馮 蕾 梁治安

隨著人口老齡化的加劇，越來越多的人開始關(guān)注退休養(yǎng)老問題。退休養(yǎng)老計劃作為家庭理財?shù)闹匾M成部分，是根據(jù)人們實際的經(jīng)濟狀況，綜合考慮個人勞動收入、消費支出等隨機因素，從現(xiàn)在開始進行的財富積累和資產(chǎn)規(guī)劃，從而保障退休后的生活水平。

大量實證研究表明，居民的消費具有習慣形成的特征，消費習慣成為影響居民消費的重要因素。本文的模型主要有以下特點：（1）在模型中引入內(nèi)生性的消費習慣，刻畫退休養(yǎng)老計劃參與者的消費行為；（2）退休養(yǎng)老計劃參與者的死亡概率是隨機的；（3）采用CRRA函數(shù)刻畫退休養(yǎng)老計劃參與者的風險偏好。

一、假設(shè)與建模

1.金融市場

假設(shè)金融市場存在兩種資產(chǎn)供投資者進行投資組合選擇，第一種為無風險資產(chǎn) （銀行存款或者債券），另一種為風險資產(chǎn)（股票或者市場組合），其中無風險利率為r，風險資產(chǎn)價格S（t），服從如下隨機微分方程：

其中μS、σS為常數(shù)分別表示風險資產(chǎn)的回報率和波動率，BS（t）為標準幾何布朗運動。 定義 η＝（μS－r）／σS＞0表示風險資產(chǎn)的夏普比。令αt表示第t期投資于風險資產(chǎn)上的財富比例，則1－αt表示投資于無風險資產(chǎn)上的財富比例。

2.隨機勞動收入

假定退休前投資者獲得隨機勞動收入Y （t），退休后隨機勞動收入為0。Y（t）服從如下隨機微分方程：

其中TR表示投資者的退休時刻，μY、σY為常數(shù)分別表示隨機勞動收入的期望增長率和波動率，BY（t）為標準幾何布朗運動，為了獲得本文模型解析解，假定幾何布朗運動 BS（t）、BY（t）之間的相關(guān)系數(shù)為 1。

3.消費行為

根據(jù)熊和平等（2012）假定投資者具有內(nèi)在性的消費習慣 H（t），定義如下：

其中 H（t）為確定性變量，Cs表示消費率，a、b 均為常數(shù)，a度量了過去進入消費習慣的衰減程度，b度量了消費習慣相對于消費的強度，b越大，消費習慣所占的權(quán)重越小，對上式進行微分可以得到H（t）的動態(tài)過程如下：

該種消費習慣是歷史消費水平的加權(quán)平均，度量了個人對反復(fù)刺激產(chǎn)生反應(yīng)的心理特征。

4.退休養(yǎng)老計劃及財富動態(tài)

假定投資者參與確定支付型（Defined－Contribution，簡稱DC）養(yǎng)老金計劃，考慮如下簡單的情形：退休前，投資者將勞動收入的固定比例繳費于養(yǎng)老金中進行投資，剩余部分勞動收入全部用于消費，假定每一期繳費比例為θ，其中θ為常數(shù)，那么退休前養(yǎng)老金財富累積過程W（t）滿足如下動態(tài)過程：

在退休時刻TR，累積的養(yǎng)老金被用于購買具有確定支付額的年金以維持養(yǎng)老計劃參與者退休后的生活水平，每期的支付額為：支付比例滿足如下等式：

其中 λTR表示死亡強度，（λTR＋r）表示連續(xù)技術(shù)率。當時，相當于參與者將累積的養(yǎng)老金存入銀行，靠利息維持退休后的生活水平。

5.投資者的目標

直覺上，退休后養(yǎng)老金計劃參與者勞動收入為零，因此其風險厭惡系數(shù)會大于退休前的風險偏好。養(yǎng)老金計劃參與者的目標是根據(jù)當前財富水平以及隨機勞動收入，通過選擇最優(yōu)的消費策略Ct、金融投資策略αt來最大化生命周期內(nèi)的期望消費總效用：

δ表示時間貼現(xiàn)因子，β＞0為常數(shù)反映了養(yǎng)老金計劃參與者的偏好，β越大，意味著退休后消費帶來的效用要大于退休前消費所獲得的效用，因此更偏好進行未來消費。由于本文考慮了消費習慣，因此效用函數(shù)不再是消費的一元函數(shù)，而是關(guān)于消費和習慣的二元函數(shù)，U1（x）為養(yǎng)老金計劃參與者退休前效用函數(shù)，U2（x）為養(yǎng)老金計劃參與者退休后效用函數(shù)，為了簡化問題，本文不考慮養(yǎng)老金計劃參與者的遺產(chǎn)函數(shù)。由于養(yǎng)老金計劃參與者購買確定支付的年金，因此式（7）中的第二項可以直接進行積分，可以得到：

二、模型求解

1.HJB 方程

利用標準的動態(tài)最優(yōu)控制原理，定義最優(yōu)化問題的價值函數(shù)如下：

價值函數(shù)滿足如下 Hamilton－Jacobi－Bellman（HJB）方程：

退休前養(yǎng)老基金財富積累階段，養(yǎng)老金計劃參與者獲得勞動收入，退休后勞動收入為零，在退休時購買固定支付年金，利用價值函數(shù)的價值匹配條件（Value－Matching－Condition），可以得到價值函數(shù)滿足如下邊界條件：

2.CRRA效用函數(shù)下模型的解

不失一般性，采用“差”的形式刻畫消費習慣，假定養(yǎng)老金計劃參與者具有常數(shù)相對風險厭惡 （CRRA）效用函數(shù)，具體形式如下：

其中γi＞0表示養(yǎng)老金計劃參與者的風險厭惡系數(shù)，因為退休后沒有勞動收入，直覺上γ2≥γ1，但是為了使模型便于求解，假定 γ2＝γ1＝γ。

HJB方程滿足如下偏微分方程：

通過猜測—驗證的方法，構(gòu)造偏微分方程（15）的解具有如下形式：

滿足如下邊界條件：

式（16）對各個狀態(tài)變量分別求一、二階偏導(dǎo)數(shù)代入偏微分方程（15），整理后分離出含（w＋B（t）y－D（t）h）的項，含y的項以及含h的項并分別令其等于零，可以得到如下三個常微分方程：

結(jié)合邊界條件，上述三個方程解分別為：

至此，作者給出了本文模型求解的全部過程，以下面的定理總結(jié)考慮消費習慣的養(yǎng)老金計劃參與者消費與投資決策問題的主要結(jié)論。

如果考慮養(yǎng)老金計劃參與者的消費習慣，并且具有CRRA類型效用函數(shù)，則退休前的價值函數(shù)由式（16）給出，退休前的最優(yōu)消費為：

退休前的最優(yōu)風險資產(chǎn)配置比例為：

退休后的最優(yōu)消費為：

3.解的經(jīng)濟學(xué)含義

下面對本文結(jié)論的經(jīng)濟學(xué)含義進行分析。通過表達式（20）、（21）、（22）可以發(fā)現(xiàn)，A（t）、B（t）、D（t）的值均大于零。下面分析內(nèi)生消費習慣對養(yǎng)老金計劃參與者退休前消費行為的影響，重組式（23）可以得到：

退休后的最優(yōu)風險資產(chǎn)配置比例為：

上式中等式右邊第一項為養(yǎng)老金財富累積帶來的財富效應(yīng)，第二項為勞動收入帶來的財富效應(yīng)，第三項為內(nèi)生消費習慣對消費行為的影響。如果不考慮消費習慣的影響，即：a＝0，b＝0 時，上式演化為：

由于D（t）＞0，對比上述兩個表達式發(fā)現(xiàn)，內(nèi)在消費習慣的存在會削弱養(yǎng)老金積累和勞動收入帶來的財富效應(yīng)，進一步，如果 A（t） （1＋bD（t）1／γ＜D（t），內(nèi)生消費習慣對消費行為的影響更大，此時，養(yǎng)老計劃參與者更愿意保持過去的消費習慣，習慣一旦形成便很難改變。凌愛凡等（2011）認為，考慮消費習慣時會使消費者的儲蓄得到自然積累，但這并不屬于預(yù)防性儲蓄（鄒紅等，2010）。進行實證研究表明：盡管長期內(nèi)居民資產(chǎn)對消費的影響不斷增長，但是受消費自身慣性的影響，資產(chǎn)價格的變動對消費支出的效果非常微弱。退休后消費習慣對消費行為的影響可采取上述的方法進行分析，本文不再贅述。

下面分析內(nèi)生消費習慣對最優(yōu)風險資產(chǎn)配置的影響，重組式（24）可以得到：

可以直接得出結(jié)論，風險資產(chǎn)最優(yōu)配置是風險厭惡系數(shù)γ的減函數(shù)，是風險資產(chǎn)夏普比率η的增函數(shù)，是風險資產(chǎn)波動率σS的減函數(shù)，是隨機勞動收入波動率σY的減函數(shù)。上式最后一項為消費習慣對最優(yōu)風險資產(chǎn)配置的影響，由于符號為負，意味著考慮內(nèi)生消費習慣時，養(yǎng)老金計劃參與者將減少風險資產(chǎn)的投資，投資行為變得更加保守。

三、數(shù)值模擬分析

下面用數(shù)值模擬的方法討論死亡力強度對退休前消費與投資決策的影響，勞動收入風險對退休前消費與投資決策的影響，以及不同退休年齡情況下消費與投資行為的變化。

1.參數(shù)選擇

在數(shù)值模擬中根據(jù)（Huang et al，2008）設(shè)置金融市場和隨機勞動收入的關(guān)鍵參數(shù)，具體設(shè)置：時間貼現(xiàn)因子 δ＝0.02，無風險利率 r＝0.02，風險資產(chǎn)期望收益率 μS＝0.07，風險資產(chǎn)波動率 σS＝0.2，隨機勞動收入預(yù)期增長率μY＝0.01，隨機勞動收入波動率σY＝0.05，設(shè)定養(yǎng)老金的初值為 w＝200，隨機勞動收入的初值為 y＝50。 根據(jù)（Constantinides，1990）設(shè)定消費習慣的關(guān)鍵參數(shù)：a＝0.1，b＝0.093，熊和平等（2010）發(fā)現(xiàn)消費習慣與財富成一定比例，H（t）≈θW（t），并給出了θ的取值范圍，本文中取θ＝0.11，風險厭惡系數(shù)γ＝2.2。根據(jù)2006年開始實行的《中國人壽保險業(yè)經(jīng)驗生命表（2000－2003）》下的養(yǎng)老金業(yè)務(wù)表男性零歲余命為 79.7 歲，因此，本文設(shè)定 T＝80，退休年齡 TR＝60。

2.死亡率變化對消費、投資的影響

現(xiàn)有關(guān)于退休養(yǎng)老計劃的研究大多忽略死亡風險，通常在模型中假定死亡率為常數(shù)，這明顯與事實不符，退休養(yǎng)老計劃關(guān)系到參與者一生消費與投資決策，投資期限長達數(shù)10年，因此，考慮死亡風險是十分有必要的。本文采用Gompertz死亡率函數(shù)：

研究表明最優(yōu)消費和投資是死亡強度的增函數(shù)，當死亡強度增加時，消費支出增加，風險資產(chǎn)配置比例增加，這也符合人們的直覺。由于本文沒有考慮退休養(yǎng)老計劃參與者的遺產(chǎn)函數(shù)，如果預(yù)期余命減少，則必然增加消費，并增加風險資產(chǎn)的投資比例；反過來，如果預(yù)期余命增加，考慮到退休后生活水平的維持，養(yǎng)老金計劃參與者會減少退休前的消費支出，采取較為保守的投資策略，減少風險資產(chǎn)上的配置比例。

3.勞動收入風險對消費、投資的影響

下面分析面臨不同收入風險時退休養(yǎng)老計劃參與者在退休前的消費與投資行為。

研究不同年齡養(yǎng)老金計劃參與者的消費與投資決策可知，假定65歲退休，從20歲時參加養(yǎng)老計劃和從40歲時參加養(yǎng)老金計劃，其消費與投資行為是不一樣的，如果從20歲開始參加退休養(yǎng)老計劃，那么離退休還有45年，他們選擇晚一點為養(yǎng)老進行儲蓄，因此會選擇年輕時進行高消費，并且增加風險資產(chǎn)的投資比例，該結(jié)論也符合投資期限效應(yīng)。另外最優(yōu)消費與投資決策對勞動收入風險非常敏感，二者均是勞動收入風險的減函數(shù)，勞動收入風險越大，意味著未來的不確定性越大，為了獲得退休后期望的年金率，養(yǎng)老金計劃參與者會減少消費，減少風險資產(chǎn)的配置比例；當養(yǎng)老金計劃參與者的年齡為45歲，并且勞動收入風險σY＝0.06時，最優(yōu)風險資產(chǎn)投資比例為負，意味著此時的最優(yōu)投資決策為賣空風險資產(chǎn)來對沖未來的收入風險。

4.消費習慣對最優(yōu)消費的影響

標準的生命周期理論認為，把消費均勻分布于各個時期就能實現(xiàn)整個生命周期消費效用最大化，從而消費效用是獨立的。然而，消費行為會受習慣形成的影響，消費效用在時間上具有關(guān)聯(lián)性，由于受習慣形成的影響，消費者很難容忍生活水平的降低。大量學(xué)者將習慣形成理論應(yīng)用于解釋實際消費中的“過度平滑性”（Campbell和 Deaton，1989） 和 “過度敏感性”（Flavin，1981）現(xiàn)象。研究考慮消費習慣與不考慮消費習慣兩種情況下退休養(yǎng)老計劃參與者的消費行為，發(fā)現(xiàn)兩種情況下消費行為有巨大差異，在25歲以前都大于設(shè)定的初始勞動收入水平，這意味著在參與者25歲以前會選擇借錢進行消費。從前面部分的比較靜態(tài)分析中發(fā)現(xiàn)，內(nèi)生性消費習慣會削弱累積財富和勞動收入的財富效應(yīng)，因此，考慮內(nèi)生性消費習慣時消費支出更加平滑。雷欽禮（2009）認為，消費慣性通過影響勞動收入的邊際消費傾向和對未來勞動收入不確定性的反應(yīng)強度來影響家庭的消費行為。

5.延遲退休對消費的影響

四、結(jié) 論

本文假定居民參與退休養(yǎng)老計劃，退休前每一期將工資的固定比例投資于養(yǎng)老基金中，剩余部分進行消費，退休后領(lǐng)取固定支付的年金，保障退休后的生活水平，并以內(nèi)生消費習慣刻畫消費行為，建立生命周期的連續(xù)時間消費與投資模型，研究退休養(yǎng)老計劃對養(yǎng)老金計劃參與者消費與投資行為的影響。借助動態(tài)規(guī)劃方法得到了退休前（后）最優(yōu)消費與投資決策的顯示表達式。比較靜態(tài)分析和數(shù)值模擬分析表明：（1）退休前最優(yōu)消費和投資決策是死亡強度的單調(diào)增函數(shù)，當死亡強度減小時，出于對養(yǎng)老金安全性的考慮，退休養(yǎng)老計劃參與者會減少風險資產(chǎn)的配置比例。（2）消費習慣可以解釋消費“過度平滑性”現(xiàn)象，最優(yōu)消費和投資決策是勞動收入風險的減函數(shù)，受內(nèi)生性消費習慣的影響，會減弱隨機勞動收入的財富效應(yīng)和對未來勞動收入風險的反應(yīng)程度，勞動收入的沖擊不會明顯改變養(yǎng)老金計劃參與者退休前（后）的消費行為。（3）受“繳費年限效應(yīng)”和“退休年限效應(yīng)”的影響，延遲退休會提高退休養(yǎng)老計劃參與者退休后的消費水平。

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