崔春義，張石平，楊 剛，許成順，李曉飛

(1.大連海事大學(xué) 土木工程系，遼寧 大連 116026；2.北京工業(yè)大學(xué) 建筑工程學(xué)院，北京 100022)

?

飽和黏彈性半空間中摩擦樁的豎向振動(dòng)

崔春義1,2，張石平1，楊 剛1，許成順2，李曉飛1

(1.大連海事大學(xué) 土木工程系，遼寧 大連 116026；2.北京工業(yè)大學(xué) 建筑工程學(xué)院，北京 100022)

為深入了解飽和黏彈性半空間地基中摩擦樁的豎向振動(dòng)特性，基于Boer多孔介質(zhì)理論，考慮激振頻率對(duì)摩擦樁樁底土體動(dòng)剛度的影響，采用平面應(yīng)變模型并結(jié)合樁土接觸面的混合邊值條件，推導(dǎo)求解得出了飽和黏彈性半空間地基中摩擦樁的豎向動(dòng)力阻抗模型公式和樁頂速度時(shí)域響應(yīng)解并驗(yàn)證了其合理性。進(jìn)一步通過(guò)參數(shù)化對(duì)比分析探討了樁基埋深比和土體滲透系數(shù)對(duì)所得豎向動(dòng)力阻抗和樁頂速度時(shí)域響應(yīng)的影響規(guī)律。解析推導(dǎo)得出的對(duì)應(yīng)豎向動(dòng)力阻抗模型公式和樁頂速度時(shí)域響應(yīng)解，豐富了樁基動(dòng)力學(xué)的理論，可為相關(guān)工程實(shí)踐提供參考和理論支持。

摩擦樁；豎向振動(dòng)；飽和黏彈性半空間；Boer多孔介質(zhì)理論

摩擦樁是一種廣泛應(yīng)用的樁基礎(chǔ)形式，由于樁周土層多為固液兩相耦合的飽和多孔介質(zhì)，因此，飽和地基中摩擦樁振動(dòng)問(wèn)題一直以來(lái)都是學(xué)術(shù)界和工程界的研究熱點(diǎn)[1-9]。目前，諸多學(xué)者已圍繞飽和地基中摩擦樁振動(dòng)問(wèn)題進(jìn)行了研究，并取得了較為豐富的成果。李強(qiáng)等[10-11]在三維軸對(duì)稱條件下，通過(guò)求解Biot動(dòng)力固結(jié)方程，得出單層飽和彈性土阻抗因子解析公式和摩擦樁豎向振動(dòng)解，并對(duì)樁周剪應(yīng)力分布、樁頂頻率和時(shí)域響應(yīng)進(jìn)行了參數(shù)化分析，同時(shí)探討了滲透力、土層厚度、土層底部反力系數(shù)、樁土模量比對(duì)土層阻抗的影響。王桂敏等[12]通過(guò)建立單層彈性飽和土中樁豎向振動(dòng)簡(jiǎn)化模型，基于Biot理論和一維桿件理論，得出了樁土耦合振動(dòng)頻域解析解，并分析了樁豎向振動(dòng)特性的主要影響因素。程澤海等[13]考慮沉樁過(guò)程中樁周土受到擾動(dòng)產(chǎn)生的軟化和硬化現(xiàn)象,建立了飽和彈性地基中徑向分區(qū)樁豎向振動(dòng)簡(jiǎn)化模型,得到了樁豎向振動(dòng)頻域解析解和時(shí)域半解析解。丁選明等[14]建立了軸對(duì)稱飽和地基中現(xiàn)澆薄壁管樁縱向振動(dòng)簡(jiǎn)化模型，分析了樁周土和樁芯土阻尼系數(shù)對(duì)樁頂速度導(dǎo)納和動(dòng)力阻抗的影響。上述已有研究成果均是基于Biot動(dòng)力控制方程展開(kāi)，但Edelman等[15]指出了Biot動(dòng)力控制方程中質(zhì)量守恒方程和動(dòng)量守恒方程存在一定局限性和不足，認(rèn)為Biot理論本質(zhì)上是一種工程描述方法。在此基礎(chǔ)上，Boer等人[16-17]提出了同時(shí)滿足質(zhì)量守恒定律和熱動(dòng)力學(xué)定律等物理公理的多孔介質(zhì)理論，相比Biot理論其推導(dǎo)更加嚴(yán)密，且合理性和準(zhǔn)確性已在相關(guān)研究中得到驗(yàn)證[15-17]。而后，劉林超等[18]基于Boer多孔介質(zhì)理論采用勢(shì)函數(shù)法研究了飽和土中端承樁的豎向耦合振動(dòng)問(wèn)題。此外，在前述關(guān)于摩擦樁的研究成果中所采用的樁底土層動(dòng)剛度均是常數(shù)，并未考慮土層動(dòng)剛度隨激振頻率的變化關(guān)系，而文獻(xiàn)[19-20]通過(guò)研究表明激振頻率對(duì)基底土層動(dòng)剛度具有顯著影響。

為此，本文將基于Boer多孔介質(zhì)動(dòng)力控制方程，考慮激振頻率對(duì)摩擦樁樁底土層動(dòng)剛度的影響，采用平面應(yīng)變模型并結(jié)合樁土接觸面的混合邊值條件，推導(dǎo)求解相關(guān)方程組得出飽和黏彈性半空間地基中摩擦樁的豎向動(dòng)力阻抗公式，進(jìn)而通過(guò)Fourier逆變換得到半正弦脈沖波作用下樁頂?shù)乃俣葧r(shí)域響應(yīng)解，在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步分析激振頻率、樁基礎(chǔ)埋深、飽和土滲透系數(shù)對(duì)摩擦樁豎向振動(dòng)特性的影響規(guī)律。

1 飽和黏彈性半空間中摩擦單樁樁頂豎向動(dòng)力阻抗及速度時(shí)域響應(yīng)推導(dǎo)與求解

基于Boer[16-17]理論，飽和黏彈性地基土體的動(dòng)力控制方程為

(λS+μS)grad divUS+μSdiv gradUS-

(1)

(2)

(3)

式中：η為土體黏滯阻尼系數(shù)；υ為土體泊松比；E為土體彈性模量；γLR為流體真實(shí)比重；kL為土體Darcy滲透系數(shù)。

(4)

(iωSv-ρLω2)WL=iωSvWS

(5)

聯(lián)立上式可推得

(6)

解該方程得

WS=AI0(qr)+BK0(qr)

(7)

式中：A、B為方程未知系數(shù)，可進(jìn)一步由樁土系統(tǒng)邊界條件求得。

圖1 力學(xué)模型與坐標(biāo)系統(tǒng)Fig.1 Mechanics model and coordinate system

根據(jù)飽和黏彈性半空間地基無(wú)限遠(yuǎn)處位移為零的邊界條件可知A=0。另外，在樁土接觸面處位移滿足

wS(r0,t)=w0eiω t

(8)

所以有

(9)

則

(10)

樁周剪應(yīng)力為

(11)

沿樁周對(duì)剪應(yīng)力積分可得到土體對(duì)樁基的作用力為

(12)

建立樁基動(dòng)力平衡方程為

(13)

采用分離變量法有wp(z,t)=Wpeiω t

(14)

則有

(15)

解該方程可得

Wp=A1cos(Λz)+B1sin(Λz)

(16)

根據(jù)樁土系統(tǒng)邊界條件，在樁頭處有

(17)

樁底反力由半空間理論[21]計(jì)算得出

R=-Gr0KbWp(L)

(18)

(19)

式(19)為第二類Fredholm積分方程，可通過(guò)數(shù)值方法求解得到Φ(x)。方程中

設(shè)樁的內(nèi)力以拉為正，則有

(20)

樁底內(nèi)力等于半空間的反力，于是有

R=-N(z)

(21)

綜合式(17)和(21)所述邊界條件求解可得

(22)

樁頂?shù)膭?dòng)力阻抗可定義為

(23)

即

(24)

則有

Kz=kw+icw

(25)

定義單樁豎向動(dòng)力阻抗因子為

(26)

由此可得樁頂速度響應(yīng)函數(shù)為

(27)

將其無(wú)量綱化為

(28)

在基樁低應(yīng)變動(dòng)測(cè)時(shí)，可將樁頂荷載簡(jiǎn)化為半正弦脈沖激勵(lì)，即

(29)

式中：t∈(0,T)；T為脈沖寬度。

根據(jù)Fourier逆變換的性質(zhì)，通過(guò)對(duì)樁頂激勵(lì)與樁頂速度頻域響應(yīng)函數(shù)的Fourier逆變換進(jìn)行卷積可得樁頂時(shí)域半解析解表達(dá)式為

V(t)=q(t)×IFT(H(ω))=IFT(Q(ω)·H(ω))

(30)

無(wú)量綱后化為

(31)

2 數(shù)值算例分析

為了驗(yàn)證本文所推導(dǎo)飽和黏彈性半空間中摩擦樁豎向動(dòng)力阻抗因子模型的正確性，將本文結(jié)果退化為樁底為剛性基巖支承時(shí)的解與文獻(xiàn)[22]中相應(yīng)端承樁解隨無(wú)量綱激振頻率a0的變化曲線進(jìn)行了比較分析，如圖2所示。從圖中可以看出，本文與文獻(xiàn)[22]中對(duì)應(yīng)動(dòng)力阻抗因子曲線吻合較好，從而在一定程度上反映了本文所推導(dǎo)計(jì)算模型的合理性與正確性。

數(shù)值算例基于圖1所示力學(xué)模型與坐標(biāo)系統(tǒng)，采用前述求解驗(yàn)證的飽和黏彈性半空間中摩擦樁豎向動(dòng)力阻抗模型，具體土層參數(shù)取值為：土體剪切模量G=19.7 MPa，泊松比υ=0.2，土體孔隙率nL=0.4，土體密度ρS=1 800 kg/m3，孔液密度ρL=1 000 kg/m3。樁基彈性模量Ep=20 GPa，密度ρp=2 500 kg/m3。無(wú)量綱激振頻率a0范圍取為0

圖2 樁頂退化豎向動(dòng)力阻抗因子隨無(wú)量綱激振頻率變化曲線對(duì)比情況Fig.2 Comparison of reduced dynamic impedance factorat pile cap against excitation frequency

圖3所示為不同埋深比對(duì)應(yīng)的樁頂動(dòng)力阻抗及速度時(shí)域響應(yīng)隨激振頻率的變化情況。由圖可見(jiàn)，激振頻率對(duì)樁頂動(dòng)力阻抗有顯著影響。隨著激振頻率的增大，動(dòng)力阻抗實(shí)部曲線隨激振頻率呈現(xiàn)波動(dòng)變化，且埋深比越大，此波動(dòng)變化的變異性越強(qiáng)。相應(yīng)地，動(dòng)力阻抗虛部絕對(duì)值基本隨激振頻率呈增大趨勢(shì)。其對(duì)應(yīng)的埋深比越小，波動(dòng)變化變異性越明顯。從樁頂速度時(shí)域響應(yīng)變化曲線可以看出，樁基在振動(dòng)過(guò)程中伴隨著應(yīng)力波反射現(xiàn)象，且樁基埋深比越大，相應(yīng)的波反射現(xiàn)象出現(xiàn)時(shí)間越滯后，且二次反射幅值顯著減小，反映了振動(dòng)在傳播過(guò)程中伴隨著的能量耗散現(xiàn)象。

圖4所示為不同地基土滲透系數(shù)對(duì)應(yīng)的樁頂動(dòng)力阻抗及速度時(shí)域響應(yīng)隨激振頻率的變化情況。由圖可見(jiàn)，滲透系數(shù)變化對(duì)樁頂動(dòng)力阻抗實(shí)部及虛部隨激振頻率變化曲線的影響均很小，僅在高頻階段，實(shí)部曲線波動(dòng)極值隨滲透系數(shù)的增大而略有小幅增大。另外，地基土滲透系數(shù)變化對(duì)樁頂速度響應(yīng)隨無(wú)量綱時(shí)間的變化曲線基本上沒(méi)有影響。

圖3 樁基動(dòng)力特性隨埋深比的變化Fig.3 Dynamic impedance characteristics of pile cap versus burial depth ratio

圖4 樁基動(dòng)力特性隨地基滲透系數(shù)的變化Fig.4 Dynamic impedance characteristics of pile cap versus permeability coefficient of soil

3 結(jié)論

基于Boer多孔介質(zhì)理論，考慮了激振頻率對(duì)摩擦樁樁底土層動(dòng)剛度的影響，采用平面應(yīng)變模型并結(jié)合樁土接觸面的混合邊值條件，求解驗(yàn)證得出了飽和黏彈性半空間地基中摩擦樁的豎向動(dòng)力阻抗模型公式和樁頂速度時(shí)域響應(yīng)解，通過(guò)進(jìn)一步計(jì)算分析表明：

1)隨著激振頻率的增大，樁頂動(dòng)力阻抗實(shí)部曲線隨激振頻率呈現(xiàn)波動(dòng)變化，且埋深比越大，此波動(dòng)變化的變異性越強(qiáng)。動(dòng)力阻抗虛部絕對(duì)值基本隨激振頻率呈增大趨勢(shì)，且埋深比越小，波動(dòng)變化變異性越明顯，同時(shí)應(yīng)力波反射現(xiàn)象也越顯著。

2)地基土滲透系數(shù)變化對(duì)樁頂動(dòng)力阻抗實(shí)部及虛部隨激振頻率變化曲線的影響均很小，僅在高頻階段，實(shí)部曲線波動(dòng)極值隨滲透系數(shù)的增大而略有小幅增大；而滲透系數(shù)變化對(duì)樁頂速度時(shí)域響應(yīng)曲線基本上沒(méi)有影響。

3)基于解析推導(dǎo)提出的飽和黏彈性半空間地基中摩擦樁的豎向動(dòng)力阻抗模型公式和樁頂速度時(shí)域響應(yīng)解具有良好的合理性，豐富了樁基動(dòng)力學(xué)的理論，可為具體工程應(yīng)用提供參考和理論支持。

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(編輯 王秀玲)

Vertical vibration of friction pile in saturated viscoelastic half-space

CuiChunyi1，2，ZhangShiping1，YangGang1，XuChengshun2，LiXiaofei1
(1. Institute of Road and Bridge Engineering，Dalian Maritime University，Dalian 116026，Liaoning，P.R.China;2. School of Civil Engineering，Beijing University of Technology，Beijing 100022，P.R.China)

Analytical solutions of vertical dynamic impedance and velocity response at pile cap for vibration of friction pile in saturated viscoelastic half-space foundation were obtained and verified by considering plain strain model and mixed boundary condition of pile-soil interface as well as effect of excitation frequency based on Boer’s porous medium theory for a deeper comprehension of its vertical vibration characteristics. Furthermore，effects of pile depth ratio and permeability coefficient on vertical dynamic impedance and velocity response at pile cap were discussed by parametric comparative analyses. The solutions and results of vertical dynamic impedance and velocity response at pile cap derived diversified the theories of pile dynamics and provided technical references and theoretical support for related engineering practice.

friction pile; vertical vibration; saturated viscoelastic half-space; Boer’s porous medium theory

10.11835/j.issn.1674-4764.2015.02.005

2014-08-21 基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金(50809009、51278015)；中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)(3132015095)

崔春義(1978-)，男，副教授，主要從事巖土工程數(shù)值分析研究，(E-mail)cuichunyi@dlmu.edu.cn。

Foundation item：Natural Science Foundation of China (No. 50809009,51278015)；Fundamental Research Funds for the Central Universities (No. 3132014326)

TU435

A

1674-4764(2015)02-0028-06

Received：2014-08-21

Author brief：Cui Chunyi (1978-), Associate professor, main research interest: numerical analysis of geotechnical engineering,(E-mail)cuichunyi@dlmu.edu.cn.