， ， 　

(常州大學(xué) 機(jī)器人研究所， 江蘇 常州　213164)

引言

電液伺服系統(tǒng)不可避免地存在許多不確定性因素，這主要是由于系統(tǒng)的流量壓力特性或者是由于負(fù)載系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)本身引起的，如：系統(tǒng)參數(shù)(如油源壓力、系統(tǒng)綜合剛度、慣性質(zhì)量、執(zhí)行件運(yùn)動(dòng)時(shí)的黏性摩擦力、油溫等)的變化；外部負(fù)載擾動(dòng)；系統(tǒng)的復(fù)雜性和非線性。

在實(shí)現(xiàn)對(duì)電液伺服系統(tǒng)的控制時(shí)，必須考慮不確定性因素，否則，很難保證有效的控制效果。在實(shí)際工程應(yīng)用中，不確定性因素導(dǎo)致系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型含有某種不確定性參數(shù)，甚至導(dǎo)致系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的不確定性，按照系統(tǒng)標(biāo)稱參數(shù)設(shè)計(jì)的控制器就可能達(dá)不到預(yù)期的性能；當(dāng)不確定性超過(guò)一定程度，有可能引起系統(tǒng)失穩(wěn)。因此，不確定性系統(tǒng)的魯棒跟蹤控制問(wèn)題以及與此相關(guān)的魯棒穩(wěn)定控制得到人們重視[1，2，6]。對(duì)于線性不確定性系統(tǒng)跟蹤控制問(wèn)題，一般的方法是基于Riccati方程來(lái)設(shè)計(jì)線性狀態(tài)反饋控制器，使系統(tǒng)的輸出魯棒跟蹤某一理想模型的輸出，文獻(xiàn)[1,2,4,5]等都在這一方面進(jìn)行了理論研究，取得了較好的效果。對(duì)于非線性不確定性電液伺服系統(tǒng)控制問(wèn)題的研究近十幾年來(lái)受到學(xué)者的廣泛關(guān)注，除了采用自適應(yīng)控制、變結(jié)構(gòu)控制外，還出現(xiàn)了學(xué)習(xí)控制、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制等一些新的方法。

本研究基于滑模變結(jié)構(gòu)控制的基本理論，討論實(shí)際中不確定性線性電液位置伺服系統(tǒng)的魯棒跟蹤控制問(wèn)題，當(dāng)這些不確定性滿足某些條件時(shí)，得出適當(dāng)?shù)那袚Q函數(shù)和控制律實(shí)現(xiàn)前饋補(bǔ)償滑模魯棒跟蹤控制。

1　不確定性系統(tǒng)概述

根據(jù)文獻(xiàn)[7]，不確定性系統(tǒng)是指那些帶有不確定參數(shù)，不確定動(dòng)力學(xué)(系統(tǒng)攝動(dòng))及存在外部干擾的系統(tǒng)，按系統(tǒng)是線性和非線性，又可分為線性不確定系統(tǒng)和非線性不確定系統(tǒng)。按照不確定性的特征又分為匹配不確定性系統(tǒng)和非匹配不確定性系統(tǒng)。

對(duì)于一般線性不確定系統(tǒng)，經(jīng)常被描述為[2]：

x=[A+ΔA(p(t))]x+[B+

ΔB(p(t))]u+D(x,p(t))

(1a)

y=C0x

(1b)

其中：A、B、C0是已知的常值矩陣，或系統(tǒng)的標(biāo)稱矩陣，且(A,B)可控。x∈Rn為狀態(tài)變量，u∈Rm為控制變量。D(x,p(t))∈Rn為擾動(dòng)向量，y∈Rp為輸出變量，并假定可變參數(shù)向量p(t)為勒貝格可測(cè)，且p(t)∈Ω?Re,Ω是一有界緊集，ΔA(p(t))、ΔB(p(t))表示系統(tǒng)的不確定性。

不確定性系統(tǒng)的控制問(wèn)題，用一個(gè)確定的控制器來(lái)控制一簇系統(tǒng)。即不管系統(tǒng)中的參數(shù)和擾動(dòng)如何變化，甚至系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)有所變化，系統(tǒng)在這個(gè)確定的控制器作用下，都能夠正常工作，并能保證某些控制性能。為此，在研究不確定系統(tǒng)的控制問(wèn)題時(shí)，需要做一些假設(shè)條件：

?p∈Ω

(2a)

(2b)

(2c)

則稱不確定系統(tǒng)(4.1)是匹配的[6]。

滿足匹配條件的意義在于把系統(tǒng)的不確定性及擾動(dòng)限制在輸入通道，這等于“將不確定性置于控制之下”，綜合適當(dāng)?shù)目刂坡捎锌赡艿窒淮_定性的影響。

(2) 強(qiáng)度限制條件，如：

||ΔA||≤ζ(x,p,t)

(3a)

||ΔB||≤r(x,p,t)

(3b)

||ΔD||≤π(x,p,t)

(3c)

其中：ζ、r、π均是某有界標(biāo)量函數(shù)或正常數(shù)。

這樣的強(qiáng)度限制條件，能夠根據(jù)不確定性的界來(lái)設(shè)計(jì)合適的控制器，以消除不確定性的影響。

本研究主要研究線性匹配不確定性系統(tǒng)的跟蹤控制問(wèn)題。

2　前饋補(bǔ)償滑模魯棒跟蹤控制器設(shè)計(jì)

考慮如下線性不確定性系統(tǒng)：

(4a)

y=c0x

(4b)

其中:

x=[x1x2，…，xn]T，是系統(tǒng)的狀態(tài)變量，u∈R是系統(tǒng)的控制輸入，y是系統(tǒng)的輸出，a=[a1a2，…，an]T是系統(tǒng)的參數(shù)向量，Δa=[Δa1Δa2，…，Δan]T表示對(duì)應(yīng)的參數(shù)向量的不確定性，b(t)是系統(tǒng)的增益，且滿足：

b(t)>0,bmin≤b(t)≤bmax

(5)

其中：bmin、bmax是已知正常數(shù)，f是系統(tǒng)的擾動(dòng)，且滿足：

|f|

(6)

(7)

對(duì)上述系統(tǒng)控制的目標(biāo)仍然是選擇合適的切換函數(shù)，綜合適當(dāng)?shù)目刂坡墒沟?

(8)

為此，按下式選擇新的狀態(tài)變量，并代入式(4):

可得誤差型狀態(tài)方程：

(9)

然后，對(duì)系統(tǒng)式(9)設(shè)計(jì)前饋補(bǔ)償滑模魯棒跟蹤控制器。首先選取線性滑模流型如式:

s=CTe

(10)

控制律取如下結(jié)構(gòu):

(11)

其中：K1=[k1i]∈Rn,(i=1,2,…,n)。

控制器結(jié)構(gòu)如圖1所示，控制器參數(shù)選擇如下:

(12a)

(12b)

(12c)

k4=p3>1,SDr>0

(12d)

k4=p4<1,SDr<0

(12e)

其中：

系統(tǒng)控制器結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖如圖1所示。

圖1　控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖

對(duì)上述系統(tǒng)式(4)及所設(shè)計(jì)的前饋補(bǔ)償滑模魯棒跟蹤控制器，有下面的定理：

定理1:對(duì)不確定性線性系統(tǒng)式(4)，當(dāng)選擇滑模流型如式(10)、控制律如式(11)和式(12)，則當(dāng)t→∞時(shí)的某一時(shí)刻,跟蹤誤差e1沿滑動(dòng)模態(tài)趨向原點(diǎn)，且整個(gè)系統(tǒng)是李亞普諾夫意義下漸近穩(wěn)定的。

證明：選取李亞普諾夫函數(shù)為：

則：

(13)

對(duì)式(10)求導(dǎo)有：

=(CTA-bk1)e-(bk2s-CTΔAe)-

(14)

則：

(15)

因?yàn)椋?/p>

|s|≤Cm||e||

(17)

將式(12)代入式(15),再結(jié)合式(16)～式(18)的結(jié)果，則有：

(19)

式(19)的結(jié)果表明：對(duì)系統(tǒng)式(4)，由式(11)和式(12)所構(gòu)成的前饋補(bǔ)償滑模魯棒控制器，能保證系統(tǒng)的到達(dá)條件成立，所以當(dāng)系統(tǒng)的狀態(tài)到達(dá)滑動(dòng)面后，將在有限時(shí)間內(nèi)沿滑動(dòng)面收斂至原點(diǎn)?；瑒?dòng)模態(tài)方程為：

(20)

保證了跟蹤誤差e1→0(t→∞)，從而整個(gè)閉環(huán)系統(tǒng)也是漸近穩(wěn)定的。

3　不確定性電液位置伺服系統(tǒng)的前饋補(bǔ)償滑模魯棒控制

3.1　問(wèn)題描述

考慮某結(jié)構(gòu)疲勞試驗(yàn)機(jī)系統(tǒng)，對(duì)其力平衡方程、閥流量方程及流量連續(xù)性方程的線性化和綜合推導(dǎo)，系統(tǒng)微分方程可描述為[7]：

(21)

其中：ai(i=1,2,3)、b分別是系統(tǒng)的綜合參數(shù)ai和控制增益。

對(duì)這一系統(tǒng)，當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)如負(fù)載剛度K、等效負(fù)載質(zhì)量M、流量增益Kq、流量-壓力系數(shù)Kc等變化時(shí)，系統(tǒng)的綜合參數(shù)ai和控制增益b隨著系統(tǒng)參數(shù)的變化而變化，考慮其中某一參數(shù)變化，利用對(duì)時(shí)變參數(shù)系統(tǒng)的研究方法進(jìn)行研究并設(shè)計(jì)出跟蹤控制器；當(dāng)綜合參數(shù)ai或者控制增益的變化由系統(tǒng)多個(gè)參數(shù)變化的綜合效應(yīng)所致，或由其他不確定性因素(如未建模因素、環(huán)境因素等其他一些未知因素)所引起的，則不確定系統(tǒng)是由一個(gè)確定的標(biāo)稱系統(tǒng)和一個(gè)不確定性系統(tǒng)組合而成的系統(tǒng)，可以把系統(tǒng)式(21)表示為更一般的線性不確定性系統(tǒng)：

(22)

其中:A為已知常值矩陣；ΔA為系統(tǒng)的不確定性；f為有界擾動(dòng)；u、y分別為系統(tǒng)的控制輸入和系統(tǒng)的輸出，且：

假設(shè)：

|Δai|<Δam, (i=1,2,3)

(23)

bmin≤b(t)≤bmax,b(t)>0

(24)

|f|≤f0

(25)

(26)

且在假設(shè)式(23)～式(25)中,Δam、bmin、bmax、f0是已知常數(shù)。

e1=xd-x1

(27a)

(27b)

(27c)

e=[e1e2e3]T

(27d)

代入式(27)、式(22)，則對(duì)應(yīng)于系統(tǒng)式(22)的誤差型狀態(tài)方程為：

(28)

3.2　前饋補(bǔ)償滑模魯棒跟蹤控制器設(shè)計(jì)及系統(tǒng)仿真

前饋補(bǔ)償滑模魯棒跟蹤控制律均按式(10)、式(11)選取，控制器參數(shù)按式(12)選取，系統(tǒng)標(biāo)稱參數(shù)見(jiàn)文獻(xiàn)[8]，對(duì)系統(tǒng)的不確定性，根據(jù)負(fù)載剛度及等效負(fù)載質(zhì)量等的變化，假設(shè)滿足下式：

|Δai|<Δam=1.344×106

(29)

對(duì)滑模參數(shù)有估計(jì)值：Cm=5。

選擇xd=sin10πt，采樣周期取2 ms，擾動(dòng)f取幅值為2的正弦信號(hào)。仿真結(jié)果示于圖2和圖3，圖2是誤差曲線，圖3是滑模曲線。

圖2　跟蹤誤差曲線

圖3　滑模曲線

圖2表明，對(duì)存在匹配不確定性和外擾動(dòng)的疲勞試驗(yàn)機(jī)位置伺服系統(tǒng)，根據(jù)系統(tǒng)綜合參數(shù)的不確定性的界值來(lái)設(shè)計(jì)前饋補(bǔ)償滑模跟蹤控制器，就能保證跟蹤誤差到所期望的范圍內(nèi)，圖3表明，所提出的控制器保證了滑模的漸近穩(wěn)定性。

3.3　實(shí)驗(yàn)研究

為進(jìn)一步驗(yàn)證理論分析及仿真結(jié)果的有效性，以某結(jié)構(gòu)疲勞試驗(yàn)機(jī)電液位置伺服系統(tǒng)為控制對(duì)象，應(yīng)用所設(shè)計(jì)的前饋補(bǔ)償滑模魯棒跟蹤控制器，進(jìn)行了實(shí)時(shí)控制研究，研究目的是通過(guò)實(shí)時(shí)控制，證明所提出的控制方法的有效性，證明即使在系統(tǒng)參數(shù)變化和存在未知擾動(dòng)等不確定性因素的情況下，所設(shè)計(jì)的控制器仍然能魯棒地跟蹤期望的給定信號(hào)。

1) 控制器設(shè)計(jì)

首先設(shè)計(jì)切換函數(shù)：按式(10)選擇切換函數(shù)，由式(10)可知，切換函數(shù)的設(shè)計(jì)需要給定信號(hào)和位置反饋信號(hào)及其一、二階導(dǎo)數(shù)，按下式來(lái)近似xd、x1的一、二階導(dǎo)數(shù):

(30)

對(duì)x1的一、二階導(dǎo)數(shù)也亦依照與式(30)類似的方法處理。

x1由位移傳感器反饋后再經(jīng)A/D轉(zhuǎn)換由微機(jī)采集得到，xd由超低頻信號(hào)發(fā)生器產(chǎn)生。

控制律設(shè)計(jì)：控制律按式(11)設(shè)計(jì)，系統(tǒng)參數(shù)的標(biāo)稱值參見(jiàn)文獻(xiàn)[7]，且控制器的各參數(shù)依仿真參數(shù)做為初值來(lái)確定。

2) 實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)

實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)主要由以下部件構(gòu)成：超低頻信號(hào)發(fā)生器;微型計(jì)算機(jī);A/D轉(zhuǎn)換器采用12位分辨率的AD1674，轉(zhuǎn)換速度小于10 μs，非線性誤差：±1 LSB;D/A轉(zhuǎn)換器采用12位分辨率的DAC1210，轉(zhuǎn)換綜合建立時(shí)間小于2 μs;伺服放大器和功率放大器;位移傳感器，采用FX61系列差動(dòng)變壓器式位移傳感器，精度等級(jí)為0.1級(jí)。

采樣周期選10 ms，在所用微機(jī)上，控制算法的完成不超過(guò)3 ms。為了檢驗(yàn)控制器的跟蹤特性以及控制算法的魯棒性，進(jìn)行空載和帶負(fù)載實(shí)驗(yàn)；油源壓力選擇：空載時(shí)最大選擇5 MPa，加載時(shí)最大選擇10.5 MPa，油溫30～55 ℃。

3) 實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析

實(shí)驗(yàn)結(jié)果示于圖4～圖8中。圖4是空載情況下，前饋補(bǔ)償滑模魯棒控制系統(tǒng)對(duì)頻率為0.5 Hz的正弦信號(hào)的跟蹤誤差曲線，圖5是帶負(fù)載情況下(以橡膠減振裝置作為試件)，該控制器對(duì)頻率為0.5 Hz的正弦信號(hào)的響應(yīng)誤差曲線；圖6是帶負(fù)載情況下前饋補(bǔ)償滑模魯棒跟蹤控制器跟蹤2 Hz的正弦信號(hào)的響應(yīng)誤差曲線。圖7和圖8分別是空載和帶負(fù)載情況下原系統(tǒng)采用模擬PID調(diào)節(jié)器跟蹤同一頻率的正弦信號(hào)的誤差曲線。

圖4　跟蹤0.5 Hz正弦信號(hào)的誤差曲線(空載)

圖5　跟蹤0.5 Hz正弦信號(hào)的誤差曲線(帶負(fù)載)

圖6　跟蹤2 Hz正弦信號(hào)的誤差曲線(帶負(fù)載)

圖7　跟蹤正弦信號(hào)的滑模曲線(帶負(fù)載)

圖8　原系統(tǒng)采用模擬PID控制的響應(yīng)誤差曲線(空載)

圖9　原系統(tǒng)采用模擬PID控制的響應(yīng)誤差曲線(帶負(fù)載)

由圖4～圖6可以看出，所提出的前饋補(bǔ)償滑模魯棒跟蹤控制器對(duì)系統(tǒng)參數(shù)變化和擾動(dòng)等不確定性具有強(qiáng)的魯棒性,在不同負(fù)載條件下都能保證對(duì)不同頻率的正弦信號(hào)的跟蹤誤差在6%以下；比較圖7中的兩條滑模曲線可知：控制器中引入PI控制作用保證了滿意的滑動(dòng)模態(tài)品質(zhì)，對(duì)削弱常規(guī)滑?？刂扑逃械亩墩瘳F(xiàn)象有較明顯的效果；比較圖4和圖8以及圖5和圖9可以得到：采用本章所設(shè)計(jì)的控制器比原系統(tǒng)采用模擬PID控制器的跟蹤精度提高了大約6倍左右。實(shí)驗(yàn)結(jié)果和仿真結(jié)果基本吻合， 其差別在于實(shí)際滑模曲線的變化幅度比仿真結(jié)果略大，實(shí)際跟蹤誤差和仿真結(jié)果比較接近，這主要是由于實(shí)際滑模參數(shù)和仿真時(shí)滑模參數(shù)的選擇稍有不同所致。

4　結(jié)論

針對(duì)存在不確定性參數(shù)和負(fù)載擾動(dòng)的某結(jié)構(gòu)疲勞試驗(yàn)機(jī)電液位置伺服控制系統(tǒng)的魯棒跟蹤控制問(wèn)題，提出了一種前饋補(bǔ)償滑模魯棒跟蹤控制方法， 并證明

了閉環(huán)系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性。系統(tǒng)仿真和實(shí)時(shí)控制結(jié)果均證明：對(duì)存在不確定性的結(jié)構(gòu)疲勞試驗(yàn)機(jī)電液位置伺服系統(tǒng)，應(yīng)用所提出的具有前饋補(bǔ)償?shù)幕ｔ敯舾櫩刂破髂苁够瑒?dòng)模態(tài)品質(zhì)得到較大的改善。前饋補(bǔ)償?shù)囊雽?duì)提高跟蹤精度有重要的作用，并且對(duì)系統(tǒng)的不確定性起到了一定的補(bǔ)償作用，對(duì)滑模函數(shù)的PI調(diào)節(jié)，能較有效地削弱常規(guī)VSC所固有的抖振現(xiàn)象。在不同的負(fù)載條件下跟蹤不同頻率的正弦信號(hào)均能獲得良好的跟蹤精度，控制器對(duì)系統(tǒng)的不確定性呈現(xiàn)較強(qiáng)的魯棒性。

參考文獻(xiàn)：

[1]T H Hopp,W E Schmitendort. Design of a Linear Controller for Robust Tracking and Model Following, Trans. of the ASME[J].Dynamic Sys. Meas.Control,1990,(112):552-558.

[2]W E Schmitendort, B R Barmish. Robust Asymptotic Tracking for Linear Systems with Unknown Parameters[J]. Automatica,1986,3(22):155-160.

[3]W E Schmitendort. Methods for Obtaining Robust Tracking Control Laws[J]. Automatica,1987,5(23):675-677.

[4]倪茂林，湛穎.含時(shí)變不確定性系統(tǒng)的魯棒跟蹤控制[J].自動(dòng)化學(xué)報(bào)，1993,5(19):513-519.

[5]彭曉紅，寧永臣，張福恩.時(shí)變不定線性系統(tǒng)的魯棒跟蹤控制器設(shè)計(jì)[J].自動(dòng)化學(xué)報(bào)，1996,3(22):358-360.

[6]Zhang X, Zhao K, Sun L. Nonlinear Speed Control for PMSM System Using Sliding-Mode Control and Disturbance Compensation Techniques[J].IEEE Transactions on Power Electronics，2013,28(3):1205-1215.

[7]段鎖林.不確定性機(jī)電伺服系統(tǒng)的滑模魯棒跟蹤控制及其應(yīng)用研究[D].西安：西安交通大學(xué)，1999.