金 娟，王耀南

湖南大學(xué) 電氣與信息工程學(xué)院，長(zhǎng)沙 410082

1 引言

近年來(lái)對(duì)非完整系統(tǒng)的研究得到了國(guó)內(nèi)外學(xué)者的普遍關(guān)注。作為一類典型的非完整控制系統(tǒng)，移動(dòng)機(jī)器人的鎮(zhèn)定和軌跡跟蹤問(wèn)題較為復(fù)雜，主要是因?yàn)槭芊峭暾s束的系統(tǒng)不滿足Brockett的光滑鎮(zhèn)定條件，不存在連續(xù)時(shí)不變的反饋控制律使其鎮(zhèn)定到某一位置[1]。文獻(xiàn)[2-3]采用Lyapunov直接法和積分反演技術(shù)對(duì)移動(dòng)機(jī)器人的軌跡跟蹤問(wèn)題進(jìn)行了研究，對(duì)滿足一定條件的參考模型實(shí)現(xiàn)了全局指數(shù)跟蹤。文獻(xiàn)[4]采用基于CMAC的算法實(shí)現(xiàn)了跟蹤，算法簡(jiǎn)單但存在抖動(dòng)。上述方法主要基于非完整移動(dòng)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，要實(shí)現(xiàn)完美的軌跡跟蹤控制，需要考慮移動(dòng)機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)特性。文獻(xiàn)[5]針對(duì)移動(dòng)機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)模型，首先利用力矩控制和反演技術(shù)結(jié)合，設(shè)計(jì)了軌跡跟蹤的控制律，所得結(jié)果具有全局穩(wěn)定性。文獻(xiàn)[6]將魯棒自適應(yīng)方法用于移動(dòng)機(jī)器人的力矩控制，設(shè)計(jì)了全局穩(wěn)定的軌跡跟蹤控制律，但沒有對(duì)存在未知參數(shù)和不確定擾動(dòng)下的系統(tǒng)進(jìn)行研究。文獻(xiàn)[7]針對(duì)存在未知參數(shù)和不確定擾動(dòng)的系統(tǒng)提出了模糊自適應(yīng)律，但是設(shè)計(jì)算法復(fù)雜。文獻(xiàn)[8-10]在極坐標(biāo)系下采用滑模控制，在存在外界擾動(dòng)的情況下也取得了良好的跟蹤效果。本文從移動(dòng)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)模型出發(fā)，利用模糊CMAC神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來(lái)逼近系統(tǒng)的非線性和不確定性，同時(shí)與速度誤差結(jié)合起來(lái)構(gòu)成力矩控制器，并用滑模項(xiàng)來(lái)補(bǔ)償不確定性擾動(dòng)對(duì)系統(tǒng)的影響。所設(shè)計(jì)的控制器結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，算法易于實(shí)現(xiàn)，對(duì)滿足一定條件的參考軌跡可以實(shí)現(xiàn)全局跟蹤，并且對(duì)于有界未知擾動(dòng)具有很強(qiáng)的魯棒性。Lyapunov穩(wěn)定性定理證明了其穩(wěn)定性，仿真結(jié)果驗(yàn)證了其有效性。

2 移動(dòng)機(jī)器人模型

圖1所示的移動(dòng)機(jī)器人是一個(gè)典型的非完整機(jī)械系統(tǒng)，它由兩個(gè)同軸安裝的驅(qū)動(dòng)輪和一個(gè)輔助前輪組成，兩個(gè)驅(qū)動(dòng)輪由兩個(gè)直流電機(jī)獨(dú)立驅(qū)動(dòng)以負(fù)責(zé)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)和轉(zhuǎn)向。兩輪的半徑都為r，輪距為2R，移動(dòng)機(jī)器人的重心位置為C，P為驅(qū)動(dòng)輪連接線的中心，C與P的距離為d。用向量q=[xcycθ]T來(lái)表示移動(dòng)機(jī)器人在笛卡爾坐標(biāo)系中的位置，其中xc，yc表示重心C點(diǎn)在笛卡爾坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，θ為坐標(biāo)系{C，XC，YC}與笛卡爾坐標(biāo)系的夾角。

圖1 移動(dòng)機(jī)器人示意圖

一般而言，具有n維系統(tǒng)狀態(tài)并受m維約束的非完整移動(dòng)機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)方程可以表示為[11]：

式中，M(q)∈Rn×n為正定對(duì)稱慣性矩陣；Vm(q，q˙)∈Rn×n為向心力和哥氏力矩陣；G(q)∈Rn為重力矩陣，F(xiàn)(q˙)∈Rn為摩擦力，對(duì)于在光滑平面運(yùn)動(dòng)的移動(dòng)機(jī)器人，G(q)和 F(q˙)都為零；τd∈Rn為有界的未知擾動(dòng)；τ∈Rr為控制輸入向量；B(q)∈Rn×r為輸入變換矩陣；λ∈Rm為約束力；A(q)∈Rn×m為約束矩陣。

非完整約束可以表示為：

選擇一個(gè)n-m維的滿秩矩陣S(q)為 AT(q)零空間的一組基，即有：

從式（2）和（3）中可以得到一個(gè)輔助的速度控制輸入量 v(t)∈Rn-m，有：

對(duì)于圖1所示的移動(dòng)機(jī)器人，非完整約束使其只能在與驅(qū)動(dòng)輪輪軸垂直的方向上運(yùn)動(dòng)，即必須滿足純滾動(dòng)和無(wú)滑動(dòng)的條件：

因此，式（1）中的約束矩陣可以表示成：

進(jìn)而S(q)可表示成：

那么，式（4）所表示的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為：

其中，v(t)=[vω]T，v和ω分別表示移動(dòng)機(jī)器人的線速度和角速度。

由Euler-Lagrange方程可得圖1所示移動(dòng)機(jī)器人模型的動(dòng)力學(xué)參數(shù)[8]：

其中，m表示移動(dòng)機(jī)器人的質(zhì)量，I表示轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，τr和τl分別表示左右輪的力矩。

將式（1）左乘ST(q)并化簡(jiǎn)可得：

由文獻(xiàn)[11]可知式（10）的參數(shù)矩陣有如下性質(zhì)：

性質(zhì)1對(duì)于任意的q，慣性矩陣(q)是正定的。

性質(zhì)2矩陣函數(shù)是斜對(duì)稱的，即對(duì)于任意向量α，有：

在此假設(shè)移動(dòng)機(jī)器人的有界未知擾動(dòng)滿足||-τd||≤dB。根據(jù)（9）可得（10）的參數(shù)矩陣為：

3 模糊CMAC

小腦神經(jīng)關(guān)節(jié)控制器（CMAC）[12]是一種基于神經(jīng)生物學(xué)的、簡(jiǎn)單快速的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，能夠?qū)W習(xí)任意多維非線性映射。與BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)一類的全局逼近方法相比，CMAC有很多優(yōu)點(diǎn)，它具有局部逼近能力、連續(xù)輸入輸出能力和一定的泛化能力，結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，學(xué)習(xí)速度快，特別適合于實(shí)時(shí)控制。但是傳統(tǒng)的CMAC也有自身的不足，由于輸入狀態(tài)與聯(lián)想強(qiáng)度之間的關(guān)系只是簡(jiǎn)單的“激活”和“不激活”的關(guān)系，不符合人腦認(rèn)識(shí)事物的模糊性和連續(xù)性，導(dǎo)致CMAC的自適應(yīng)性較差。文獻(xiàn)[13-15]將模糊理論引入CMAC，對(duì)CMAC的輸入空間劃分方式和聯(lián)想單元激活方式進(jìn)行模糊化處理，使得輸入空間劃分方式以及聯(lián)想強(qiáng)度的激活活性可在線調(diào)整，從而提高了控制器的自學(xué)習(xí)能力。其仿真結(jié)果表明模糊CMAC具有更好的自適應(yīng)性和魯棒性。本文不再對(duì)模糊CMAC的優(yōu)越性進(jìn)行仿真比較說(shuō)明，而是直接將其用于對(duì)移動(dòng)機(jī)器人動(dòng)力學(xué)模型不確定參數(shù)的逼近。

模糊CMAC的具體模型如圖2所示。根據(jù)后文的需要，在此以逼近4輸入2輸出的函數(shù)為例進(jìn)行說(shuō)明。

圖2 模糊CMAC結(jié)構(gòu)圖

第一層為輸入層：

第二層為模糊化層，本文采用高斯基隸屬函數(shù)對(duì)輸入進(jìn)行模糊化處理。

假設(shè)所有輸入xi是連續(xù)有界的，在每個(gè)輸入xi的論域上定義n個(gè)“塊”Bij，輸入xi對(duì)“塊”Bij的隸屬關(guān)系為：

式中，σij表示函數(shù)的中心值，vij表示函數(shù)的寬度。則第二層的輸入與輸出的關(guān)系為：

第三層為模糊相連層，用于得出對(duì)聯(lián)想單元的激活強(qiáng)度。所有輸入論域?qū)?yīng)的塊組成n4個(gè)超立方體Hq，每個(gè)超立方體與一個(gè)聯(lián)想單元對(duì)應(yīng)，每個(gè)聯(lián)想單元?jiǎng)t存儲(chǔ)相應(yīng)的聯(lián)想強(qiáng)度。激活強(qiáng)度相當(dāng)于xi對(duì)于各個(gè)塊的隸屬度的“與”，本文用乘法實(shí)現(xiàn)“與”操作，有：

第四層以第三層求出的激活強(qiáng)度激活聯(lián)想單元的聯(lián)想強(qiáng)度，各個(gè)聯(lián)想單元輸入輸出關(guān)系為：

其中ωqi表示各個(gè)聯(lián)想單元的聯(lián)想強(qiáng)度。

第五層為輸出層，對(duì)聯(lián)想單元進(jìn)行求和以恢復(fù)系統(tǒng)信息：

通過(guò)將ωqi寫成矩陣的形式，有：

4 控制器設(shè)計(jì)和穩(wěn)定性分析

4.1 控制器設(shè)計(jì)

下面從移動(dòng)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)模型出發(fā)，設(shè)計(jì)軌跡跟蹤控制器?？刂葡到y(tǒng)的結(jié)構(gòu)如圖3所示。

用qr=[xryrθr]T表示參考軌跡，q=[xy θ]T表示移動(dòng)機(jī)器人的實(shí)際運(yùn)動(dòng)軌跡，則在局部坐標(biāo)系下的跟蹤誤差可以表示為ep=T(qr-q)，即

那么，誤差變化率為：

文獻(xiàn)[2]給出在給定速度vr＞0的前提下，跟蹤運(yùn)動(dòng)學(xué)模型（8）的速度控制輸入為：

其中，k1，k2，k3＞0 為設(shè)計(jì)參數(shù)。

對(duì)于參考速度vc，定義速度跟蹤誤差為ec，令ec=[e3,e4]T=vc-v，對(duì)該式求導(dǎo)并結(jié)合（10），可得速度跟蹤誤差下的動(dòng)力學(xué)方程：

圖3 基于模糊CMAC的控制結(jié)構(gòu)圖

那么通過(guò)計(jì)算力矩法來(lái)進(jìn)行跟蹤控制的合適的控制輸入可選為：

K4ec為負(fù)反饋?lái)?xiàng)，且K4為正定的對(duì)角增益矩陣；γ用于補(bǔ)償系統(tǒng)中未建模的不確定性擾動(dòng)。

將此控制用于式（22），則速度跟蹤誤差動(dòng)力學(xué)模型變?yōu)椋?/p>

其中：

其中，Kd為正定對(duì)角矩陣，其值依賴于擾動(dòng)的大小，需滿足 min(diag(Kd))≥dB。

4.2 穩(wěn)定性分析和權(quán)值更新算法

選取Lyapunov函數(shù)如下：

其中

顯然，L≥0，只有在ep，ec，都為零時(shí)，有L=0。

對(duì)式（29）求導(dǎo)，有：

將式（20）、（21）代入上式中，得：

因?yàn)榻o定線速度vr＞0，所以L˙≤0。

對(duì)式（30）求導(dǎo)，有：

代入速度誤差模型式（26）得：

其中K4min、Kdmin分別為 K4和Kd的最小奇異值。

進(jìn)而可簡(jiǎn)化為：

由于 min(diag(Kd))≥dB，有≤0 ，定理得證。

式（34）為模糊CMAC的權(quán)值更新學(xué)習(xí)算法，該算法簡(jiǎn)單易于實(shí)現(xiàn)。

5 仿真結(jié)果及分析

為了驗(yàn)證所設(shè)計(jì)方法的有效性，本文以圖1所示的兩輪差分驅(qū)動(dòng)的非完整移動(dòng)機(jī)器人為控制對(duì)象進(jìn)行matlab仿真實(shí)驗(yàn)，其中，m=10 kg，I=5 kg·m2，2R=0.4 m ，r=0.05 m ，d=0。

設(shè)參考軌跡為x2+y2=r2，r=2，其中參考線速度為vr=0.2 m/s，參考角速度為ωr=0.1 rad/s。參考機(jī)器人和實(shí)際機(jī)器人的初始位置分別為qr(0)=[2 0pi/2]T和q(0)=[1 . 7 0pi/2]T。控制器的參數(shù)選為k1=1，k2=2，k3=2，K4=15I2，Λ=0.7I2，Ik為k×k的單位矩陣。仿真時(shí)設(shè)=[2cos(5t);2sin(5t)]，并選取正定矩陣 Kd為[2.5，0；0，2.5]。

仿真結(jié)果如圖4和圖5所示，圖4為系統(tǒng)沒有加擾動(dòng)的跟蹤情況，圖5為加擾動(dòng)后的跟蹤情況。在兩組圖中，圖（a）實(shí)線所示為移動(dòng)機(jī)器人的參考軌跡曲線，虛線為實(shí)際跟蹤曲線，圖（b）xe所示為x軸方向的跟蹤誤差，ye所示為y軸方向的跟蹤誤差，thetae表示方向誤差。由仿真結(jié)果可知，移動(dòng)機(jī)器人能實(shí)現(xiàn)對(duì)給定曲線快速且平穩(wěn)的跟蹤，并且位姿誤差也能快速收斂到零。通過(guò)對(duì)比有無(wú)擾動(dòng)的情形可知，設(shè)計(jì)的控制器對(duì)有界不確定性擾動(dòng)具有很強(qiáng)的魯棒性。

圖4 沒有擾動(dòng)時(shí)的軌跡跟蹤曲線與跟蹤誤差曲線

圖5 有擾動(dòng)時(shí)的軌跡跟蹤曲線與跟蹤誤差曲線

6 結(jié)論

本文從移動(dòng)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)模型出發(fā)，提出了基于模糊CMAC的跟蹤控制器，該控制器能夠很好的消除移動(dòng)機(jī)器人的動(dòng)態(tài)不確定性和擾動(dòng)對(duì)系統(tǒng)的影響，Lyapunov穩(wěn)定性定理保證了系統(tǒng)的穩(wěn)定性和跟蹤誤差的漸近收斂。仿真結(jié)果表明了該控制器的有效性和魯棒性。

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