補(bǔ)愛(ài)軍

(懷化學(xué)院 數(shù)學(xué)系，湖南 懷化 418008)

帶干擾的雙廣義泊松風(fēng)險(xiǎn)模型

補(bǔ)愛(ài)軍

(懷化學(xué)院 數(shù)學(xué)系，湖南 懷化 418008)

廣義齊次泊松過(guò)程； 干擾； 破產(chǎn)概率

1 引言

2 模型的建立

(2-1)

稱(chēng)(2-1)式中所定義的盈余過(guò)程為帶干擾的雙廣義泊松風(fēng)險(xiǎn)模型.

其直觀意義如下：

保險(xiǎn)公司的初始準(zhǔn)備金為u，u≥0，u為常數(shù).在某一時(shí)刻保險(xiǎn)公司收到的保單保費(fèi)可能不止一個(gè)，且每張保單的保費(fèi)獨(dú)立同分布.在某一時(shí)刻，要求索賠的人數(shù)可有不止一個(gè)，但索賠額獨(dú)立同分布，W(t)為隨機(jī)干擾.

令T=inf{t|R(t)<0|R(0)=u} 表示破產(chǎn)時(shí)刻；

Ψ(u)=P{R(t)<0,?t>0} 表示最終破產(chǎn)概率；

Φ(u)=1-Ψ(u) 表示生存概率；

從而

帶干擾的雙廣義泊松風(fēng)險(xiǎn)模型(2-1)可轉(zhuǎn)化為模型：

3 主要結(jié)果

定理3.1 盈余過(guò)程{S(t);t≥0}具有：

(1)平穩(wěn)獨(dú)立增量；

(2)ES(t)=λ1β(1)t-λβαt.

證明 (1)由于泊松過(guò)程和布朗運(yùn)動(dòng)過(guò)程具有齊次獨(dú)立增量性，且它們之間相互獨(dú)立，故結(jié)論成立.

=λ1β(1)t-λβαt

定義相關(guān)安全負(fù)荷為：

定理3.2 盈余過(guò)程{S(t);t≥0}，存在函數(shù)g(r),使得E[e-rS(t)]=etg(r).

由于

其中Mm1(t)(t),MX(1)(t),MZ(t)分別表示m1(t),X(1),Zi的矩母函數(shù).

得E[e-rS(t)]=etg(r).

定理3.3 方程g(r)=0在r>0有唯一正解R,稱(chēng)之為調(diào)節(jié)系數(shù).

證明 顯然g(0)=0

則g′(0)=-λ1β(1)+λαβ<0

從而對(duì)充分小的Δr∈(0,s)，有g(shù)(Δr)<0

又當(dāng)r→∞時(shí),g(r)→∞,故,必存在R>0,使得g(r)=0

又g″(r)=λ1M″X(qián)(1)(-r)+λM″Z(r)+σ2>0,知g(r)為下凸函數(shù),有

故方程g(r)=0在r>0有唯一正解.

定理3.4 盈余過(guò)程{S(t);t≥0}，有E{exp[-R(S(t)-S(S(u)))]}=1.0≤u

證明 由定理3.3知

定理3.5 {Mu(t),u≥0}一FS鞅.

證明 (1)Mu是可測(cè)的；

因此結(jié)論成立.

證明 由于T為破產(chǎn)時(shí)刻，對(duì)于固定的t0，T∧t0為有界停時(shí).

故e-Ru=Mu(0)=E[Mu(t0∧T)]

=E[e-R·R(T)|T

(3-2)

令t0→∞,運(yùn)用單調(diào)收斂原理和控制收斂定理,得

利用上述方法，同理可得以下結(jié)果：

定理3.4 在帶干擾的雙廣義泊松風(fēng)險(xiǎn)模型{R(t),t≥0}下，最終破產(chǎn)概率滿足不等式：

Ψ(u)≤e-Ru

[1]Hans.U.Gerber.數(shù)學(xué)風(fēng)險(xiǎn)論導(dǎo)引(成世學(xué)，嚴(yán)穎)[M].北京：世界圖書(shū)出版公司，1997：129-171.

[2]補(bǔ)愛(ài)軍.保險(xiǎn)費(fèi)收取為泊松過(guò)程下的廣義復(fù)合泊松風(fēng)險(xiǎn)模型[J].數(shù)學(xué)理論與應(yīng)用，2005,25(4)：55-57.

[3]補(bǔ)愛(ài)軍.雙廣義泊松風(fēng)險(xiǎn)模型[J].懷化學(xué)院學(xué)報(bào)，2008，27(2)：19-22.

[4]戚懿.廣義復(fù)合Poisson模型下的破產(chǎn)概率[J].應(yīng)用概率統(tǒng)計(jì)，1999(2):141-146.

[5]GrandllJ.AspectofRiskTheory[M].NewYork:Spring-verlag，1999.

Generalized Double Risk Model with Interference Item

BU Ai-jun

(DepartmentofMathematics,HuaihuaUniversity,Huaihua,Hunan418008)

The classical risk model assumes that the insurance company receives premium at the rate of time constant in per unit time.is a compound Poisson Process in surplus process.This article studies a risk model with the interference item in which both the premium arrival process and the claim counting processes are the generalized homogeneous Poisson processes and meanwhile random disturbance items are added in the model.By the method of Martingale,it puts forward the Lundberg inequality and the formula on the ruin probability based on the model.

the generalized homogeneous Poisson processes; interference; ruin probability

2015-04-01

湖南省教育廳資助項(xiàng)目“帶干擾的廣義復(fù)合泊松風(fēng)險(xiǎn)模型研究”(08C667).

補(bǔ)愛(ài)軍，1970年生，男，湖南芷江人，副教授，研究方向：概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì).

O

A

1671-9743(2015)5-0012-03