楊建鋒

（燎原無線電廠，四川 成都610100）

0 引言

相控陣天線具有掃描速度快、天線波束形狀變化迅速、空間功率合成能力強(qiáng)等特點，這些技術(shù)特點使得相控陣?yán)走_(dá)獲得廣泛應(yīng)用［1-2］。導(dǎo)引頭是精確制導(dǎo)武器系統(tǒng)的核心部件，通過接收目標(biāo)輻射或反射的特征能量，確定目標(biāo)參數(shù)，送給彈上控制系統(tǒng)形成制導(dǎo)信號，控制導(dǎo)彈飛向目標(biāo)；導(dǎo)引頭主要性能指標(biāo)是跟蹤速度與跟蹤精度［3-4］。在純穩(wěn)定狀態(tài)下，由于彈體擾動引起導(dǎo)引頭天線空間指向變化，影響了導(dǎo)引頭對目標(biāo)的跟蹤效果，為了保證相控陣?yán)走_(dá)導(dǎo)引頭對目標(biāo)持續(xù)穩(wěn)定測量與跟蹤，需要一個能隔離彈體擾動、穩(wěn)定精度高的捷聯(lián)解耦系統(tǒng)。文獻(xiàn)［5］和文獻(xiàn)［6］在分析相控陣?yán)走_(dá)導(dǎo)引頭技術(shù)特點的基礎(chǔ)上詳細(xì)推導(dǎo)了捷聯(lián)解耦算法。文獻(xiàn)［7］和文獻(xiàn)［8］利用慣導(dǎo)系統(tǒng)提供彈體姿態(tài)角，通過坐標(biāo)變換，根據(jù)波束指向在慣性空間不變性原則，實施角度補(bǔ)償隔離彈體擾動。文獻(xiàn)

［9］設(shè)計了一種相控陣?yán)走_(dá)導(dǎo)引頭波束穩(wěn)定的方法，無需精確的初始姿態(tài)，由角速度傳感器和信號處理機(jī)組成獨(dú)立模塊，通過解算得到補(bǔ)償角，控制波束指向?qū)崿F(xiàn)捷聯(lián)解耦。以上算法均需要慣導(dǎo)系統(tǒng)提供彈體初始姿態(tài)信息，增大了武器系統(tǒng)的準(zhǔn)備時間，并且在波束穩(wěn)定過程中需要進(jìn)行姿態(tài)角實時計算。雖然文獻(xiàn)［9］無需精確的初始姿態(tài)信息，但是要求雷達(dá)開機(jī)前彈體保持小角度運(yùn)動，也需要解算彈體姿態(tài)角，計算量較大。

本文基于天線波束指向在慣性空間不變性原則，設(shè)計了一種相控陣?yán)走_(dá)導(dǎo)引頭捷聯(lián)解耦算法，給出了數(shù)學(xué)仿真結(jié)果。通過設(shè)計天線坐標(biāo)系中任意單位向量，推導(dǎo)出基于不變性原理的一般方程，根據(jù)姿態(tài)矩陣與四元數(shù)的等價關(guān)系，運(yùn)用四元數(shù)來表述一般方程，約去姿態(tài)四元數(shù)，計算得到實時框架角，利用波束控制實現(xiàn)捷聯(lián)解耦。該方法無需慣導(dǎo)系統(tǒng)初始對準(zhǔn)，不用實時計算彈體姿態(tài)角，工程上易于實現(xiàn)，數(shù)學(xué)仿真結(jié)果表明隔離度可以滿足工程應(yīng)用要求。

1 坐標(biāo)系

相控陣?yán)走_(dá)導(dǎo)引頭捷聯(lián)解耦采用的坐標(biāo)系定義如下［10］：

a）慣性坐標(biāo)系——原點Oi在導(dǎo)彈發(fā)射點，OiXi軸在發(fā)射點的水平面內(nèi)，指向發(fā)射方向，OiYi軸沿發(fā)射點的鉛垂線向上，OiZi軸垂直于OiXiYi平面，方向按右手定則確定；

b）彈體坐標(biāo)系——原點Om為彈質(zhì)心，OmXm軸與彈體縱對稱軸一致，指向彈頭方向，OmYm軸在彈體縱對稱面內(nèi)，垂直O(jiān)mXm軸，指向上為正，OmZm軸垂直于OmXmYm平面，構(gòu)成右手系；導(dǎo)彈相對慣性坐標(biāo)系下的三個姿態(tài)角分別為偏航角ψ，俯仰角φ，滾動角γ；旋轉(zhuǎn)順序為先偏航角、再俯仰角、然后滾動角；彈體坐標(biāo)系到慣性坐標(biāo)系的姿態(tài)矩陣為Cim（ψ，φ，γ）；

c）天線坐標(biāo)系——原點Oa取在導(dǎo)引頭旋轉(zhuǎn)中心上，OaXa軸沿天線測量敏感軸方向，指向目標(biāo)為正；OaYa軸位于OaXa軸垂直平面內(nèi)，指向上為正，OaZa軸垂直于OaXaYa平面，方向按右手定則確定；天線波束相對彈體坐標(biāo)系下的兩個框架角分別為框架方位角λy，框架俯仰角λz；旋轉(zhuǎn)順序依次為框架方位角、框架俯仰角。

天線坐標(biāo)系到彈體坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換矩陣：

其中：

實際計算中，q0取正值，q1、q2、q3符號按下式確定：

2 捷聯(lián)解耦原理

在彈體擾動的情況下，要求天線波束指向在慣性空間保持不變。慣性測量單元實時測量彈體角速度信息，結(jié)合當(dāng)前解耦周期在彈體坐標(biāo)系下天線波束指向，推導(dǎo)下一解耦周期在彈體坐標(biāo)系下天線波束指向，進(jìn)而得到天線補(bǔ)償角，通過控制天線波束指向，消除彈體擾動的影響，保持天線波束在慣性空間指向不變，實現(xiàn)捷聯(lián)解耦。

設(shè)導(dǎo)彈發(fā)射時天線波束指向目標(biāo)方向，取天線坐標(biāo)系單位矢量U0＝［α β τ］T，該單位矢量在tk-1時刻慣性坐標(biāo)系中的瞄準(zhǔn)線向量為［13］

式中：ψk-1、φk-1、γk-1分別為tk-1時刻彈體偏航角、俯仰角、滾動角；λy（k-1）、λz（k-1）分別為tk-1時刻框架方位角、框架俯仰角。

在tk時刻U0＝［α β τ］T在慣性坐標(biāo)系中的瞄準(zhǔn)線向量為

式中：ψk、φk、γk分別為tk時刻彈體偏航角、俯仰角、滾動角；λy（k）、λz（k）分別為tk時刻框架方位角、框架俯仰角。由捷聯(lián)解耦原理可得

即

由單位矢量U0＝［α β τ］T的任意性得

由姿態(tài)陣與四元數(shù)之間的等價關(guān)系［11］，可得與式（7）對應(yīng)的四元數(shù)為

式中：Q（tk）、Q（tk-1）分別稱為tk時刻和tk-1時刻的姿態(tài)四元數(shù)；q（tk）、q（tk-1）分別稱為tk時刻和tk-1時刻的框架四元數(shù)。

在捷聯(lián)解耦周期h＝tk-tk-1，有

式中：p（h）稱為一個解耦周期的姿態(tài)變化四元數(shù)。結(jié)合式（8）和式（9）有

姿態(tài)矩陣是正交陣，姿態(tài)矩陣可逆，根據(jù)姿態(tài)陣與四元數(shù)的等價關(guān)系，姿態(tài)四元數(shù)亦可逆，因此可得

同理，姿態(tài)變化四元數(shù)也可逆，則式（11）可以寫為

式中：p-1（h）為姿態(tài)變化四元數(shù)p（h）的逆。一般地，求取框架四元數(shù)后，要求對框架四元數(shù)進(jìn)行規(guī)范化，式（12）可以簡化為

式中：p＊（h）為姿態(tài)變化四元數(shù)p（h）的共軛四元數(shù)。求得框架四元數(shù)后，計算實時框架角：

得到消除彈體擾動的實時天線補(bǔ)償角［14-15］：

由此可知，為消除彈體擾動的影響，捷聯(lián)解耦與彈體初始姿態(tài)無關(guān)。在計算框架四元數(shù)的過程中，無需求取彈體姿態(tài)角，只需進(jìn)行框架四元數(shù)更新，從而計算實時框架角，得到天線補(bǔ)償角，實現(xiàn)捷聯(lián)解耦。因此，相控陣?yán)走_(dá)導(dǎo)引頭在捷聯(lián)解耦過程中，無需進(jìn)行初始對準(zhǔn)，縮短了武器系統(tǒng)準(zhǔn)備時間，該算法簡單，計算量小，易于工程實現(xiàn)。

3 實現(xiàn)過程

相控陣?yán)走_(dá)導(dǎo)引頭為消除彈體擾動，通過慣性測量單元測量的彈體角速度更新框架四元數(shù)，從而更新框架角，實現(xiàn)天線波束指向在慣性空間保持不變。該算法需要的輸入信息：

a）初始時刻框架方位角和框架俯仰角；

b）實時彈體角速度信息ωx、ωy、ωz。

3.1 初始化

3.2 實時框架角

通過當(dāng)前時刻tk彈體姿態(tài)變化四元數(shù)的共軛四元數(shù)與上一時刻tk-1框架四元數(shù)q（tk-1）相乘，得到當(dāng)前時刻tk框架四元數(shù)q（tk），通過反三角函數(shù)計算當(dāng)前時刻tk框架方位角λy（k）和框架俯仰角λz（k）。設(shè)慣性測量單元在時刻t1、t2測量得到彈體角速度矢量分別為ω1、ω2，則根據(jù)等效旋轉(zhuǎn)矢量的二子樣算法，可得

其中：

由式（16）得等效旋轉(zhuǎn)矢量為

3.3 捷聯(lián)解耦天線補(bǔ)償角

根據(jù)上一時刻的框架方位角λy（k-1）、框架俯仰角λy（k-1），結(jié)合當(dāng)前時刻框架方位角λy（k）、框架俯仰角λz（k），利用式（15）計算消除彈體擾動的天線補(bǔ)償角Δλy（k）、Δλz（k）。

4 數(shù)學(xué)仿真分析

相控陣捷聯(lián)導(dǎo)引頭捷聯(lián)解耦可以利用隔離度衡量解耦效果。隔離度是捷聯(lián)解耦的主要指標(biāo)，計算式為

式中：Δε 為慣性空間中天線波束指向變化的幅值；Δθ 為彈體擾動角度幅值。

隔離度越小，平臺對彈體擾動的隔離能力越強(qiáng)，導(dǎo)引頭能達(dá)到的穩(wěn)定精度越高。

設(shè)天線初始框架角λy（0）＝λz（0）＝0，彈體偏航、俯仰和滾動擾動角度幅值均為3°，頻率為3Hz。捷聯(lián)解耦周期是10 ms，即每10 ms完成一次補(bǔ)償角求取，不考慮系統(tǒng)傳輸延時和天線控制周期，進(jìn)行捷聯(lián)解耦，該狀態(tài)對應(yīng)彈體初始姿態(tài)角均為0°，數(shù)學(xué)仿真結(jié)果曲線如圖1和圖2所示。

圖1 初始姿態(tài)角為0°時框架方位角誤差

由圖1和圖2可以看出，初始框架角均為0°，框架方位角誤差變化幅值為0.013°，框架俯仰角誤差變化幅值為0.015°，因此隔離度為0.5%。

圖2 初始姿態(tài)角為0°時框架俯仰角誤差

為驗證捷聯(lián)解耦無需初始對準(zhǔn)，設(shè)天線初始框架角為λy（0）＝-2.26°，λz（0）＝-2.81°，進(jìn)行捷聯(lián)解耦，數(shù)學(xué)仿真結(jié)果如圖3和圖4所示。該狀態(tài)對應(yīng)彈體初始滾動角為5°，偏航角為2°，俯仰角為3°。

由圖3 和圖4 可以看出，當(dāng)初始框架角為λy（0）＝-2.26°，λz（0）＝-2.81°，框架方位角誤差變化幅值為0.015°，框架俯仰角誤差變化幅值為0.013°，因此隔離度為0.5%。

圖3 初始姿態(tài)角不為0°時框架方位角誤差

從圖1到圖4的仿真結(jié)果可以看出，給定不同初始框架角，捷聯(lián)解耦隔離度可以滿足小于5%的工程應(yīng)用要求。為驗證捷聯(lián)解耦效果，選取不同的擾動參數(shù)，設(shè)天線初始框架角為λy（0）＝λz（0）＝0°，彈體偏航、俯仰和滾動擾動角度幅值均為3°，頻率為3Hz。捷聯(lián)解耦周期是5 ms，進(jìn)行捷聯(lián)解耦，數(shù)學(xué)仿真結(jié)果如圖5和圖6所示。

圖4 初始姿態(tài)角不為0°時框架俯仰角誤差

圖5 框架方位角誤差（擾動頻率3Hz，解耦周期5ms）

圖6 框架俯仰角誤差（擾動頻率3Hz，解耦周期5ms）

由圖5和圖6可以看出，初始框架角均為0°，擾動頻率3Hz，解耦周期5ms，框架方位角誤差變化幅值為0.002 6°，框架俯仰角誤差變化幅值為0.003 2°，因此隔離度為0.1%。

設(shè)擾動頻率為5 Hz，其余仿真條件不變，進(jìn)行捷聯(lián)解耦，數(shù)學(xué)仿真結(jié)果如圖7和圖8所示。

圖7 框架方位角誤差（擾動頻率5Hz，解耦周期5ms）

圖8 框架俯仰角誤差（擾動頻率5Hz，解耦周期5ms）

由圖7和圖8可以看出，初始框架角均為0°，擾動頻率5 Hz，解耦周期5ms，框架方位角誤差變化幅值為0.008 4°，框架俯仰角誤差變化幅值為0.009 9°，因此隔離度為0.3%。

從仿真結(jié)果分析，捷聯(lián)解耦周期越短，彈體擾動頻率越低，隔離度越小。

5 結(jié)論

本文基于二子樣等效旋轉(zhuǎn)矢量法提出了一種相控陣?yán)走_(dá)導(dǎo)引頭捷聯(lián)解耦方法，得出結(jié)論如下：

a）初始對準(zhǔn)是慣導(dǎo)系統(tǒng)的一個十分重要的問題，對于需要快速反應(yīng)的武器系統(tǒng)，要求進(jìn)行快速和高精度初始對準(zhǔn)，本文推導(dǎo)的算法無需進(jìn)行初始對準(zhǔn)，為武器系統(tǒng)快速反應(yīng)節(jié)省了時間；

b）解耦過程中，無需計算彈體姿態(tài)角，只需計算由天線框架角構(gòu)成的轉(zhuǎn)換矩陣對應(yīng)的四元數(shù)，就可以完成捷聯(lián)解耦，因此算法簡單，計算量?。?/p>

c）通過仿真驗證，導(dǎo)引頭隔離度小于5%，可以滿足捷聯(lián)解耦工程應(yīng)用要求；比較仿真結(jié)果，解耦周期短，擾動頻率低，得到解耦隔離度小。

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