分運(yùn)算.BruceAF[13]評(píng)述各種完全積分型的變分原理，認(rèn)為不存在變物性或瞬態(tài)熱問題的完全積分型的變分原理.以文中建立的Hamilton原理為例，若將它改寫表達(dá)為

(46)

(47)

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2015-01-10；編輯：朱秀杰

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(51178087，51176023)；黑龍江省教育廳重點(diǎn)項(xiàng)目(12511Z004)

張文福(1965-)，男，博士，教授，主要從事結(jié)構(gòu)工程、工程抗風(fēng)、抗震及抗火方面的研究.

TK121

A

2095-4107(2015)03-0118-08

DOI 10.3969/j.issn.2095-4107.2015.03.015