， ， (中國北方車輛研究所， 北京　100072)

引言

在電液位置控制系統(tǒng)設計中，多采用傳遞函數(shù)的形式進行頻域分析。將系統(tǒng)中的非線性因素在某一工作點線性化，然后在此工作點推導其傳遞函數(shù)模型，進而運用經(jīng)典控制理論分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性和精度[1]。從保守設計角度出發(fā)，需要線性化的工作點多選在系統(tǒng)最壞的工作狀態(tài)。比如，常以閥芯在中位時作為最壞的工作點，因為此時系統(tǒng)的增益最大，阻尼最小，系統(tǒng)的穩(wěn)定性最差[2]。然而，有時候系統(tǒng)最壞的工作點隱含于模型當中，較難確定。比如，當采用對稱閥控非對稱缸時，由于液壓缸左右作用面積不等，造成閥芯左右移動時所建立的模型不一致[3]，因而采用哪一個運動方向所建立的模型才符合保守設計就難以確定。再有，在建立系統(tǒng)模型時，多把負載等效成具有質(zhì)量、彈性、阻尼的二自由度線性振動模型。實際中，這些等效參數(shù)很難準確把握，而且更多時候，這些參數(shù)都是隨著系統(tǒng)的運動狀態(tài)變化而變化的，怎樣選取這些參數(shù)才更符合保定設計有待商榷。針對上面的兩個問題，本研究以汽車后橋電控液壓轉(zhuǎn)向系統(tǒng)為例[4，5]，建立系統(tǒng)的傳遞函數(shù)模型，重點確定系統(tǒng)最壞工作狀態(tài)。

1　電液位置控制系統(tǒng)建模

典型的電控液壓位置控制系統(tǒng)，根據(jù)是否有剛度負載，是否為對稱閥控對稱缸，在建模過程中略有不同[2]。實際上， 不帶剛度負載的模型是帶有剛度負載的模型的一種簡化形式， 而對稱閥控對稱缸 (雙出桿缸)是對稱閥控非對稱缸(單出桿缸)的一種特殊情況。因此，為了使模型更具有一般性，在這里采用對稱閥控非對稱缸、帶有彈性負載的電液位置控制系統(tǒng)為研究對象，而這種型式也正是電液轉(zhuǎn)向系統(tǒng)的常規(guī)形式。針對對稱閥控制非對稱缸的傳遞函數(shù)模型，可以通過引入負載壓力和負載流量，將流量方程進行適當簡化并在某工作點作線性化處理得到。結合系統(tǒng)中其它比例環(huán)節(jié)可得出整個系統(tǒng)的傳遞函數(shù)模型，如圖1所示。

圖1　電液比例位置控制系統(tǒng)模型

由于采用的是對稱比例閥控非對稱缸，在定義負載壓力pL和負載流量QL上多種形式[3]。從能量守恒角度出發(fā)，本研究采用式(1)和式(2)定義負載壓力和負載流量，其中，比例閥閥芯正向運動時(x>0)表示活塞桿伸出，比例閥閥芯負向運動時(x<0)表示活塞桿縮回。

pL=p1-np2,QL=Q1(x>0)

(1)

(2)

根據(jù)上面的定義負載壓力和負載流量可推導系統(tǒng)的傳遞函數(shù)如下[3]:

(3)

式中,

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

其中，開環(huán)系統(tǒng)總增益Kv=KpKaKxKyKf；Kp為PID控制器比例增益；Ka為功率放大器增益；Kx為比例電磁增益；Ky為比例閥驅(qū)動液壓缸的比例增益；Kf為傳感器增益；ωr為一階慣性環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率；ω0為二階振蕩環(huán)節(jié)的綜合固有頻率；ξ0為二階振蕩環(huán)節(jié)的綜合阻尼比；ωc為開環(huán)系統(tǒng)的穿越頻率。A為液壓缸作用面積；Kq為比例閥控非對稱缸流量增益系數(shù)；Kc為比例閥控非對稱缸流量-壓力系數(shù)；Kh為液壓彈簧剛度；K為等效負載剛度；m為等效負載質(zhì)量；C為等效負載阻尼；Vt為液壓缸當量容積。

上述是比例閥控非對稱液壓缸的模型，雖然在形式上閥芯左右運動可寫成統(tǒng)一形式，但在取值上是有區(qū)別的。當閥芯位移x>0時，A=A1，Kq=Kq1，Kc=Kc1，Vt=Vt1；當閥芯位移x<0時，A=A2，Kq=Kq2，Kc=Kc2，Vt=Vt2。具有的表達形式如下：

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

上式中，A1、A2分別為無桿腔、有桿腔的有效面積，且n=A2/A1；Kq0為比例閥控對稱缸所對應的零位流量系數(shù)；Kc0為比例閥控對稱缸所對應的零位壓力系數(shù)；ps為油源壓力；βe有效體積彈性模量；w為比例閥開口的面積梯度；μ為油液的動力黏度；Cd為流量系數(shù)；rc為閥芯與閥套的徑向間隙；y為活塞桿位移。

由于左右兩腔作用面積不等，造成了活塞桿伸出與縮回運動的不對稱性，文獻[6]對其本質(zhì)進行了詳細描述。針對圖1的閉環(huán)控制系統(tǒng)可進行頻率分析，雖然這樣分析精度不高，但有利凸顯系統(tǒng)的主要特性，從總體上對后續(xù)的分析和設計起到指導作用[5]。

比例系數(shù)Ky直接影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性、快速性和精度，提高比例系數(shù)可以提高系統(tǒng)的響應速度和精度，但會降低系統(tǒng)的穩(wěn)定性。由式(4)中可以看出比例系數(shù)與流量增益系數(shù)Kq、流量壓力系數(shù)Kc、活塞缸作用面積A和等效負載剛度K有關。比例閥的流量增益系數(shù)Kq和流量壓力系數(shù)Kc隨著閥芯位移的變化而變化，當閥芯處于零位時，閥的流量增益Kq最大，而流量壓力系數(shù)Kc最小，此時比例系數(shù)Ky最大，系統(tǒng)的穩(wěn)定性最差。另外，適當?shù)脑龃笠簤焊鬃饔妹娣eA也有助于增大比例系數(shù)Ky，將閥芯向正向運動和負向運動的比例系數(shù)Ky作比可知活塞桿伸出時的比例系數(shù)較大，系統(tǒng)的穩(wěn)定性較差。

一階慣性環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率ωr是液壓彈簧與負載彈簧串連時的剛度與阻尼系數(shù)之比。ωr跟載剛度K有關。如果負載剛度很小，則ωr很低，慣性環(huán)節(jié)可以近似看成積分環(huán)節(jié)。

當液壓的彈簧剛度Kh遠遠大于等效負載剛度K時，二階振蕩環(huán)節(jié)的綜合固有頻率ω0就為液壓固有頻率ωh，它體現(xiàn)液壓動力元件的響應速度。在液壓控制系統(tǒng)中，液壓固有頻率一般是整個系統(tǒng)中最低的頻率，限制了系統(tǒng)的響應速度。為了提高系統(tǒng)的響應速度，要提高液壓固有頻率。由式(6)及以上相關各式中可以看出，提高液壓固有頻率的方法有：(1)減小轉(zhuǎn)向機構的等效負載質(zhì)量m；(2)減小液壓缸兩腔的總積V10和V20，實際上V10和V20不僅包括液壓缸無桿腔和有桿腔的容積，還包括比例閥與液壓缸管路連接的容積，應減小此段管路容積，比例閥盡量靠近液壓缸;(3)提高油液的有效體積彈性模量βe，即應盡量減少油液中混入空氣，而且在比例閥與液壓缸的連接管路上盡量不要使用軟管，這樣會降低βe；(4)增大液壓缸作用面積A，面積的增大，總?cè)莘e也會增大，但是一般面積增大提高的更多，液壓固有頻率還是有所提高，但會使?jié)M足同樣負載速度所需要的流量增大，整個系統(tǒng)元件流量等級會隨之增大，會帶來較多不利結果。將閥芯向正向運動和負向運動不同的參數(shù)代入式(6)中，兩者作比較可知活塞桿伸出時的固有頻率要低一些。

當液壓的彈簧剛度Kh遠遠大于等效負載剛度K時，二階振蕩環(huán)節(jié)的綜合阻尼比ξ0就為液壓阻尼比ξh，它體現(xiàn)液壓動力元件的收斂速度。阻尼比越大，收斂速度越快。由式(7)及以上相關各式可以看出影響阻尼比的因素很多，但主要因素還是流量壓力系數(shù)Kc和液壓缸兩腔的容積V10、V20，等效負載阻尼C和等效負載質(zhì)量m影響很小。

開環(huán)系統(tǒng)的穿越頻率ωc近似表明閉環(huán)系統(tǒng)的頻寬，提高系統(tǒng)的頻寬可以擴展動力元件的工作速度范圍。由式(8)以上相關各式可以看出增大比例閥的壓力流量系數(shù)Kq、減小液壓缸作用面積A可以提高系統(tǒng)的頻寬。由于Kq1/A1>Kq2/A2，可知活塞桿伸出時的頻寬要高一些。

2　頻率響應仿真分析

在上面分析的基礎之上進行仿真分析，主要對系統(tǒng)的一階轉(zhuǎn)折頻率、綜合固有頻率、穿越頻率、綜合阻尼比等參數(shù)進行考查，進一步認識系統(tǒng)的特性，仿真參數(shù)如表1所示，仿真結果如圖2和圖3所示。

表1　閥控缸系統(tǒng)仿真參數(shù)

圖2　活塞桿伸出時的頻率響應

圖3　活塞桿縮回時的頻率響應

從圖2中可以看出，當活塞桿伸出時，開環(huán)系統(tǒng)的固有頻率ω0為167 rad/s，穿越頻率ωc為22.7 rad/s，幅值余度為11.2 dB，相位余度為86.3°；從圖3中可以看出，當活塞桿縮回時，開環(huán)系統(tǒng)的固有頻率ω0為211 rad/s，穿越頻率ωc為20 rad/s，幅值余度為16.9 dB，相位余度為86.6°；兩者數(shù)值對比來看，活塞桿伸出時的開環(huán)總增益Kv大，穩(wěn)定余度小，穿越頻率ωc高，而綜合固有頻率ω0小，其原因可以從上節(jié)中液壓缸工作面積對系統(tǒng)特性的影響中得到解釋。從保守設計角度考慮，應以活塞桿伸出時系統(tǒng)所具有的穩(wěn)定余度來設計Kp增益系數(shù)。

當采用對稱閥控制對稱缸(雙出桿缸)時，即令n=1， 依然運用參數(shù)表1進行仿真，結果如圖4所示。

從圖4中可以看出，系統(tǒng)的固有頻率ω0為172 rad/s，穿越頻率ωc為24.8 rad/s，幅值余度為13.4 dB，相位余度為84.6°。對比圖2～圖4可見，對稱閥控對稱缸的穿越頻率要高些，而固有頻率和幅值余度介于閥控非對閥之間。從具體數(shù)值的相對誤差來看，采用閥控非對稱缸模型與采用閥控對稱缸模型在頻率上的差別很小。實際上，糾結于采用對稱閥控制非對稱缸建模還是采用對稱閥控制對稱閥建模遠沒有選擇不同的負載參數(shù)對整個頻率特性的影響大。下面的仿真分析將體現(xiàn)等效負載參數(shù)的變化對系統(tǒng)的頻率特性的影響。

圖4　對稱閥控對稱缸的頻率響應

3　等效負載的影響

電控液壓轉(zhuǎn)向系統(tǒng)是將負載等效到液壓缸活塞桿上的質(zhì)量、剛度、阻尼等進行分析，但準確得到這些參數(shù)是很困難的。相對來看，等效質(zhì)量較容易把握，它可以從能量守恒的角度近似求取，而且隨車輛運動狀態(tài)的改變變化較小；等效剛度可根據(jù)轉(zhuǎn)向阻力矩及轉(zhuǎn)向傳遞幾何關系間接求取，但它隨車輛行駛狀態(tài)的不同會有較大的變化；等效阻尼是一個最難準確求取的量，很多時候直接給出系統(tǒng)的綜合阻尼比反倒比求取等效阻尼來的更直接更合理。合理地選擇3個等效參數(shù)對控制器設計有較大影響，所以清晰地把握它們對系統(tǒng)的影響就顯得非常重要。

3.1　等效剛度的影響

首先考查等效剛度的影響，從式(4)～式(8)中可以看出它對系統(tǒng)的5個參數(shù)都有關系，但當?shù)刃偠冗h遠小于液壓彈簧剛度時，可知等效剛度僅影響開環(huán)系統(tǒng)總增益Kv，根據(jù)式(4)可作圖如圖5所示。

從圖5中可以看出，當?shù)刃偠容^小時，系統(tǒng)的總增非常大，而當?shù)刃偠冗_到一定數(shù)值后，系統(tǒng)的總增益基本保持不變。總增益越大，穩(wěn)定性越差，從這一觀點出發(fā)，應盡量準確把握最小的等效剛度，進而得到最大的總增益，以此設計控制器的比例增益使得系統(tǒng)在最大的總增益下也是穩(wěn)定的。

圖5　等效剛度對閥控閥模型增益Kv的影響

3.2　等效質(zhì)量的影響

接著考查等效質(zhì)量的影響。從式(4)～式(8)中可以看出它僅對綜合固有頻率和綜合阻尼比有關。由式(6)和式(7)作圖如圖6、圖7所示。

圖6　等效質(zhì)量對綜合固有頻率的影響

圖7　等效質(zhì)量對綜合阻尼比的影響

從圖6和圖7中可以看出，等效質(zhì)量嚴重影響著系統(tǒng)的固有頻率和綜合阻尼比。綜合固有頻率隨著等效質(zhì)量的增加而降低，綜合阻尼比隨質(zhì)量的變化先減小后增大。阻尼比越小系統(tǒng)越容易失穩(wěn)，所以，當?shù)刃з|(zhì)量變化范圍涵蓋最小綜合阻尼比區(qū)段時，從保守設計角度出發(fā)，應選擇具有最小綜合阻尼比時的等效負載質(zhì)量進行控制器設計。

3.3　等效阻尼的影響

最后考查等效阻尼的影響。從式(4)～式(8)中可以看出它僅對綜合阻尼比有關。而且是與質(zhì)量之比共同起作用的。因此在此以C/m作為參變量考查它對綜合阻尼比的影響，仿真結果如圖8所示。

圖8　等效質(zhì)量對閥控閥模型增益Ky的影響

從圖8中可以看出，C/m對綜合阻尼比的影響呈線性增長。當C=0時，系統(tǒng)有最小阻尼比。從保守設計角度出發(fā)，在等效質(zhì)量確定的情況下，應取最小的等效阻尼進行設計。實際上，等效阻尼不可能為零，它是一個即難準確計算又難測定的量，所以很多時候是根據(jù)經(jīng)驗直接給定綜合阻尼比。反過來思考，當綜合阻尼比選定后，可根據(jù)圖8反求出等效阻尼，為系統(tǒng)的時域仿真分析提供較為準確的參數(shù)輸入。

4　結論

針對對稱閥控非對稱缸組成的電液位置控制系統(tǒng)，進行了傳遞函數(shù)形式的建模與頻率響應分析。從結果對比來看，應選擇活塞桿伸出時的模型進行比例增益設計以符合保守設計。相比而言，液壓缸左右面積不等引起的活塞桿伸出與縮回時系統(tǒng)的頻率響應的不同遠沒有等效負載參數(shù)變化對系統(tǒng)的影響大。通過分析等效質(zhì)量、等效剛度、等效阻尼3個參數(shù)對系統(tǒng)總增益、綜合固有頻率、綜合阻尼比的影響，得出3個等效參數(shù)在其變化范圍內(nèi)的合理確定以保證系統(tǒng)在最壞的情況下也能工作。

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