彭 慧，劉潤琴，婁顏超

(喀什大學(xué)物理與電氣工程學(xué)院，新疆 喀什844000)

0 引 言

傳統(tǒng)的對音頻數(shù)據(jù)進(jìn)行采集和壓縮通常采用先采集后壓縮的方法，即信號采樣必須遵循奈奎斯特定理，采樣頻率不能低于信號帶寬的2 倍.高速采樣取得完整的信號樣本后，再將其投影到某個特定的基上得到稀疏表示，稀疏向量中的部分較小分量或不重要的系數(shù)被舍棄，僅保留重要的系數(shù)并對其大小及位置進(jìn)行編碼、存儲和傳輸.這種奈奎斯特采樣定理框架下的數(shù)據(jù)采集與處理過程實際是對采樣資源的極大浪費.這種框架下，采樣是對完整信號進(jìn)行的，這對采樣的硬件設(shè)備和存儲空間提出了較高的要求，然而采樣得到的大部分?jǐn)?shù)據(jù)被丟棄，并沒有得到很好的利用.

針對上述問題，本文結(jié)合新穎的壓縮感知理論提出一種新型的音頻信號采集方法.該方法將音頻信號的采樣與壓縮過程合并，直接在音頻信號采集節(jié)點上對音頻信號以遠(yuǎn)低于奈奎斯特頻率進(jìn)行低速隨機采樣，信號的重建在計算、存儲能力較強的用戶端進(jìn)行.在保證信號重建質(zhì)量的前提下，音頻信號的低速隨機采樣能夠大大降低節(jié)點數(shù)據(jù)采集與傳輸?shù)哪芎?，從而有效解決無線音頻傳感器網(wǎng)絡(luò)中由于數(shù)據(jù)量大造成的網(wǎng)絡(luò)擁塞和較大能消耗問題.

1 壓縮感知理論框架

壓縮感知理論［1］是近年來信號采集與處理領(lǐng)域出現(xiàn)的新理論，該理論顛覆了統(tǒng)治信號處理領(lǐng)域多年的奈奎斯特采樣定理，其指出只要信號具有稀疏性或在某個變換域內(nèi)具有稀疏性，那么就可以以遠(yuǎn)低于奈奎斯特采樣頻率對其進(jìn)行采樣，采樣信號包含了信號的全部信息，可以保證其在重構(gòu)端的精確重建.壓縮感知理論的框架如下.

假設(shè)x 是實數(shù)域上長度為N 的離散信號，x ∈RN×1.若x 滿足(1)式則稱x 具有稀疏性且稀疏度為K.

式中:‖x‖0為向量x 的L0范數(shù).K 為信號稀疏度，且K ＜＜N.在實際中如果存在一個變換域Ψ，Ψ ∈RN×N，使得信號在這個變換域上有稀疏性，那么(2)式成立.此時，信號的稀疏度用K 來衡量.

當(dāng)信號具有一定的稀疏性，且可以構(gòu)造一個矩陣φ，φ ∈RM×N，該矩陣必須與信號的稀疏基不相關(guān)(滿足RIP 準(zhǔn)則)，那么信號可以被矩陣φ 進(jìn)行壓縮.

式中y 為壓縮后得到的測量向量.信號與矩陣φ 的內(nèi)積運算就是信號的壓縮過程，也可以稱為測量過程.

信號的重建需要通過向量y 恢復(fù)出原始信號x.恢復(fù)過程就是i0范數(shù)下的最優(yōu)化問題.

一般情況下將(4)式所示的l0范數(shù)下的最小化問題轉(zhuǎn)化為(5)式的l1范數(shù)下的最小化問題才可以進(jìn)行求解.

(5)式對應(yīng)的是一個線性規(guī)劃問題，也可以稱為凸優(yōu)化問題，線性規(guī)劃問題的求解較(4)式的問題簡便.當(dāng)Z 得到求解，就可以求得原始信號x 的近似解，求解過程如(6)式所示.

2 數(shù)據(jù)采集方案設(shè)計

2.1 數(shù)據(jù)采集整體方案設(shè)計

從物理實踐的簡單性考慮，為降低壓縮感知框架下觀測結(jié)構(gòu)的硬件復(fù)雜度，本部分提出了一種對音頻信號進(jìn)行直接欠采樣的采集方案，直接對音頻信號進(jìn)行低速隨機非均勻的直接抽取，在信號重構(gòu)端根據(jù)隨機抽取的時刻生成隨機采樣的等效觀測矩陣，對音頻信號進(jìn)行重建［2］.該方案在現(xiàn)有的無線音頻傳感器網(wǎng)絡(luò)上能夠直接實現(xiàn)音頻信號的低速隨機采樣，而不用改變信號采樣的硬件電路設(shè)計.

該方案中對音頻信號的低速隨機采樣方法除了需要重新設(shè)計采樣時鐘外，傳統(tǒng)采樣電路的其他部分并不需要重新設(shè)計，就可以用于壓縮感知框架下的信號觀測處理.

圖1 音頻信號隨機采樣示意圖

在信號采集設(shè)備上直接對音頻信號直接進(jìn)行隨機采樣，是否能夠保留原信號的全部信息，在信號的接收端能夠?qū)σ纛l信號進(jìn)行精確重建呢?

在壓縮感知理論的框架下，只要能夠產(chǎn)生合理的隨機采樣時序，隨機采樣時可以保留信號的全部信息的;根據(jù)壓縮感知理論信號重建框架可知，信號在重建時需要與隨機觀測時完全相同的觀測矩陣，與離散信號的壓縮感知線性觀測不同，對模擬信號的隨機觀測矩陣需要根據(jù)隨機采樣時序進(jìn)行推導(dǎo)，得到等效的觀測矩陣，重建端根據(jù)等效觀測矩陣和隨機采樣得到的信號序列對信號進(jìn)行重建.所以要實現(xiàn)對音頻信號的隨機采樣就需要解決兩個核心問題:如何產(chǎn)生合理的隨機采樣序列和如何構(gòu)建重建端所需的等效觀測矩陣［3］.

2.2 音頻信號隨機采樣的實現(xiàn)

對音頻信號的隨機采樣只需要調(diào)整A/D 采樣的時序;若要想在音頻采集節(jié)點上實現(xiàn)對音頻信號的隨機采樣，那么關(guān)鍵就是設(shè)置信號隨機采樣的時序.

(1)單純隨機采樣

隨機采樣的實現(xiàn)關(guān)鍵是產(chǎn)生控制采樣設(shè)備動作的隨機采樣時刻序列.常用的方法是單純隨機采樣方法:首先定義采樣時間窗、平均采樣率，計算每個采樣時間窗內(nèi)的需要采樣的點數(shù)，設(shè)置隨機數(shù)發(fā)生器產(chǎn)生隨機的采樣時刻，再按照時間先后順序進(jìn)行排序得到采樣時序，利用該時序去控制硬件上的采樣設(shè)備，使其在規(guī)定時刻對模擬的音頻信號進(jìn)行采樣.

值得注意的是隨機數(shù)發(fā)生器產(chǎn)生的采樣時刻并不是實際意義上的隨機數(shù)，而是偽隨機數(shù)，是按一定的算法和種子值生成的.真正意義上的隨機數(shù)的結(jié)果是無法進(jìn)行預(yù)測的，所以在實際應(yīng)用中，在計算機上產(chǎn)生的隨機數(shù)并不是真正意義上的隨機數(shù)，其是根據(jù)一定的規(guī)律計算出來的，稱為偽隨機數(shù).利用這種偽隨機性，只要隨機數(shù)發(fā)生器函數(shù)和隨機數(shù)種子一樣，那么就可以產(chǎn)生完全相同的隨機數(shù)序列，所以偽隨機序列是可重復(fù)的、可再現(xiàn)的.

不難發(fā)現(xiàn)，這樣的做法存在的缺陷是:

其一:隨機數(shù)發(fā)生器產(chǎn)生的隨機數(shù)不是因果的，不能直接作為采樣時刻值，要進(jìn)行排序，排序必然會帶來額外的計算量，增加計算時延.

其二:排序后的隨機數(shù)序列也很難對采樣間隔進(jìn)行限制，就會出現(xiàn)某一段時間內(nèi)采樣間隔很小而且采樣點數(shù)很多，而某一段時間內(nèi)采樣間隔很大采樣點數(shù)很少，這樣并不利于保證信號重建的質(zhì)量.

圖2 單純隨機采樣與加性隨機采樣信號重建效果對比

(2)加性隨機采樣

單純隨機采樣的采樣時刻生成方法在實際應(yīng)用中并不是最理想的，針對其缺點提出另一種采樣時刻生成方法.

其核心思想是:在保證采樣時刻隨機性的基礎(chǔ)上，下一個采樣時刻根據(jù)前一個采樣時刻進(jìn)行計算.即在上一個采樣時刻的基礎(chǔ)上加上一個合理的時間段，使之形成新的采樣時刻，最終構(gòu)成一個完整的采樣時刻序列.這種方法稱為加性隨機采樣.

首先要對固定點數(shù)的采樣時間長度進(jìn)行計算，這個時間可以稱為采樣時間窗.采樣時間窗的確定根據(jù)音頻信號的稀疏度、重建時所要達(dá)到的信號重建精度來確定，計算式如(7)式.

式(7)中Tw為采樣時間窗的長度，fs 為滿足奈奎斯特采樣定理的采樣頻率(fs＞2fmax)，n 采樣點數(shù).確定采樣時間窗后，可以由式(8)及(9)確定采樣時間窗內(nèi)的采樣時刻，采樣時刻的個數(shù)即為采樣點數(shù)n.

式中α 為采樣次數(shù)，ti為第i 個采樣時刻，i=1，2，3，…α，，τi為采樣時間間隔.加性隨機采樣的采樣的平均采樣頻率由式(11)計算.

3 數(shù)據(jù)重建與恢復(fù)

在本方案中，音頻采集節(jié)點利用隨機數(shù)發(fā)生器產(chǎn)生隨機的采樣時刻序列對音頻信號進(jìn)行隨機采樣，并將隨機采樣得到的采樣序列和產(chǎn)生采樣時刻序列的隨機數(shù)種子發(fā)送至用戶端，用戶端若想要實現(xiàn)信號重建需要進(jìn)行以下幾個步驟:

首先根據(jù)隨機數(shù)種子產(chǎn)生與各節(jié)點完全相同的隨機采樣時刻序列，然后根據(jù)隨機采樣時刻序列構(gòu)建出隨機采樣等效觀測矩陣，將等效觀測矩陣與稀疏基矩陣聯(lián)合構(gòu)成信號恢復(fù)矩陣，當(dāng)恢復(fù)矩陣構(gòu)建成功，就可以選擇合適的重建算法對信號進(jìn)行重建了.

對模擬信號的隨機采樣過程實質(zhì)上是壓縮感知的隨機觀測過程，與離散信號的隨機觀測不同的是，離散信號在重建時所用到的觀測矩陣與信號在實現(xiàn)線性測量時所用的觀測矩陣完全相同，所以信號重建時只需要將觀測矩陣與恢復(fù)矩陣聯(lián)合構(gòu)成恢復(fù)矩陣，就可以通過壓縮感知重建算法實現(xiàn)信號的重建;而隨機采樣需要根據(jù)隨機采樣時刻構(gòu)建等效的觀測矩陣進(jìn)行信號的重建，當(dāng)?shù)刃в^測矩陣構(gòu)建成功后，余下的信號重建過程與離散信號的重建就沒有差別了.

4 仿真與分析

4.1 不同采樣率下信號重建效果分析

仿真實驗使用MATLAB2012a，音頻測試信號為40 段.wav 格式的鋼琴曲的截斷信號.

實驗一:從40 段測試信號中任意選擇一段信號，截取該段信號N=512 點的數(shù)據(jù)作為本實驗的測試信號.分別對該段信號進(jìn)行單純隨機采樣、加性隨機采樣，采樣點數(shù)取M=0.5N=256，并根據(jù)采樣得到的數(shù)據(jù)進(jìn)行信號重建.對比單純隨機采樣與加性隨機采樣的重建效果.

從圖2 中可以看出單純隨機采樣等效觀測矩陣與加性隨機采樣等效觀測矩陣均能夠較好的恢復(fù)出原信號.其中，單純隨機采樣重建信噪比SNR=24.872db;加性隨機采樣信號重建信噪比SNR=25.162db.

實驗二:本實驗中的音頻信號取與實驗一相同的音樂信號，為了分析隨機采樣數(shù)目M 對隨機采樣等效觀測矩陣重建性能的影響，本實驗中保持音頻信號長度N =512 不變，改變隨機采樣點的數(shù)目，對比四種觀測矩陣(高斯隨機矩陣、伯努利二進(jìn)制矩陣、單純隨機采樣等效觀測矩陣、加性隨機采樣等效觀測矩陣)下該段音頻信號的重建效果.值得注意的是，對音頻信號隨機采樣時確定的采樣點數(shù)目實際上就是信號重建時的觀測值數(shù)目M.本實驗中，分別取M=0.3N，…M=0.6N，重建效果用重建信噪比衡量.表1 中，c 代表單純隨機采樣等效觀測矩陣、d 代表加性隨機采樣等效觀測矩陣.

從表1 中的結(jié)果可以看出，對固定長度的音頻信號而言，隨機采樣的點數(shù)越多，信號重建信噪比越高，效果越好.

表1 四種觀測矩陣在觀測值數(shù)目不同時信號重建效果對比

13.521 20.007 24.803 27.376

圖3 信號含噪聲時采樣值數(shù)目對重建效果的影響(單純隨機)

圖4 信號含噪聲時采樣值數(shù)目對重建效果的影響(加性隨機)

4.2 含噪信號重建效果分析

實驗二:本實驗仍然探討原信號中混入噪聲的情況，測試信號選擇與實驗一相同的40 段音頻信號.為分析含噪聲條件下采樣點數(shù)對隨機等效觀測矩陣重建效果的影響.表2 中結(jié)果為對音頻信號進(jìn)行單純隨機采樣并重建后得到的重建信噪比，表3中結(jié)果為對音頻信號進(jìn)行加性隨機采樣并重建后得到的重建信噪比.為更加直觀的說明信號中加入一定強度噪聲時，采樣點數(shù)對信號重建效果的影響，將原信號信噪比為5db、15db、25db 時的重建結(jié)果畫成圖形，如圖3 和4 所示.

表2 信號中加入不同強度噪聲單純隨機采樣不同點數(shù)下重建效果

25db 12.072 23.112 24.325 24.512

表3 信號中加入不同強度噪聲加性隨機采樣不同點數(shù)下重建效果

由圖3 和圖4 可以直觀的看出，當(dāng)原信號信噪比一定時，隨著隨機采樣點數(shù)的增加，重建信噪比有所增加，但當(dāng)采樣點數(shù)增加至一定值后，采樣點數(shù)的增加對信號重建信噪比的作用減小，重建信噪比趨于穩(wěn)定.

5 結(jié)語

本文結(jié)合壓縮感知理論，提出音頻信號低速隨機采樣方案.

(1)該方案在音頻采集節(jié)點處對音頻信號進(jìn)行低速隨機采樣，以0.4 倍奈奎斯特頻率對音頻信號采樣時，信號重建誤差低于0.02;以0.5 倍奈奎斯特頻率對音頻信號采樣時，信號重建誤差低于0.01.

(2)在含噪聲模型下，音頻信號的重建質(zhì)量與噪聲強度相關(guān)，當(dāng)原始信號信噪比大于15db 時，該方案有一定抑制噪聲功能，重建信噪比高于原始信號信噪比.

(3)該方案中，信號的重建算法時間、空間復(fù)雜度較大，所以適合在計算及存儲資源豐富的數(shù)據(jù)終端上進(jìn)行，不適合在傳感器節(jié)點上進(jìn)行.

低速的數(shù)據(jù)采樣相當(dāng)于將數(shù)據(jù)采集與壓縮過程合并，直接得到壓縮后的數(shù)據(jù)并將其在網(wǎng)絡(luò)中進(jìn)行傳輸.該方案能夠大大降低數(shù)據(jù)采集與傳輸?shù)哪芎模琴Y源節(jié)約型的數(shù)據(jù)采集方案，特別適用于硬件采樣資源及能耗有限的無線音頻傳感器網(wǎng)絡(luò).

［1］ 趙貽玖，王厚軍，戴志堅.高速模擬信號壓縮采樣實現(xiàn)［J］.電子科技大學(xué)學(xué)報，2012，41(4).

［2］ 曾理，張雄偉，陳亮.基于壓縮感知的K－L 分解語音稀疏表示算法［J］.數(shù)據(jù)采集與處理，2013，28(3).

［3］ 王泉，張納溫，張金成，.等.壓縮感知在無線傳感器網(wǎng)絡(luò)數(shù)據(jù)采集中的應(yīng)用［J］.傳感技術(shù)學(xué)報.2014(11).