孫建英

(青島理工大學(xué) 琴島學(xué)院，山東 青島266106)

0 引 言

整數(shù)規(guī)劃模型是數(shù)學(xué)建模中一種常見的很重要的模型，它在汽車生產(chǎn)、鋼管下料、指派問題及高校學(xué)生選課策略［1］等方面都有廣泛的應(yīng)用，對(duì)于一般的整數(shù)規(guī)劃模型，可以利用Lingo 軟件求解，但是掌握起來比較困難.隨著Matlab 版本的提高，可以直接調(diào)用Matlab 優(yōu)化工具箱(Optimization Toolbox)中的bintprog 或者intlinrog 函數(shù)求解0－1整數(shù)規(guī)劃問題，本文通過投資項(xiàng)目的選擇問題進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn).

1 0－1 整數(shù)規(guī)劃的數(shù)學(xué)模型

0－1 整數(shù)規(guī)劃的數(shù)學(xué)模型的一般形式為:

亦可寫成矩陣形式

為了能直接調(diào)用Matlab 優(yōu)化工具箱中的函數(shù)，0－1 整數(shù)規(guī)劃模型要改為如下標(biāo)準(zhǔn)形式:

2 Matlab 優(yōu)化工具箱中的函數(shù)

Matlab 優(yōu)化工具箱中可以用來求解0－1 整數(shù)規(guī)劃問題的函數(shù)有兩個(gè)bintprog 或intlinprog，調(diào)用格式如下:

1)函數(shù)bintprog 的調(diào)用格式

返回的是0－1 整數(shù)決策變量和相應(yīng)的最小目標(biāo)函數(shù)值，f 是由目標(biāo)函數(shù)的系數(shù)構(gòu)成的向量，A，b分別是不等式約束的系數(shù)矩陣和右端項(xiàng)，Aeq，beq分別是等式約束的系數(shù)矩陣和右端項(xiàng)，X0是整數(shù)變量的初始值，options 是控制規(guī)劃過程的參數(shù)系列，調(diào)用時(shí)要注意參數(shù)的位置，如果缺少的話，應(yīng)該用［］補(bǔ)位.

2)函數(shù)intlinprog 的調(diào)用格式

intcon 表示整數(shù)決策變量的位置，lb，ub 分別表示決策變量的上下限.其它參數(shù)的意義不變.

兩個(gè)函數(shù)雖然都能求解0－1 整數(shù)規(guī)劃問題，但是在具體應(yīng)用過程中發(fā)現(xiàn)有三個(gè)需要注意的問題，一是對(duì)Matlab 版本的要求，前者適用于Matlab7.0 以上，后者適用于Matlab2014A 以上版本;二是對(duì)整數(shù)變量的個(gè)數(shù)有要求，當(dāng)變量的個(gè)數(shù)比較多時(shí)，像文獻(xiàn)［2］中需要100*1000 個(gè)整數(shù)變量的時(shí)候，只能用后者求解;三是intlinprog 函數(shù)也可以求解一般的整數(shù)規(guī)劃問題，但是bintprog 函數(shù)不能.考慮到以上種種，本文實(shí)例采用intlinprog 函數(shù)為例.

3 實(shí)例分析

3.1 投資項(xiàng)目的選擇問題的提出

某單位在年初有15 萬的資金，有5 個(gè)可以投資的項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目需要的投資額和期望收益如表1，問應(yīng)投資哪幾個(gè)項(xiàng)目，期望收益才能保證最大?

表1

(1)甲、丙、戊三個(gè)項(xiàng)目需且僅需選擇一項(xiàng);

(2)乙和丁兩個(gè)項(xiàng)目需且僅需選擇一項(xiàng);

(3)丙和丁項(xiàng)目密切關(guān)聯(lián)，必須先實(shí)施丁之后才能實(shí)施丙，

3.2 模型的建立

設(shè)決策變量x1，x2，x3，x4，x5分別表示甲、乙、丙、丁、戊項(xiàng)目，并且規(guī)定xj=1 表示j 項(xiàng)目被選中，xj=0 表示j 項(xiàng)目不被選中，(j=1，2，3，4，5)，Z 表示期望收益

目標(biāo)函數(shù)為最大期望收益:maxZ=10x1+8x2+7x3+6x4+9x5，為了能直接調(diào)用intlinprog 命令，把目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為min(－Z)=－10x1－8x2－7x3－6x4－9x5

約束條件有兩類，一類是資金總額的限制;一類是項(xiàng)目之間互斥或者先后關(guān)系的限制

3.3 Matlab 仿真

Matlab 程序如下:

故只需選擇甲項(xiàng)目和乙項(xiàng)目，期望收益為18萬元.

3.4 補(bǔ)充說明

intlinprog 命令也可以求解一般的整數(shù)線性規(guī)劃模型，只要把上述程序中的參數(shù)ub 也就是整數(shù)決策變量的上限不限制為1 就可以了，操作起來非常簡(jiǎn)單.并且該命令也可以求解混合整數(shù)線性規(guī)劃問題，這時(shí)候需要用intcon 來指明哪一個(gè)決策變量是整數(shù)即可.

［1］ 姜啟源，謝金星，葉俊.數(shù)學(xué)模型(第四版)［M］.北京:高等教育出版社，2011.

［2］ 王穎，高德宏，施恒.DVD 租賃優(yōu)化方案［J］.工程數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2005，22(7):76－84.