崔 治，鄧曙光，肖衛(wèi)初

(湖南城市學(xué)院通信與電子工程學(xué)院，益陽413000)

引 言

3維激光掃描是以獲取被測物體輪廓數(shù)據(jù)為目的的一種成像技術(shù)，與一般CCD成像相比，利用3維激光掃描獲取的圖像紋理豐富、分辨率高、具有更好的強(qiáng)度和范圍信息，在目標(biāo)探測、遙感和醫(yī)學(xué)等方面潛力巨大［1］。然而在實(shí)際工作中，3維激光掃描圖像不可避免地受到環(huán)境噪聲、儀器噪聲和信號傳輸過程中的隨機(jī)噪聲等的影響引起圖像質(zhì)量下降，進(jìn)而影響到信息的正確表達(dá)。因此，對獲取的掃描圖像進(jìn)行噪聲分析、評估和去噪一直是相關(guān)領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)。

目前，針對激光掃描圖像的去噪，常用的方法是基于變換域的處理方法，這種方法認(rèn)為圖像中噪聲的能量主要集中在高頻部分，而內(nèi)容等細(xì)節(jié)特征分布在低頻部分，通過尋找圖像中頻譜分布的規(guī)律，從頻域上將圖像的內(nèi)容等細(xì)節(jié)特征和噪聲分開，可以達(dá)到去噪的目的［2］。但是，大量的實(shí)驗(yàn)表明，在現(xiàn)實(shí)條件下采集到的圖像，其頻譜中的高頻部分也含有與內(nèi)容相關(guān)的細(xì)節(jié)，在低頻部分也能檢測到噪聲的存在，當(dāng)按照上述變換域方法進(jìn)行去噪時，圖像的一部分內(nèi)容細(xì)節(jié)會隨著噪聲的濾除而丟失，而位于低頻部分的噪聲卻無法被很好地去除［3］。

稀疏表示理論作為一種新興的信號分析與處理理論，近年來受到廣泛的關(guān)注。該方法的基本思想是采用過完備字典中的冗余基系統(tǒng)來取代變換域方法中的正交基系統(tǒng)，對信號的稀疏分解就是從過完備字典中選擇具有最佳組合的若干個原子來表示信號，通過判斷數(shù)據(jù)在字典上是否具有稀疏表示來區(qū)分有用信息與噪聲，實(shí)現(xiàn)去噪的目的［4］。參考文獻(xiàn)［5］中提出一種基于核模糊聚類的去噪方法，該方法通過將圖像分成大小相同的若干塊并對相似的圖像塊進(jìn)行C均值聚類，使同類圖像塊能共享相同的稀疏去噪模型從而實(shí)現(xiàn)去噪的目的。參考文獻(xiàn)［6］利用K-means和主成分分析構(gòu)造了一種貝葉斯去噪模型，利用正則化條件計(jì)算原始圖像與學(xué)習(xí)字典的差，以達(dá)到優(yōu)化噪聲的效果。文獻(xiàn)［7］提出基于自適應(yīng)聚類的去噪算法，采用K-means算法訓(xùn)練過完備字典，利用訓(xùn)練中的每一步迭代自適應(yīng)的更新字典原子，最后利用正交匹配追蹤算法(orthogonal matching pursuit，OMP)對圖像進(jìn)行稀疏表示以實(shí)現(xiàn)圖像去噪。這些研究極大地豐富了稀疏表示應(yīng)用，取得了較好的效果。

但是，現(xiàn)有基于稀疏表示的圖像去噪方法大多以去噪前后兩幅圖像的重構(gòu)誤差作為保真項(xiàng)，以硬閾值作為迭代的終止條件，將其應(yīng)用于3維激光圖像去噪時，在去噪的同時有可能丟失圖像的結(jié)構(gòu)特征等重要信息。鑒于此，本文中將直方圖結(jié)構(gòu)相似度(histogram structural similarity，HSSIM)和信號分解殘差比概念引入稀疏表示應(yīng)用，提出一種基于融合直方圖結(jié)構(gòu)相似度和殘差比閾值的改進(jìn)算法，并對不同噪聲水準(zhǔn)下不同圖像的峰值信噪比(peak signal-to-noise ratio，PSNR)和HSSIM數(shù)據(jù)及視覺主觀效果進(jìn)行對比，以此評估算法的性能。

1 3維激光掃描圖像稀疏去噪原理

1.1 去噪模型

一般情況下，一幅位移不變的3維激光掃描圖像可用下面的方程表示:

式中，矩陣X，Y和Z分別表示觀測圖像、原始清晰圖像(理想圖像)和降質(zhì)過程中引入的噪聲。對圖像進(jìn)行去噪的目的就是在上面模型中去除噪聲或者降低噪聲Z帶來的影響，使觀測圖像X與原始清晰圖像Y之間的差別最小。

式中，a∈Rm為稀疏表示系數(shù);為a的非零項(xiàng)的個數(shù)，表示a的稀疏度;D為字典;ε為微小正常數(shù)。

假定圖像X是通過加入標(biāo)準(zhǔn)差為σ的高斯白噪聲而降質(zhì)得到，則對X進(jìn)行去噪的結(jié)果為下面方程的解［9］:

式中，T為硬閾值，其它參量的釋義與上面一致。去噪后的圖像可表示為Y=D^a。

將(3)式中的約束條件轉(zhuǎn)化為懲罰項(xiàng)，根據(jù)正則化優(yōu)化的思想可以將(3)式改寫為［10］:

式中，u是正則化參量。求解上式是一個 NP-hard問題，當(dāng)u取合適值時，(3)式和(4)式可以相互等價的轉(zhuǎn)換。

1.2 對去噪模型的求解

2 基于HSSIM和殘差比的去噪算法

2.1 HSSIM和殘差比的概念

首先定義兩組指標(biāo)。

(1)HSSIM

直方圖結(jié)構(gòu)相似度(HSSIM)是在對人眼視覺系統(tǒng)的特性進(jìn)行分析時提出的一種新的圖像質(zhì)量評價指標(biāo)。若用x，y代表觀測圖像和原始圖像，用H(x，y)表示求兩者的直方圖結(jié)構(gòu)相似度，其計(jì)算式如下［12］:

式中，μx和μy是兩幅圖像的均值;σx和σy是兩幅圖像的方差;c1，c2，c3是和圖像中像素值取值范圍有關(guān)的極小正常數(shù);sx和sy是兩幅圖像的模糊度。

HSSIM是一個大于0而小于1的數(shù)，越接近1表明兩幅圖像在結(jié)構(gòu)上的相似度越高，反之則表明相似度越低。

(2)殘差比

對(1)式進(jìn)行如下修改:

式中，Xi表示觀測圖像矩陣的列向量，Yi表示清晰圖像轉(zhuǎn)化后的列向量，Δω 表示 Yi的帶寬，和 ZΔω分別表示位于頻帶Δω之內(nèi)和之外的噪聲。參考文獻(xiàn)［13］中認(rèn)為，ZΔω與字典中的所有原子均正交，因此對圖像進(jìn)行第m步和第m+1步稀疏分解的殘差可以由下式表示:

式中，Rk(·)表示第k步分解的殘差。

則殘差比為:

式中，β為規(guī)格化系數(shù):

式中，E表示求期望值。

2.2 本文中算法設(shè)計(jì)

綜合上述分析，本文中提出一種改進(jìn)的3維激光掃描圖像去噪模型:

式中，等號右邊的第1項(xiàng)和第2項(xiàng)為約束項(xiàng)，第3項(xiàng)是相似因子，用來取代重構(gòu)誤差作為新的保真項(xiàng)進(jìn)行迭代計(jì)算，H(·)表示求取直方圖結(jié)構(gòu)相似度。

對本文中模型進(jìn)行求解，先假定D為已知過完備字典，代入初始條件為Y=X，可得每個圖像塊的最優(yōu)解:

令1－H(Daij，RijY)＜η(η 為殘差比閾值)，通過求取偏導(dǎo)數(shù)求解(16)式得到去噪圖像的求解結(jié)果:

式中，I為單位矩陣。

由此可以歸納本文中算法的步驟如下。

(1)采用過完備的離散余弦變換(discrete cosine transform，DCT)字典為初始化字典D，代入初始條件Y=X。

(2)根據(jù)(9)式，將直方圖結(jié)構(gòu)相似度加入到正交匹配追蹤算法中，對每個圖像塊進(jìn)行稀疏編碼。在此過程中，將迭代終止條件修改為1－H(Daij，RijY)＜η。綜合考慮去噪效果和算法效率，經(jīng)多次對比后確定殘差比閾值取值為0.005。

上面方程可以通過對Ek進(jìn)行奇異值分解并求取1秩逼近來求解:

式中，U，V是m×m和n×n的酉矩陣，Δ是m×n的半正定對角陣。更新后的字典原子的第1列就是U的第1列，而稀疏系數(shù)矩陣更新后的第1列是Δ(1，1)和VT相乘后的第1列。

重復(fù)步驟(3)，直到全部迭代結(jié)束，得到稀疏字典。

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

為了測試本文中算法的性能，選取3維激光掃描圖像測試庫中的島嶼、丘陵和雕刻版掃描圖進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，如圖1a、圖2a和圖3a所示。3幅圖像的大小均為256像素×256像素，位深均為8，由圖可見，它們具有豐富的細(xì)節(jié)特征。

Fig.1 Laser-1 image with the denoised results of four methods

Fig.2 Laser-2 image with the denoised results of four methods

Fig.3 Laser-3 image with the denoised results of four methods

給3幅圖像分別添加方差σ為10，15，20的高斯白噪聲，再分別采用db2小波硬閾值去噪法、多尺度曲波變換(curvelet)、DCT和本文中算法進(jìn)行對比性去噪實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)所用軟件為MATLAB 7.0，從評價的客觀性方面考慮，除了從視覺感受上來評價去噪圖像，還采用PSNR和HSSIM作為客觀指標(biāo)來衡量不同算法的去噪效果。這兩項(xiàng)數(shù)據(jù)越大，表明算法的去噪效果越好，圖像特征保留的程度越高。對圖1a、圖2a和圖3a這3幅圖像采用上述4種方法去噪后的PSNR和HSSIM數(shù)據(jù)如表1和表2所示。從表中可以看到，對于相同的圖像，在添加的噪聲方差相同的情況下，采用本文中算法獲得的PSNR和HSSIM數(shù)據(jù)要優(yōu)于其它3種方法。如對laser-2(丘陵)圖像加入σ=10的白噪聲后，采用本文中算法去噪后的PSNR值為36.17dB，相比db2小波變換、curvelet變換和離散余弦變換分別高出 6.24dB，0.35dB 和0.06dB;采用本文中算法獲得的HSSIM值為0.9764，相比db2小波變換、curvelet變換和離散余弦變換則提高了 0.1113，0.0296和0.0162。對不同的圖像加入不同水平的噪聲，采用本文中算法的結(jié)果依然優(yōu)于其它3種方法。分析原因如下:(1)多尺度變換存在選擇最優(yōu)基函數(shù)和最佳分解層數(shù)的問題，在基函數(shù)和分解尺度未進(jìn)行最優(yōu)匹配的情況下，處理結(jié)果不盡如人意;(2)多尺度變換在分解與重構(gòu)的過程中有可能將圖像邊緣等結(jié)構(gòu)特征當(dāng)成高頻噪聲去除，導(dǎo)致去噪結(jié)果不理想。而稀疏表示將可用信息與噪聲進(jìn)行確定性的區(qū)分，全面地從帶噪圖像中提取有用信息，實(shí)現(xiàn)對圖像的高質(zhì)量重構(gòu)，因此基于稀疏表示的方法處理效果較好。同時，本文中算法利用結(jié)構(gòu)相似性因子作為保真項(xiàng)，利用殘差比閾值作為迭代終止條件，在保留圖像特征信息方面更具優(yōu)勢，更符合人眼視覺系統(tǒng)的特性，去噪效果更好。

Table 1 Comparison of PSNR of four de-noising methods

Table 2 Comparison of HSSIM of four de-noising methods

對實(shí)驗(yàn)圖像添加σ=20的白噪聲，分別采用上述4種方法處理后的效果如圖1～圖3所示。由圖可見，從主觀視覺效果上來看，本文中算法要優(yōu)于其它3種方法。由上述分析可知，在不同的噪聲條件下，針對不同的圖像，本文中算法均具有較好的去噪能力和較強(qiáng)的魯棒性。

4 結(jié)論

基于稀疏表示理論，提出了一種以相似因子取代重構(gòu)誤差平方和，以殘差比閾值替代硬閾值來實(shí)現(xiàn)稀疏分解的算法。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，從PSNR，HSSIM等客觀評價標(biāo)準(zhǔn)和主觀視覺效果兩個方面來看，本文中算法均具有較好的去噪能力和較強(qiáng)的魯棒性。對字典進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)和對閾值條件進(jìn)行改進(jìn)將是下一步的研究方向。

［1］ ZHANG H X.Study on building modeling based on 3-D laser scanning technology［J］.Laser Technology，2014，38(3):431-434(in Chinese).

［2］ XU Y F，XU J，ZHAO F L，et al.Laser active image denoising method based on wavelet transform［J］.High Power Laser and Particle Beams，2009，21(12):1786-1790(in Chinese).

［3］ CAI Z M，LAI J H.An over-complete learned dictionary-based image de-noising method［J］.Acta Electronica Sinica，2009，37(2):347-350(in Chinese).

［4］ ELAD M，AHARON M.Image denoising via sparse and redundant representations over learned dictionaries［J］.IEEE Transactions on Image Processing，2006，12(15):3736-3745.

［5］ WU U Q，LI L.Image denoising using kernel fuzzy clustering and regularization on sparse model［J］.Acta Photonica Sinica，2014，43(3):1-7(in Chinese).

［6］ WANG C，SU W M，GU H，et al.SAR image despeckling based on morphological component analysis［J］.Chinese Journal of Radio Science，2013，28(3):448-454(in Chinese).

［7］ WEI Y L，WEN X B，ZHOU Y L，et al.New self-adaptive method for image denoising based on sparse decomposition and clustering［J］.Journal of Computer Applications，2013，33(2):476-479(in Chinese).

［8］ MA L，DENG C Z，WANG S Q，et al.Feature-retained image denoising via sparse representation［J］.Journal of Computer Applications，2013，33(5):1416-1419(in Chinese).

［9］ DABOV K，F(xiàn)OI A，KATAKOVIK V，et al.Image denoising by sparse 3-D transform-domain collaborative filtering［J］.IEEE Transactions on Image Processing，2007，16(8):2080-2095.

［10］ FANG L Y，LI S T，MCNABB R，et al.Fast acquisition and reconstruction of optical coherence tomography images via sparse representation［J］.IEEE Transactions on Medical Imaging，2013，32(11):2034-2049.

［11］ AHARON M，ELAD M，BRUCKSTEIN.K-SVD:an algorithm for designing overcomplete dictionaries for sparse representation［J］.IEEE Transactions on Image Processing，2006，54(11):4311-4322.

［12］ ZHU L，LI Q L，ZHANG T，et al.Metric of image quality based on structural simnarity［J］.Opto-Electronic Engineering，2007，34(11):108-113(in Chinese).

［13］ LIANG W，QUE P W，CHEN L，et al.Residual ratio iteration termination condition for MP method［J］.Journal of Shanghai Jiaotong University，2010，44(2):171-175(in Chinese).