孔垂超，田景文，高美娟

北京聯(lián)合大學 北京市信息服務工程重點實驗室，北京 100101

1 引言

現(xiàn)代海戰(zhàn)消耗物資種類較多，艦只設備損毀量較大，后勤補給負擔重，所需后勤物資傳送距離遠，因此海上軍用補給艦船運輸路徑的選擇是軍事后勤保障的一項重要任務。時間是決定戰(zhàn)爭勝負的關鍵因素之一，如何對軍用補給艦船運輸路徑進行規(guī)劃，使海戰(zhàn)中的軍用物資經過軍事物流的必要環(huán)節(jié)高效、準確、及時地運抵戰(zhàn)斗艦只從而迅速轉化為戰(zhàn)斗力，是當前需要研究的一項現(xiàn)實而又緊迫的課題[1]。

從本質上來說，該問題屬于VRP（Vehicle Routing Problem）問題，是VRP在軍事領域的典型應用，所以軍用補給艦船路徑規(guī)劃問題具備VRP的典型特征。

由于路徑規(guī)劃問題是典型的組合優(yōu)化NP難題[2]，求解較為困難，而且具有廣泛的現(xiàn)實應用背景，所以長期以來有大量學者對其進行不斷地研究探索，研究人員從最初的精確算法開始，逐步轉向更廣闊的啟發(fā)式算法領域，如遺傳算法、禁忌搜索算法、蟻群算法等。鐘石泉等人提出通過禁忌搜索算法對軟、硬時間窗約束的VRP進行求解[3]；Chao提出用禁忌搜索算法對多運輸工具型VRP進行求解[4]；Chen等人利用遺傳算法對鋼鐵領域物流配送中的車輛時間表制定及路徑選擇問題進行求解[5]；龔延成等人利用遺傳算法求解物流配送組織過程中的運輸工具調度問題[6]；唐爐亮等人針對GPS數(shù)據的公眾出行路徑優(yōu)化問題提出了一種改進蟻群算法[7]。這些算法在VRP的求解上取得了很大的成果，可以較好地運用于海戰(zhàn)軍用物資配送的路徑規(guī)劃問題中，但也存在著不少問題和不足，如禁忌搜索算法存在對初始解有較高的依賴性的缺點；遺傳算法有局部搜索能力不強，易陷入早熟，總體上可行解的質量不高等缺點，尤其是遺傳算法的變異操作是隨機的，且個體間無信息交流，導致收斂速度較慢的問題，這在軍事應用中是一個致命的缺陷。

遺傳算法自從被提出就受到了廣泛的關注，有很多研究人員將該算法應用于解決路徑優(yōu)化、任務分配以及無線傳感器網絡（WSN）路由規(guī)劃等問題。例如田景文等人提出將遺傳算法與蟻群算法相結合來解決無線傳感器網絡路徑優(yōu)化問題[8]；高美娟等人提出一種改進遺傳算法并將其應用于Web文本挖掘[9]；李成博等人提出了一種基于遺傳算法的WMSNs多路徑多目標優(yōu)化路由算法[10]；雷霖等人提出了一種基于遺傳算法的無線傳感器網絡路徑優(yōu)化算法[11]；楊開兵等人提出了一種改進的Pareto適應度遺傳算法用于解決多目標組合優(yōu)化的求解問題[12]；孔垂超等人提出了一種將遺傳算法與BP算法相結合的改進混合算法應用于車輛路徑規(guī)劃。在這些領域的應用中，遺傳算法都表現(xiàn)出了良好的性能，但是遺傳算法也存在一些缺陷，例如：由于遺傳算法不是采用確定性規(guī)則而是采用概率變遷規(guī)則來指導其搜索方向，所以其搜索方向的明確性在解決大規(guī)模問題時遠遠達不到要求，導致其在運算過程中收斂速度慢，運算時間長，容易陷入局部最優(yōu)解，這對于軍用補給艦船運輸?shù)穆窂揭?guī)劃來說是極為不利的。

粒子群算法是基于鳥類覓食行為而提出的一種算法，其功能與遺傳算法非常相似，也是一種迭代優(yōu)化算法即系統(tǒng)初始化為一組隨機解，經由迭代來尋找最優(yōu)解，與遺傳算法相比，具有收斂速度快，參數(shù)設置少，實現(xiàn)方便且不需要梯度信息等優(yōu)點，且其搜索過程是通過并行性從一組解迭代到另一組解，其粒子運行可以搜索不確定的復雜區(qū)域，最重要的是其具有記憶特性，具有良好的搜索方向引導性能，這一特點可以用于彌補遺傳算法變異操作無方向性的缺陷。但粒子群算法也有一些缺點，如易陷入局部極值點，搜索精度不高以及數(shù)學基礎相對較為薄弱等。

本文針對上述遺傳算法與粒子群算法的優(yōu)缺點，對遺傳算法操作算子做出了很大改進，然后將兩種算法進行結合，將遺傳算子引入粒子群算法中，有效提高了算法收斂速度，得到了一種運算效率更高，運算結果更精確的改進混合優(yōu)化算法。

2 軍用補給艦船路徑規(guī)劃數(shù)學模型

軍用補給艦船路徑規(guī)劃問題實際上是VRP問題在海洋環(huán)境中的一個特定實例。因此該問題的數(shù)學建模規(guī)則跟VRP問題的建模規(guī)則是一樣的，即明確規(guī)定符合約束條件時應派出的艦船數(shù)量及各艦船的具體路徑，保證按時、按量完成運輸任務，同時盡量做到使路徑總長度最短。

根據上述數(shù)學建模規(guī)則，在本文中，軍用補給艦船路徑規(guī)劃的數(shù)學模型表述如下：某海軍基地向k艘艦船運送軍用物資，設第i艘艦船的物資需求量為gi(i=1，2，…，k)，由海軍基地派出載重量為q的運輸艦船承擔運輸任務。設gi＜q，求滿足軍用物資運輸需求的最短行程路線。

為了有效地進行路線規(guī)劃，可以事先對需要使用的艦船數(shù)目進行估算。在現(xiàn)實情況中，艦船數(shù)目的需求量取決于軍用物資裝卸的復雜程度，裝卸越復雜，約束條件就越多，艦船的實際載重量就越小。戰(zhàn)斗艦艇自主選擇的軍用物資運送艦船數(shù)目可以由下列公式[13]求得：

其中，n表示所需的艦船數(shù)；［］表示取整，為保證艦船數(shù)目足夠，在取整后再加1；gi代表第i艘艦船的物資需求量；α是參數(shù)，且0＜α＜1；q代表運輸艦船的載重量。約束條件越多的情況下，物資裝船、卸船越復雜，α值就越小，一般取α＝0.85。

用cij表示點i到點j的路程，海軍基地的編號為0，各戰(zhàn)斗艦船的編號為i(i＝1，2，…，k)，現(xiàn)定義如下變量：

可以建立下列目標函數(shù)的數(shù)學模型：

限制條件如下：

式（4）是以補給艦船行駛路徑最短作為目標函數(shù)的數(shù)學模型。式（5）、（6）、（7）、（8）為該目標函數(shù)的約束條件，其中，式（5）表示每艘艦船裝載的軍用物資總重量不得超過其最大載重量；式（6）是為了保證針對每艘戰(zhàn)斗艦艇的配送任務在同一時刻僅由一艘艦船來完成，防止出現(xiàn)多艘補給艦船在同一時刻為同一艘戰(zhàn)斗艦艇服務的混亂狀況，而所有運輸任務則由n艘艦船協(xié)同完成；式（7）、（8）保證了到達和離開某一艦艇的貨船有且僅有一艘。

由上述數(shù)學模型可知該問題是一個典型的多約束條件下的尋優(yōu)問題，諸如遺傳算法等啟發(fā)式算法在解決該類問題方面具有很大優(yōu)勢，所以本文提出了一種將改進遺傳算法與粒子群算法相結合的改進混合算法來對該問題進行求解。

3 粒子群優(yōu)化算法

粒子群優(yōu)化算法概念簡單，具有很強的較優(yōu)解搜尋能力，算法比較簡潔，易于實現(xiàn)，沒有很多參數(shù)需要調整，且不需要梯度信息。Eberhart等人已經成功將粒子群算法用于分析帕金森綜合癥等顫抖類疾病[14]；He等人用改進的速度更新方程訓練模糊神經網絡[15]。

在粒子群算法中，每個個體稱為一個“粒子”，每個粒子對應一個潛在的解。在一個D維的目標搜索空間中，每個粒子被看成是空間內的一個點。設群體由m個粒子構成，zi=(zi1，zi2，…，ziD)為第i個粒子 (i=1，2，…，m)的D維位置矢量，根據事先設定的適應度值函數(shù)計算zi當前的適應度值；vi=(vi1，vi2，…，vid，…，viD)為粒子i的飛行速度；pi=(pi1，pi2，…，pid，…，piD)為粒子迄今為止搜索到的最優(yōu)位置；pg=(pg1，pg2，…，pgd，…，pgD)代表整個粒子群迄今為止搜索到的最優(yōu)位置。在每次迭代中，粒子根據以下公式更新速度和位置：

其中，i=1，2，…，m，d=1，2，…，D，k是迭代次數(shù)，r1和r2為[0，1]之間的隨機數(shù)，這兩個參數(shù)用來保持群體的多樣性；c1和c2為學習因子，使粒子具有自我總結和向群體中優(yōu)秀個體學習的能力，從而向自己的歷史最優(yōu)點以及群體內歷史最優(yōu)點靠近。粒子群算法的簡化流程圖如圖1所示。

粒子群算法具有記憶性，較優(yōu)解的知識被所有粒子都保存，而對于遺傳算法，以前的知識隨著種群的改變被破壞。在粒子群算法中，信息只來自粒子自身找到的最優(yōu)位置和群體中的最好粒子，整個搜索更新過程是跟隨當前最優(yōu)值的過程，其方向性較為明確，因此，與遺傳算法比較，所有的粒子在大多數(shù)情況下可以更快地收斂于最優(yōu)值。

圖1 粒子群算法流程圖

4 改進遺傳算法

遺傳算法是一種全新的全局優(yōu)化搜索算法，以其簡單通用，魯棒性強，適用于并行處理等特點，成為一種被廣泛應用的重要啟發(fā)式算法[16]。但是遺傳算法也有較多的缺點，較明顯的是其采用概率的變遷規(guī)則來指導其搜索方向，導致搜索方向的明確性達不到要求，且其變異是隨機的，缺乏方向性，導致收斂速度不快，耗費時間長，這在軍用補給艦船運輸路徑規(guī)劃中是極為不利的。

本文對傳統(tǒng)遺傳算法進行改進，在遺傳算法的操作中加入克隆操作算子，在選擇操作中采用截斷選擇策略。下面是在本文在改進遺傳算法中所采用的操作算子：

（1）選擇。本文放棄常用的輪盤賭策略，采用截斷選擇法進行參數(shù)選擇，截斷選擇法是一種人工選擇法，適用于規(guī)模較大的種群。在截斷選擇法中，個體按適應度值排序，只有最優(yōu)秀的個體可以被選作父代個體，截斷選擇的參數(shù)叫做截斷閾值Trunc，指的是被選作父代個體的百分比，在本文中，Trunc的取值為10%。在該閾值之下的個體不能產生子個體。

顯然，這種選擇方式也使得適應度值較高的個體具有較大的“生存”機會。同時，由于它只使用適應度值的相對值作為選擇的標準，而與適應度值的數(shù)值大小不成直接比例，從而它也能避免超級個體的影響，在一定程度上避免了過早收斂和停滯現(xiàn)象的發(fā)生。

在運輸艦只路徑規(guī)劃中，染色體即為各種不同的路徑，種群即多條染色體的集合，適應度值取路徑長度l的倒數(shù)。在采用錦標賽選擇策略時，路徑長度l越短，染色體的適應度值越高，適應度值最高的染色體得以保留作為下一代種群的父代染色體。

選擇強度為：

多樣化損失為：

選擇方差為：

其中fc為下列高斯分布的積分下限：

（2）克隆。克隆操作就是對適應度值較高的個體進行復制，產生一個新的子群體，從而擴大解的搜索范圍。本算法中，將由第一步通過截斷選擇所產生的父代個體進行克隆操作，產生一個新的子代群體，這樣便擴大了解的搜索空間。

本算法中克隆算子的定義如下：

設Γc為一個Rn→Rn的映射，如果對任一X∈Rn有Γc(X)=[Γc(x1)，Γc(x2)，…，Γc(xn)]T成立，則稱 Γc為克隆算子。

其中 Γc(xi)=Ii×xi，Ii是NCi維行向量，NCi代表克隆的數(shù)量，其值可事先確定，也可在算法中動態(tài)調整。在上述算法中，克隆的規(guī)模與適應度值成正比，既適應度越高，個體被克隆得越多，在這里克隆的數(shù)量NCi按下式計算NCi=[βN/i]，i=1，2，3，…，其中，β∈(0，1)是克隆常數(shù)，N是種群規(guī)模，將個體按適應度度排序，i是其序號。

（3）變異。變異操作是遺傳算法中保持物種多樣性的一個重要途徑，不僅被視為找回因交叉操作而遺失優(yōu)良基因的手段，還是探索相鄰空間、優(yōu)化性能的有力工具?？紤]到VRP問題的實際情況，一般采用自然數(shù)形式編碼。本文對于新種群的個體采取用Logistic方程對應的概率分布函數(shù)來進行變異操作的方案。

Logistic方程對應的概率密度函數(shù)如下：

利用該變異操作產生的種群多樣度較高，跳出局部極值的能力較強。本算法對適應度值越低的個體所進行的變異程度越高，對克隆所產生的個體進行變異操作，保留原父代個體，從而保證了原有優(yōu)秀個體，又擴大了解的搜尋范圍。

（4）交叉。由于在VRP問題中一般采用自然數(shù)形式編碼，所以在交叉操作時一般采用離散交叉方式，即在個體之間變換變量的值，子個體的每個變量等概率地隨機挑選父個體。

5 改進遺傳粒子群混合算法的實現(xiàn)步驟

本文所提出的改進遺傳-粒子群混合算法的基本思想是在粒子群算法中引進遺傳算法的操作算子，即標準遺傳算法的選擇、交叉和變異算子，以及本文為改進遺傳算法所引入的克隆算子，提高粒子群算法擺脫局部極值點的能力和提高搜索精度的能力，同時將粒子群優(yōu)化中粒子的飛行引入遺傳算法中去，用粒子群公式對每個個體的速度及位置進行更新，并限制其不超過邊界，并更新全局最優(yōu)位置；用粒子群優(yōu)化公式指導遺傳變異，使得變異操作具有更加明確的方向性，按粒子群優(yōu)化公式對執(zhí)行變異操作后的個體進一步更新其位置，直到找到達到評估要求的全局最優(yōu)解。該算法通過將粒子群算法與改進的遺傳算法進行結合，實現(xiàn)兩種算法的優(yōu)勢互補。

本文提出的改進遺傳-粒子群混合算法的實現(xiàn)步驟如下：

（1）隨機初始化種群P，種群大小為n，確定每個個體的初始位置和速度；

（2）根據目標函數(shù)計算所有個體的適應度值；

（3）若達到結束條件，算法終止；

（4）選擇部分適應度值高的個體組成集合Pm；

（5）在Pm中選擇適應度值最高的k個個體進行克隆操作得到Pc，克隆的數(shù)量與適應度值成正比；

（6）用前文中所提到的改進遺傳算法對Pc中的個體進行交叉與變異操作，適應度值越低的個體其變異程度越大；

（7）重新計算Pc中每個個體的適應度值；

（8）按粒子群優(yōu)化進化公式對Pc中每個個體的速度和位置進行更新，同時限制其不超過邊界，并更新全局最優(yōu)位置；

（9）回到（2）。

在算法的第（8）步，針對變異后的種群，將粒子群優(yōu)化算法公式引入遺傳操作過程，使得個體具有社會性特征，可促進不同個體之間信息的交流，其良好的最優(yōu)解搜索方向引導性能使得對最優(yōu)解的搜索具有更明確的方向性，可以彌補遺傳算法變異操作無方向性的缺陷，因此可以提高算法的性能；同時，因為粒子群算法需要調整的參數(shù)較少，需要評估函數(shù)的次數(shù)少，不需要目標函數(shù)的梯度信息，所以可以提高算法的收斂速度。

改進遺傳-粒子群混合算法流程圖如圖2。

圖2 改進混合算法流程圖

圖3 Sphere函數(shù)的尋優(yōu)曲線圖

6 仿真結果分析

6.1 仿真實驗

本文所做的兩次仿真實驗均是在MATLAB環(huán)境下進行的。

為了驗證所提出的改進混合算法的尋優(yōu)性能，本文選用如下函數(shù)進行實驗。

（1）Sphere函數(shù)：

該函數(shù)為簡單的單峰二次函數(shù)。

（2）Rastrgin函數(shù)：

該函數(shù)是具有大量局部極值點的多峰函數(shù)，非常難尋到全局最優(yōu)值，本次仿真實驗的理論最優(yōu)值為0。

函數(shù)f1(x)和f2(x)的標準粒子群算法和改進的粒子群優(yōu)化算法函數(shù)的運算30次平均優(yōu)化結果，如表1所示；函數(shù)f1(x)和f2(x)函數(shù)優(yōu)化曲線分別如圖3和圖4所示（圖中曲線1、2和3分別代表自適應遺傳算法、免疫遺傳算法和改進混合算法的尋優(yōu)曲線）。

表1 三種算法分別對兩個函數(shù)進行尋優(yōu)所得數(shù)據

由表1可知，對于Sphere和Rastrgin兩個函數(shù)來說，本文所提出的改進混合算法比自適應遺傳算法和免疫遺傳算法具有更好的尋優(yōu)能力，可以找到更接近理論最優(yōu)值0的平均最小值，通過數(shù)值比較也能看出，改進混合算法的收斂性能和搜索能力也比另外兩種算法好。同時，由圖3和圖4的尋優(yōu)曲線圖可以看出，相比另外兩種算法，本文所提出的改進混合算法能達到更小的適應度值，從而擴大了搜索范圍和提高了收斂精度；對于較為復雜的Rastrgin函數(shù)來說，改進混合算法的尋優(yōu)曲線也比另外兩種算法要平滑，說明改進混合算法穩(wěn)定性更好，效果也更明顯。

圖4 Rastrgin函數(shù)的尋優(yōu)曲線圖

在本次仿真實驗中，建立一個平面坐標系，選取適當大小的平面區(qū)域作為艦船活動區(qū)域（為方便計算，本文選取橫縱坐標均為100個單位長度的區(qū)域作為仿真實驗區(qū)域）。選擇一艘艦船需要遍歷的節(jié)點數(shù)為29，即k=29，加上海軍基地共30個節(jié)點。分別對自適應遺傳算法、免疫遺傳算法和本文所提出的粒子群優(yōu)化遺傳算法進行了仿真，以便更好地對本文提出的粒子群優(yōu)化遺傳算法的性能進行對比分析。

在仿真實驗中，隨機選取的30個節(jié)點的坐標分別為（87，7），（91，38），（83，46），（71，44），（64，60），（68，58），（83，69），（87，76），（74，78），（71，71），（58，69），（54，62），（51，67），（37，84），（41，94），（2，99），（7，64），（22，60），（25，62），（18，54），（4，50），（13，40），（18，40），（24，42），（25，38），（41，26），（45，21），（44，35），（58，35），（62，32）。令（87，7）代表海軍基地，編號為0，后面依次編號為1，2，…，29。節(jié)點編號均在仿真實驗所得路徑示意圖中標出，見圖5、圖6、圖7。

圖5 利用自適應遺傳算法得到的路徑示意圖

圖6 利用免疫遺傳算法得到的路徑示意圖

圖7 利用改進混合算法得到的路徑示意圖

利用本文所提出的改進遺傳-粒子群混合算法與免疫遺傳算法、自適應遺傳算法尋找海上軍用物資路徑規(guī)劃的全局最優(yōu)解。本文的仿真實驗以相鄰兩次優(yōu)化過程中均方誤差的差值的變化率小于等于0.01作為算法終止的條件，此時得到的解已經充分接近最優(yōu)解，這時算法終止。下面比較三種算法求得的結果，分析其求解性能與效率。

圖5、圖6和圖7分別是三種算法所求得的仿真路徑示意圖（圖中坐標系用于確定節(jié)點的位置，使得所求路徑便于觀察，便于參考路徑長度比例關系，所以其坐標值并不是帶單位的具體長度）。

利用自適應遺傳算法求得的路徑為：0→1→2→5→6→7→8→9→10→4→11→12→14→13→18→16→22→20→15→21→19→17→24→23→3→29→28→27→25→26→0。

利用免疫遺傳算法求得的路徑為：0→1→3→2→5→9→8→6→7→4→11→10→12→17→18→16→20→19→22→21→15→14→13→23→24→27→28→26→25→29→0。

利用改進混合算法求得的路徑為：0→1→2→3→28→27→26→25→24→23→22→21→20→18→17→19→16→15→14→10→11→12→13→4→7→6→8→9→5→29→0。

按照以相鄰兩次優(yōu)化過程中均方誤差差值的變化率小于等于0.01作為算法終止條件的標準，所得實驗結果為通過自適應遺傳算法在57.1 s的時間內得到長度為523.013 3個單位長度的路徑，通過免疫遺傳算法在61.8 s的時間內得到長度為492.363 3個單位長度的路徑，通過改進混合算法在55.3 s的時間內得到長度為476.384 2個單位長度的路徑。

根據實驗所得結果可以看出與自適應遺傳算法和免疫遺傳算法相比，本文所提出的改進混合算法的求解效率是最高的。仿真實驗所得數(shù)據如表2所示。

表2 三種算法計算所得數(shù)據

6.2 實驗結果分析與評價

從實例仿真可以看出，本文所提出的改進混合算法相對于其他兩種算法能夠以更快的速度收斂到全局最優(yōu)解；求解方面，改進混合算法比其他兩種算法找到的路徑長度更短，其解的質量有很大提高。說明本文的改進混合算法跟其他兩種算法相比，不僅操作簡單，而且收斂效果好，收斂速度快，全局收斂率高。

7 總結

由研究車輛路徑規(guī)劃問題（VBR）的算法開始，通過分析遺傳算法與粒子群算法各自的優(yōu)缺點，研究出將兩種算法進行結合的改進混合算法，用于解決軍用補給艦船運輸路徑規(guī)劃的問題。該方法的特點是將粒子群優(yōu)化算法中加入改進的遺傳操作算子，并將粒子群優(yōu)化公式對遺傳變異進行引導，有效提高了遺傳算法的尋優(yōu)效率。本文改進混合算法通過對遺傳算法與粒子群優(yōu)化算法的結合，比較有效地將兩種算法的優(yōu)缺點進行了互補，提高了求解效率與質量。通過在MATLAB環(huán)境下利用Sphere函數(shù)和Rastrgin函數(shù)對自適應遺傳算法、免疫遺傳算法與改進混合算法的尋優(yōu)性能進行驗證，并進行30個節(jié)點的仿真實驗，對仿真結果做對比分析，證明本文的改進混合算法在尋優(yōu)能力和效率等方面要優(yōu)于其他兩種算法，在軍用補給艦船路徑規(guī)劃問題的求解中具有求解速度快，所得解質量高的優(yōu)點，因而本方法是有效且可行的。

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