劉云龍， 馬云峰， 徐國(guó)盛,2， 王文成

(1. 濰坊學(xué)院 信息與控制工程學(xué)院， 山東 濰坊 261061； 2. 北京交通大學(xué) 電子信息工程學(xué)院， 北京 100044)

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歐拉算子系統(tǒng)柔性變結(jié)構(gòu)控制器設(shè)計(jì)

劉云龍1， 馬云峰1， 徐國(guó)盛1,2， 王文成1

(1. 濰坊學(xué)院 信息與控制工程學(xué)院， 山東 濰坊 261061； 2. 北京交通大學(xué) 電子信息工程學(xué)院， 北京 100044)

針對(duì)帶有不確定參數(shù)的模擬信號(hào)系統(tǒng)，提出了一種基于Sigmoid函數(shù)的飽和變速趨近律方法，設(shè)計(jì)了歐拉算子柔性變結(jié)構(gòu)控制器?；跉W拉算子采樣原理，將模擬信號(hào)系統(tǒng)和采樣信號(hào)系統(tǒng)的變結(jié)構(gòu)控制器設(shè)計(jì)統(tǒng)一到歐拉算子系統(tǒng)。該柔性變結(jié)構(gòu)控制器在采樣頻率很高時(shí)，其穩(wěn)定性仍與相應(yīng)的模擬信號(hào)系統(tǒng)保持一致。給出了一個(gè)有源電力濾波器仿真實(shí)例，比較基于指數(shù)趨近律方法設(shè)計(jì)的變結(jié)構(gòu)控制器，該柔性變結(jié)構(gòu)控制器的抖振幅度較小，基波電流有良好的跟蹤補(bǔ)償。

歐拉算子; 移位算子; 變結(jié)構(gòu); 飽和變速趨近律; 柔性

0 引 言

隨著現(xiàn)代工業(yè)自動(dòng)化的發(fā)展，電子通信，化工流程等實(shí)際領(lǐng)域的檢測(cè)與控制精度越來(lái)越高，以采樣技術(shù)為核心的計(jì)算機(jī)控制(Computer Control, CC)迅速成為控制科學(xué)領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)。采樣控制是按照一定的間隔時(shí)序?qū)δM信號(hào)進(jìn)行樣本采集，將其轉(zhuǎn)換為相應(yīng)的脈沖序列，是計(jì)算機(jī)控制實(shí)現(xiàn)的重要轉(zhuǎn)換途徑。對(duì)于模擬信號(hào)系統(tǒng)，利用移位算子采樣時(shí)，如果頻率過(guò)高，系統(tǒng)狀態(tài)軌線將趨近于穩(wěn)定圓域的邊界，使得采樣系統(tǒng)并不趨近于原來(lái)的模擬信號(hào)系統(tǒng)，可能引起環(huán)形振蕩，甚至造成系統(tǒng)失穩(wěn)，降低控制器使用壽命[1]。歐拉算子是一種增量差分算子，又稱(chēng)為Delta算子，能夠統(tǒng)一描述模擬信號(hào)系統(tǒng)和采樣信號(hào)系統(tǒng)[2]。利用歐拉算子采樣的控制系統(tǒng)能夠較好處理數(shù)字信號(hào)，即使采樣頻率非常高，其穩(wěn)定性仍與原來(lái)的模擬信號(hào)保持一致，在有源電力濾波器(active power filter, APF)[3]、熱能快速轉(zhuǎn)化器[4]等實(shí)際系統(tǒng)中具有廣泛的應(yīng)用。

對(duì)于不確定系統(tǒng)，研究系統(tǒng)可靠性診斷與控制策略?xún)?yōu)化非常重要，如最優(yōu)控制[5]、模糊控制[6]。變結(jié)構(gòu)控制也是一種有效的處理不確定系統(tǒng)的控制策略，在一定的匹配條件下，當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)軌線到達(dá)切換面后，總會(huì)處于滑動(dòng)模態(tài)，具有很強(qiáng)的完全自適應(yīng)性，又稱(chēng)滑?？刂芠7]。趨近律方法是變結(jié)構(gòu)控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)中采用主動(dòng)設(shè)計(jì)思想的算法，實(shí)用可靠。針對(duì)采樣控制系統(tǒng)，文獻(xiàn)[8]提出了采用指數(shù)趨近律，所設(shè)計(jì)的變結(jié)構(gòu)控制器調(diào)節(jié)時(shí)間短，響應(yīng)速度快，但產(chǎn)生了抖振，影響了它的推廣應(yīng)用。文獻(xiàn)[9]給出了能夠趨近平衡狀態(tài)的變速趨近律。人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)技術(shù)中的sigmoid函數(shù)，是典型的具有光滑飽和性的柔性函數(shù)。文獻(xiàn)[10]利用sigmoid函數(shù)改進(jìn)了采樣指數(shù)趨近律。文獻(xiàn)[11]基于sigmoid函數(shù)設(shè)計(jì)了一種軟變結(jié)構(gòu)水下機(jī)器人。文獻(xiàn)[12]基于S型函數(shù)構(gòu)造了受限系統(tǒng)的軟變結(jié)構(gòu)控制器，較好地削弱了系統(tǒng)抖振。文獻(xiàn)[13]給出了歐拉算子變結(jié)構(gòu)控制系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定切換面的充分條件和控制器設(shè)計(jì)。文獻(xiàn)[14]設(shè)計(jì)了基于指數(shù)趨近律方法的歐拉算子變結(jié)構(gòu)控制系統(tǒng)。文獻(xiàn)[15]基于歐拉算子構(gòu)造了不確定魯棒變結(jié)構(gòu)控制器。對(duì)于歐拉算子系統(tǒng)，基于柔性變結(jié)構(gòu)控制策略的研究成果很少。

針對(duì)帶有不確定參數(shù)的模擬信號(hào)系統(tǒng)，基于移位算子采樣的變結(jié)構(gòu)控制系統(tǒng)容易出現(xiàn)抖振的問(wèn)題，利用sigmoid函數(shù)，提出一種飽和變速趨近律，基于歐拉算子采樣，設(shè)計(jì)歐拉算子柔性變結(jié)構(gòu)控制器。該控制器既有效地削弱了系統(tǒng)抖振，又能在有限時(shí)間內(nèi)趨近切換面，最終穩(wěn)定于平衡狀態(tài)，具有良好的動(dòng)態(tài)性能。

1 系統(tǒng)描述

歐拉算子的數(shù)學(xué)表達(dá)式為

(1)

考慮如下模擬信號(hào)系統(tǒng)：

(2)

(3)

其中，I為單位矩陣。利用歐拉算子采樣，得如下系統(tǒng)：

(4)

實(shí)際問(wèn)題中，系統(tǒng)往往存在著未建模動(dòng)力學(xué)等不確定因素，給出如下帶有不確定參數(shù)的歐拉算子系統(tǒng)：

(5)

式(5)對(duì)應(yīng)的標(biāo)稱(chēng)系統(tǒng)為

(6)

2 歐拉算子飽和變速趨近律

文獻(xiàn)[8]給出基于移位算子采樣指數(shù)趨近律：

(7)

文獻(xiàn)[9]給出了變速趨近律：

(8)

(9)

式(9)能夠使得系統(tǒng)最終趨近于平衡狀態(tài)，但該方法的缺點(diǎn)是需要已知精確的數(shù)學(xué)模型，不具有魯棒性[16]。

人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)技術(shù)中的sigmoid函數(shù)是一類(lèi)連續(xù)、可導(dǎo)、飽和有界的激勵(lì)函數(shù)，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為

(10)

(11)

由于指數(shù)式(7)和變速式(8)都有難以克服的問(wèn)題，同時(shí)，組合趨近律也不易準(zhǔn)確實(shí)施切換，利用sigmoid函數(shù)，給出了一種歐拉算子飽和變速趨近律：

(12)

當(dāng)系統(tǒng)在趨近過(guò)程階段，此時(shí)離平衡狀態(tài)較遠(yuǎn)，有

因此，飽和變速趨近律(12)可化簡(jiǎn)為

(13)

這表明在趨近過(guò)程階段內(nèi)，系統(tǒng)能夠在有限時(shí)間內(nèi)快速到達(dá)切換面。利用線性矩陣不等式技術(shù)，由引理1知，據(jù)文獻(xiàn)[13]，可以求取切換函數(shù)的系數(shù)矩陣。

當(dāng)系統(tǒng)在滑動(dòng)模態(tài)過(guò)程，此時(shí)一般離平衡狀態(tài)較近，根據(jù)等價(jià)無(wú)窮小量理論，由L'Hospital法則，有：

(14)

3 歐拉算子柔性變結(jié)構(gòu)控制器設(shè)計(jì)

歐拉算子系統(tǒng)柔性變結(jié)構(gòu)控制器設(shè)計(jì)分為兩個(gè)過(guò)程：首先選取線性形式或積分型等非線性形式的切換函數(shù)，目的是保證系統(tǒng)狀態(tài)軌線進(jìn)入切換區(qū)域后，平穩(wěn)趨近到滑動(dòng)模態(tài)區(qū)域；其次，構(gòu)造歐拉算子柔性變結(jié)構(gòu)控制律,使得從任意初態(tài)出發(fā)的系統(tǒng)狀態(tài)軌線快速到達(dá)切換面，并最終穩(wěn)定于平衡狀態(tài)或在平衡狀態(tài)附近形成較小的抖振。

這里選取線性切換函數(shù)：

(15)

其中：c∈Rn滿足Hurwitz條件。構(gòu)造切換面為

(16)

構(gòu)造切換帶為

(17)

其中：2ω為切換帶的帶寬。

考慮不確定歐拉算子系統(tǒng)式(5)，假定內(nèi)部參數(shù)攝動(dòng)和外在擾動(dòng)滿足如下匹配條件：

ΔA=baT,D=bdT

(18)

其中，a∈Rn，d∈Rl。

假定選取的向量c使得cTb≠0，采用飽和變速趨近律式(12)，得歐拉算子柔性變結(jié)構(gòu)控制律為

(19)

對(duì)于柔性變結(jié)構(gòu)控制律式(19)，其中含有不確定參數(shù)，無(wú)法直接物理實(shí)現(xiàn)，其完全自適應(yīng)性并不能保證。要使柔性變結(jié)構(gòu)控制律式(19)能夠直接實(shí)施，需要限制系統(tǒng)不確定因素的變化范圍在有界區(qū)域，將該控制律的不確定因素用其上、下確界代替。這樣，該控制律就成為可直接實(shí)現(xiàn)的控制律。

考慮不確定參數(shù)是有界的，無(wú)妨假設(shè)

(20)

可得:

① 優(yōu)化調(diào)節(jié)時(shí)間和響應(yīng)速度的切換結(jié)構(gòu)

② 削弱外在干擾因素影響的切換結(jié)構(gòu)

于是，得到可直接實(shí)現(xiàn)的歐拉算子柔性變結(jié)構(gòu)控制律：

(21)

將不確定參數(shù)的匹配條件式(18)、有界條件式(20)和柔性變結(jié)構(gòu)控制律式(21)代入不確定歐拉算子系統(tǒng)式(5)中，有:

這表明不確定歐拉算子系統(tǒng)式(5)，在不確定參數(shù)滿足有界和匹配條件的前提下，存在著柔性變結(jié)構(gòu)控制律式(21)，使得系統(tǒng)在滑動(dòng)模態(tài)階段具有完全自適應(yīng)性。

4 實(shí)例仿真

本節(jié)給出一個(gè)實(shí)例說(shuō)明柔性變結(jié)構(gòu)控制器設(shè)計(jì)的可行性?？紤]某APF控制器，相關(guān)參數(shù)如下：電源電壓為380 V，等效電源電阻為0.1 Ω，等效電源電感為2 mH，連接電感為1.5 mH，高通濾波器電容為30 μF，濾波電阻為1 Ω，非線性負(fù)載為不可控阻感負(fù)載整流器，給出的歐拉算子系統(tǒng)為

相關(guān)參數(shù)如下：

為進(jìn)行仿真分析，負(fù)載整流器參數(shù)為

利用移位算子采樣，給出采樣信號(hào)系統(tǒng)為

相關(guān)參數(shù)如下：

基于指數(shù)趨近律(7)設(shè)計(jì)的APF變結(jié)構(gòu)控制器的基波電流波形如圖2所示。

圖1 基于趨近律(12)設(shè)計(jì)的APF基波電流波形

圖2 基于趨近律(7)設(shè)計(jì)的APF基波電流波形

圖3和圖4分別為基于飽和變速趨近律式(12)設(shè)計(jì)的APF柔性變結(jié)構(gòu)控制器和基于指數(shù)趨近律式(7)設(shè)計(jì)的APF變結(jié)構(gòu)控制器的輸入變化曲線。

圖3 基于趨近律(12)設(shè)計(jì)的APF柔性變結(jié)構(gòu) 控制器的輸入曲線

對(duì)比圖1、圖2的基波電流補(bǔ)償效果，基于歐拉算子采樣，利用飽和變速趨近律式(12)設(shè)計(jì)的APF柔性變結(jié)構(gòu)控制器補(bǔ)償效果優(yōu)于利用傳統(tǒng)移位算子采樣設(shè)計(jì)的APF變結(jié)構(gòu)控制器。若進(jìn)一步增大采樣頻率，傳統(tǒng)移位算子采樣方法設(shè)計(jì)的變結(jié)構(gòu)控制器抖振幅度增大，使得控制系統(tǒng)變得不穩(wěn)定，而基于歐拉算子采樣設(shè)計(jì)的柔性變結(jié)構(gòu)控制器仍然具有良好的穩(wěn)態(tài)性能。

圖4 基于趨近律(7)設(shè)計(jì)的APF變結(jié)構(gòu)控制器的輸入曲線

5 結(jié) 語(yǔ)

將模擬信號(hào)系統(tǒng)和采樣信號(hào)系統(tǒng)的變結(jié)構(gòu)控制器設(shè)計(jì)統(tǒng)一到歐拉算子系統(tǒng)，消除了移位算子采樣過(guò)程易產(chǎn)生的病態(tài)問(wèn)題?；陲柡妥兯仝吔煞椒ǎO(shè)計(jì)了不確定歐拉算子系統(tǒng)的柔性變結(jié)構(gòu)控制器，具有良好的動(dòng)態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能。另外，具有時(shí)間滯后的歐拉算子柔性變結(jié)構(gòu)控制器設(shè)計(jì)有待于進(jìn)一步研究。

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加快解決經(jīng)濟(jì)社會(huì)發(fā)展對(duì)高質(zhì)量多樣化人才需要與教育培養(yǎng)能力不足的矛盾、人民群眾期盼良好教育與資源相對(duì)短缺的矛盾、增強(qiáng)教育活力與體制機(jī)制約束的矛盾，為教育事業(yè)持續(xù)健康發(fā)展提供強(qiáng)大動(dòng)力。

——摘自《國(guó)家中長(zhǎng)期教育改革和發(fā)展規(guī)劃綱要》

Design of Flexible Variable Structure Controller for Euler Operator System

LIUYun-long1,MAYun-feng1,XUGuo-sheng1,2,WANGWen-cheng1

(1. College of Information and Control Engineering, Weifang University, Weifang 261061, China;2. School of Electronic and Information Engineering, Beijing Jiaotong University, Beijing 100044, China)

Aiming at Euler operator system with uncertain parameters, a novel reaching law method, named saturated variable rate reaching law, is proposed based on the sigmoid function, and a flexible variable structure controller is designed based on saturated variable rate reaching law in this paper. By the designed variable structure controller, the analog signal system and sampling signal system can be unified into the Euler operator system based on the principle of Euler operator sampling. When sampling frequency is very high, the flexible variable structure controller can make the stability of the control system be closed to the original analog signal system. A simulation example of active power filter is given to demonstrate the application of the controller. Compared to variable structure controller based on exponential reaching law, the proposed flexible variable structure controller can reduce the chattering, and has a good compensation of fundamental current.

Euler operator; shift operator; variable structure; saturated variable rate reaching law; flexible

2014-10-31

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(61403283)；山東省高等學(xué)校科技計(jì)劃項(xiàng)目(J13LN81)；濰坊市科學(xué)技術(shù)發(fā)展計(jì)劃項(xiàng)目(2014GX022)；濰坊學(xué)院博士科研基金項(xiàng)目(2013BS10)

劉云龍(1982-)，男，山東日照人，博士，講師，主要研究方向?yàn)榛？刂?，離散控制，電機(jī)控制。

Tel.: 13562650201; E-mail: fhylren@163.com

TP 273

A

1006-7167(2015)05-0093-04