陳松良，蔣啟燕，崔忠偉

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一類有可換Sylow 2-子群的83階群的完全分類

*陳松良1，蔣啟燕2，崔忠偉1

(1.貴州師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，貴州，貴陽(yáng)550018；2.貴州師范大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，貴州，貴陽(yáng)550001)

設(shè)為奇素?cái)?shù)（≠3，7），是Sylow 2-子群是型為(22，2)的8階交換群4×2的83階群，利用群在群上的作用理論，對(duì)群進(jìn)行了完全分類并確定了它的全部構(gòu)造，即：1)當(dāng)≡1(mod 4)時(shí)，恰有74個(gè)彼此不同構(gòu)的類型；2)當(dāng)≡3(mod 4)時(shí)，恰有40個(gè)彼此不同構(gòu)的類型。

有限群；同構(gòu)分類；群的構(gòu)造

設(shè)是奇素?cái)?shù)（≠3，7）, 文獻(xiàn)[1]研究了83階群的構(gòu)造，但因證明過(guò)程復(fù)雜而冗長(zhǎng)，所以沒有給出證明過(guò)程。文獻(xiàn)[2]討論了Sylow 2-子群為交換群的83階群的構(gòu)造，也沒有給出具體的構(gòu)造。我們注意到文獻(xiàn)[1]與文獻(xiàn)[2]的結(jié)論有些不一致，孰是孰非，值得澄清。本文應(yīng)用群在群上的作用理論，確定了Sylow2-子群是型為(22，2)的8階交換群4×2的83階群的全部構(gòu)造，即證明下面的定理：

定理1如果是Sylow 2-子群是型為(22，2)的8階交換群4×2的83階群，其中是一個(gè)奇素?cái)?shù)（≠3，7），那么：1)當(dāng)≡1(mod 4)時(shí)，恰有74個(gè)彼此不同構(gòu)的類型；2) 當(dāng)≡3(mod 4)時(shí)，恰有40個(gè)彼此不同構(gòu)的類型。

根據(jù)這個(gè)定理，可知文獻(xiàn)[1]的結(jié)論是正確的，而文獻(xiàn)[2]中定理2不正確(其中包含了一些同構(gòu)的群的構(gòu)造)?，F(xiàn)在給出定理1的證明，由于證明過(guò)程較長(zhǎng)，將分為5個(gè)引理來(lái)描述。在下文中，總假定是奇素?cái)?shù)（≠3，7），是83階群，其Sylow2-子群是型為(22，2)的8階交換群4×2，記為。 由Sylow 定理易知，的Sylow-子群是正規(guī)子群，從而是與的半直積。為敘述方便，用||，||分別表示群和元素的階，且對(duì)元素，，記g＝－1。由文獻(xiàn)[2]知3階群有5種不同構(gòu)的類型：循環(huán)群1＝〈〉，其中||＝3；型為(2，)的交換群2＝〈〉×〈〉，其中||＝2，||＝；初等交換群3＝〈〉×〈〉×〈〉，其中||＝||＝||＝；指數(shù)是2的非交換群4＝〈，〉，其中||＝2，||＝，a＝1＋；指數(shù)是的非交換群5＝〈，，〉，其中||＝||＝||＝，[，]＝，[，]＝[，]＝1。設(shè)是3，2，的一個(gè)公共原根，當(dāng)≡1(mod 4)時(shí)，記。設(shè)＝〈〉×〈〉，其中||＝4，||＝2。

引理1 設(shè)是奇素?cái)?shù)（≠3，7），的Sylow 2-子群為而Sylow-子群為循環(huán)群1，那么：

1)當(dāng)≡1(mod 4)時(shí)，恰有“4”個(gè)彼此不同構(gòu)的類型；

2)當(dāng)≡3(mod 4)時(shí)，恰有 3個(gè)彼此不同構(gòu)的類型。

證明：因?yàn)?的自同構(gòu)群Aut(1)是階為2(－1)的循環(huán)群，而S/C(1)同構(gòu)于Aut(1)的一個(gè)子群，所以當(dāng)≡1(mod 4)時(shí)，有如下構(gòu)造：

1)如果C(1) ＝，則是1與的直積；

2)如果C(1)＝〈〉，那么誘導(dǎo)1的一個(gè)2階自同構(gòu)，于是有如下的構(gòu)造：

＝〈，| ||＝3， ||＝2，a＝－1〉×〈〉 (1)

3)如果C(1)＝〈2，〉，那么誘導(dǎo)1的一個(gè)2階自同構(gòu)，于是有如下的構(gòu)造：

＝〈，| ||＝3， ||＝4，a＝－1〉×〈〉 (2)

4)如果C(1)＝〈〉，那么誘導(dǎo)1的一個(gè)4階自同構(gòu)，于是有如下的構(gòu)造：

＝〈，| ||＝3， ||＝4，a＝a〉×〈〉 (3)

易見，當(dāng)≡3(mod 4)時(shí)，沒有構(gòu)造(3)。綜上可知，引理1成立。

引理2 設(shè)是奇素?cái)?shù)（≠3，7），的Sylow 2-子群為而Sylow-子群為型為(2，)的交換群2，那么：1)當(dāng)≡1(mod 4)時(shí)，恰有19個(gè)彼此不同構(gòu)的類型；2)當(dāng)≡3(mod 4)時(shí)，恰有 10個(gè)彼此不同構(gòu)的類型。

證明：類似于文獻(xiàn)[3]，易證得是超可解群。再由文獻(xiàn)[4]之定理8.4.6，不妨設(shè)〈〉，〈〉都是-不變的。由此得/C()，/C()分別同構(gòu)于Aut(〈〉)與Aut(〈〉)的某個(gè)子群，所以當(dāng)≡1(mod 4)時(shí)，有如下構(gòu)造：

1)當(dāng)C()＝C()＝時(shí)，顯然是2與的直積；

2)當(dāng)C()＝，C()＝〈〉時(shí)，有如下構(gòu)造：

＝〈〉×〈〉×〈，〉，b＝－1(4)

3)當(dāng)C()＝，C()＝〈2，〉時(shí)，有如下構(gòu)造：

＝〈〉×〈〉×〈，〉，b＝－1(5)

4)當(dāng)C()＝，C()＝〈〉時(shí)，有如下構(gòu)造：

＝〈〉×〈〉×〈，〉，b＝b(6)

5)當(dāng)C()＝〈〉，C()＝時(shí)，有如下構(gòu)造：

＝〈〉×〈〉×〈，〉，a＝－1(7)

6)當(dāng)C()＝〈2，〉，C()＝時(shí)，有如下構(gòu)造：

＝〈〉×〈〉×〈，〉，a＝－1(8)

7)當(dāng)C()＝〈〉，C()＝時(shí)，有如下構(gòu)造：

＝〈〉×〈〉×〈，〉，a＝a(9)

8)當(dāng)C()＝〈〉，C()＝〈〉時(shí)，有如下構(gòu)造：

＝〈，，〉×〈〉，[，] ＝1，a＝－1，

b＝－1(10)

9)當(dāng)C()＝〈〉，C()＝〈2，〉時(shí)，有如下構(gòu)造：

＝〈，〉×〈，〉，a＝－1，b＝－1(11)

10)當(dāng)C()＝〈2，〉，C()＝〈〉時(shí)，有如下構(gòu)造：

＝〈，〉×〈，〉，a＝－1，b＝－1(12)

11)當(dāng)C()＝〈2，〉，C()＝〈2，〉時(shí)，有如下構(gòu)造：

＝〈，，〉×〈〉，[，] ＝1，a＝－1，b＝－1(13)

12)當(dāng)C()＝〈〉，C()＝〈〉時(shí)，有如下構(gòu)造：

＝〈，，，〉，a＝，a＝－1，

b＝b＝－1(14)

13)當(dāng)C()＝〈〉，C()＝〈〉時(shí)，有如下構(gòu)造：

＝〈，〉×〈，〉，a＝a，b＝－1(15)

14)當(dāng)C()＝〈〉，C()＝〈2，〉時(shí)，有如下構(gòu)造：

＝〈，，〉×〈〉，[，] ＝1，a＝a，b＝－1(16)

15)當(dāng)C()＝〈〉，C()＝〈〉時(shí)，有如下構(gòu)造：

＝〈，〉×〈，〉，a＝－1，b＝b(17)

16)當(dāng)C()＝〈2，〉，C()＝〈〉時(shí)，有如下構(gòu)造：

＝〈，，〉×〈〉，[，] ＝1，a＝－1，b＝b(18)

17)當(dāng)C()＝C()＝〈〉時(shí)，有如下兩種不同構(gòu)造：

＝〈，，〉×〈〉，[，] ＝1，a＝a，b＝b或－(19)

18)當(dāng)C()＝〈〉，C()＝〈2〉時(shí)，令a＝a，b＝b，b＝－1，則有如下構(gòu)造：

＝〈，，，〉，[，] ＝1，a＝a，

a＝，b＝b，b＝－1(20)

如果令a＝a，b＝－，b＝－1，則所得的構(gòu)造與(20)是同構(gòu)的(因?yàn)椤矗担健?，〉，只要用代替即?。

易見，當(dāng)≡3(mod 4)時(shí)，沒有構(gòu)造(6)，(9)，(15)~(20)。綜上所述，引理2成立。

引理3設(shè)是奇素?cái)?shù)(≠3，7)，的Sylow 2-子群為而Sylow-子群為3階初等交換群3，那么：1)當(dāng)≡1(mod 4)時(shí)，恰有34個(gè)彼此不同構(gòu)的類型；2)當(dāng)≡3(mod 4)時(shí)，恰有16個(gè)彼此不同構(gòu)的類型。

證明：為簡(jiǎn)化記號(hào)，將3記為。顯然在上的作用是互素的，于是由文獻(xiàn)[4]之定理8.4.2得，＝()×[，]。首先，假定≡1(mod 4)，那么不難證明一定是超可解的。

1)當(dāng)()＝時(shí)，是3與的直積；

2)當(dāng)()是2階子群時(shí)，不妨設(shè)C() ＝〈〉×〈〉，[，]＝〈〉，則

2.1)當(dāng)C() ＝〈〉時(shí)，有如下構(gòu)造：

＝〈〉×〈〉×〈〉×〈，〉，c＝－1(21)

2.2)當(dāng)C() ＝〈2，〉時(shí)，有如下構(gòu)造：

＝〈〉×〈〉×〈〉×〈，〉，c＝－1(22)

2.3)當(dāng)C() ＝〈〉時(shí)，有如下構(gòu)造：

＝〈〉×〈〉×〈〉×〈，〉，c＝c(23)

3)當(dāng)()是階子群時(shí)，不妨設(shè)C() ＝〈〉，[，]＝〈〉×〈〉，且〈〉與〈〉都是-不變的。注意到，在中是對(duì)稱的，因此這時(shí)有如下幾種不同構(gòu)的類型：

3.1)當(dāng)C()＝C()＝〈〉時(shí)，有如下構(gòu)造：

＝〈〉×〈〉×〈，，〉，[，] ＝1，b＝－1，c＝－1(24)

3.2)當(dāng)C()＝C()＝〈2，〉時(shí)，有如下構(gòu)造：

＝〈〉×〈〉×〈，，〉，[，] ＝1，b＝－1，c＝－1(25)

3.3)當(dāng)C()＝〈〉，C()＝〈2，〉時(shí)，有如下構(gòu)造：

＝〈〉×〈，〉×〈，〉，b＝－1，

c＝－1(26)

3.4)當(dāng)C()＝〈〉，C()＝〈〉時(shí)，有如下構(gòu)造：

＝〈〉×〈，，，〉，[，]＝[，]＝1，b＝，b＝－1，c＝c＝－1(27)

3.5)當(dāng)C()＝〈〉，C()＝〈〉時(shí)，有如下構(gòu)造：

＝〈〉×〈，〉×〈，〉，b＝－1，

c＝c(28)

3.6)當(dāng)C()＝〈2，〉，C()＝〈〉時(shí)，有如下構(gòu)造：

＝〈〉×〈〉×〈，，〉，[，] ＝1，b＝－1，c＝c(29)

3.7)當(dāng)C()＝C()＝〈〉時(shí)，有如下構(gòu)造：

＝〈〉×〈〉×〈，，〉，[，] ＝1，b＝b，c＝c或－(30)

3.8)當(dāng)C()＝〈〉，C()＝〈2〉時(shí)，令b＝b，c＝c，c＝－1，則有如下構(gòu)造：

＝〈〉×〈，，，〉，b＝b，b＝，

c＝c，c＝－1(31)

如果令b＝b，c＝－，c＝－1，則所得的構(gòu)造與(31)是同構(gòu)的(因?yàn)椤?，〉＝〈，〉，只要用代替即?。

4)當(dāng)()＝1時(shí)，注意到，，在中是對(duì)稱的，因此有如下幾種不同構(gòu)的類型：

4.1)當(dāng)C()＝C()＝C()＝〈〉時(shí)，有如下構(gòu)造：

＝〈，，，〉×〈〉，a＝－1，b＝－1，c＝－1(32)

4.2)當(dāng)C()＝C()＝C()＝〈2，〉時(shí)，有如下構(gòu)造：

＝〈，，，〉×〈〉，a＝－1，b＝－1，c＝－1(33)

4.3)當(dāng)C()＝〈〉，C()＝C()＝〈2，〉時(shí)，有如下構(gòu)造：

＝〈，〉×〈，，〉，a＝－1，b＝－1，c＝－1(34)

4.4)當(dāng)C()＝C()＝〈〉，C()＝〈2，〉時(shí)，有如下構(gòu)造：

＝〈，，〉×〈，〉，a＝－1，b＝－1，c＝－1(35)

4.5)當(dāng)C()＝C()＝〈〉，C()＝〈〉時(shí)，有如下構(gòu)造：

＝〈，，，，〉，a＝，a＝－1，b＝，b＝－1，c＝c＝－1(36)

4.6)當(dāng)C()＝〈〉，C()＝〈〉，C()＝〈2，〉時(shí)，有如下構(gòu)造：

＝〈，，，，〉，a＝，a＝－1，

b＝b＝－1，c＝－1，c＝(37)

4.7)當(dāng)C()＝〈〉，C()＝C()＝〈〉時(shí)，有如下構(gòu)造：

＝〈，〉×〈，，〉，a＝a，b＝－1，c＝－1(38)

4.8)當(dāng)C()＝〈〉，C()＝C()＝〈2，〉時(shí)，有如下構(gòu)造：

＝〈，，，〉×〈〉，a＝a，b＝－1，c＝－1(39)

4.9)當(dāng)C()＝〈〉，C()＝〈〉，C()＝〈2，〉時(shí)，有如下構(gòu)造：

＝〈，，〉×〈，〉，a＝a，b＝－1，c＝－1(40)

4.10)當(dāng)C()＝〈〉，C()＝〈〉，C()＝〈〉時(shí)，有如下構(gòu)造：

＝〈，，，，〉，a＝a，a＝，b＝，b＝－1，c＝c＝－1(41)

4.11)當(dāng)C()＝C()＝〈〉，C()＝〈〉時(shí)，有如下構(gòu)造：

＝〈，，〉×〈，〉，a＝a，b＝b或－，c＝－1(42)

4.12)當(dāng)C()＝〈〉，C()＝〈2〉，C()＝〈〉時(shí)，有如下構(gòu)造：

＝〈，，，，〉，a＝a，a＝，b＝b或－，b＝－1，c＝，c＝－1(43)

4.13) 當(dāng)C()＝C()＝〈〉，C()＝〈2，〉時(shí)，有如下構(gòu)造：

＝〈，，，〉×〈〉，a＝a，b＝b或－，c＝－1(44)

4.14)當(dāng)C()＝〈〉，C()＝〈2〉，C()＝〈2，〉時(shí)，令a＝a，b＝b，b＝－1，c＝－1，則有如下構(gòu)造：

＝〈，，，，〉，a＝a，a＝，b＝b，b＝－1，c＝－1，c＝(45)

如果令a＝a，b＝－，b＝－1，則所得的構(gòu)造與(45)是同構(gòu)的(因?yàn)椤?，〉＝〈，〉，只要用代替即?。

4.15) 當(dāng)C()＝C()＝C()＝〈〉時(shí)，有如下構(gòu)造：

＝〈，，，〉×〈〉，a＝a，b＝b，c＝c或－(46)

4.16)當(dāng)C() ＝C()＝〈〉，C()＝〈2〉時(shí)，有如下構(gòu)造：

＝〈，，，，〉，a＝a，a＝，b＝b或－，b＝，c＝c，c＝－1(47)

如果在(47)中令c＝－，則所得的構(gòu)造與(47)是同構(gòu)的(因?yàn)椤矗担健?，〉，只要用代替即?。

綜上可知，當(dāng)≡1(mod 4)時(shí)，Sylow 2-子群為而Sylow-子群為3階初等交換群的83階群共有34個(gè)彼此不同構(gòu)的類型。

5)當(dāng)≡3(mod 4)時(shí)，沒有構(gòu)造(23)，(28) ～(31)，(38)～(47)，但可以不是超可解的。當(dāng)不超可解時(shí)，的特征多項(xiàng)式()不是元域上的一次因式之積，但必是4－1的因式，因而必是一個(gè)一次因式與一個(gè)二次不可約因式之積。又顯然正規(guī)化的每個(gè)子群，于是必是一個(gè)階-不變子群和一個(gè)2階不可分解的-不變子群的直積。不妨設(shè)〈〉是-不變子群而〈，〉是不可分解的-不變子群，作用在〈，〉上的特征多項(xiàng)式只能是2＋1，再由文獻(xiàn)[4]之定理8.3.3知在〈，〉上的作用是平凡的。而C()或?yàn)?，或?yàn)榈?階循環(huán)子群〈〉，或?yàn)榈?階初等交換子群〈2，〉，因此當(dāng)≡1(mod 4)時(shí)，為非超可解的構(gòu)造有下面3種不同構(gòu)的類型：

5.1)當(dāng)C()＝時(shí)，有如下構(gòu)造：

＝〈〉×〈〉×〈，，〉，[，] ＝1，b＝，c＝－1(48)

5.2)當(dāng)C()＝〈〉時(shí)，有如下構(gòu)造：

＝〈，〉×〈，，〉，[，] ＝1，

a＝－1，b＝，c＝－1(49)

5.3)當(dāng)C()＝〈2，〉時(shí)，有如下構(gòu)造：

＝〈，，，〉×〈〉，a＝－1，b＝，c＝－1(50)

總之，當(dāng)≡3(mod 4)時(shí)，恰有 16個(gè)彼此不同構(gòu)的類型。

綜上所述，引理3成立。

引理4設(shè)是奇素?cái)?shù)（≠3，7），的Sylow 2-子群為而Sylow-子群為指數(shù)是2的3階非交換群4，那么：1)當(dāng)≡1(mod 4)時(shí)，恰有4個(gè)彼此不同構(gòu)的類型；2)當(dāng)≡3(mod 4)時(shí)，恰有3個(gè)彼此不同構(gòu)的類型。

證明：因?yàn)?的中心(4)＝〈a〉是階群，而(4) char4，，于是。又不難證明〈a，〉是4的唯一的2階初等交換子群，從而它是4的特征子群，于是它又必是的正規(guī)子群。由此可見，必是超可解群。類似于文獻(xiàn)[3]，由文獻(xiàn)[4]之定理8.4.6知，可設(shè)〈〉，〈〉都是-不變的。所以當(dāng)≡1(mod 4)時(shí)，有下列構(gòu)造：

1)當(dāng)C()＝C()＝時(shí)，顯然是4與的直積。

2)當(dāng)C()＝〈〉時(shí)，必有a＝－1。將作用在[，]＝a的兩邊，易得b＝，于是C()＝，故有如下構(gòu)造：

＝〈，，〉×〈〉，a＝1＋，a＝－1，b＝(51)

3)當(dāng)C()＝〈2，〉時(shí)，可設(shè)a＝－1。這時(shí)同樣有C()＝，故有如下構(gòu)造：

＝〈，，〉×〈〉，a＝1＋，a＝－1，b＝(52)

4)當(dāng)C()＝〈〉時(shí)，可設(shè)a＝a。這時(shí)同樣有C()＝，故有如下構(gòu)造：

＝〈，，〉×〈〉，a＝1＋，a＝a，

b＝(53)

由此可見，當(dāng)≡1(mod 4)時(shí)，恰有4個(gè)彼此不同構(gòu)的類型；2)當(dāng)≡3(mod 4)時(shí)，沒有構(gòu)造(53)，因此恰有3個(gè)彼此不同構(gòu)的類型。綜上所述，引理4成立。

引理5設(shè)是奇素?cái)?shù)(≠3，7)，的Sylow 2-子群為而Sylow-子群為指數(shù)是的3階非交換群5，那么：1)當(dāng)≡1(mod 4)時(shí)，恰有13個(gè)彼此不同構(gòu)的類型；2)當(dāng)≡3(mod 4)時(shí)，恰有8個(gè)彼此不同構(gòu)的類型。

證明：因?yàn)?5)＝〈〉，而(5) char5， 所以〈〉是的正規(guī)子群，從而5/〈〉是-不變的。如果在5上的作用是平凡的，則是5與的直積。 如果在5上的作用是非平凡的，且是超可解的，那么不妨設(shè)〈〉，〈〉都是-不變的，于是C()與C()中至少有一個(gè)不是。注意到，在5中是對(duì)稱的，因此當(dāng)≡1(mod 4)時(shí)，有如下幾種不同構(gòu)的類型：

1)當(dāng)C()＝〈〉，C()＝時(shí)，必有a＝－1，再將分別作用在[，]＝的兩邊得c＝－1，于是有如下構(gòu)造：

＝〈，，，〉×〈〉，a＝－1，b＝，c＝－1(54)

2)當(dāng)C()＝〈2，〉，C()＝時(shí)，必有a＝－1，于是c＝－1，有如下構(gòu)造：

＝〈，，，〉×〈〉，a＝－1，b＝，

c＝－1(55)

3)當(dāng)C()＝〈〉，C()＝時(shí)，可設(shè)a＝a。這時(shí)有如下構(gòu)造：

＝〈，，，〉×〈〉，a＝a，b＝，

c＝c(56)

4)當(dāng)C()＝〈〉，C()＝〈2，〉時(shí)，可設(shè)a＝－1，b＝－1，于是c＝c＝－1，故有如下構(gòu)造：

＝〈，，，，〉，a＝，a＝－1，b＝－1，b＝，c＝c＝－1(57)

5)當(dāng)C()＝C()＝〈2，〉時(shí)，可設(shè)a＝-1，b＝－1，于是c＝，有如下構(gòu)造：

＝〈，，，〉×〈〉，a＝－1，b＝－1，

c＝(58)

6)當(dāng)C()＝C()＝〈〉時(shí)，可設(shè)a＝－1，b＝－1，于是c＝，有如下構(gòu)造：

＝〈，，，〉×〈〉，a＝－1，b＝－1，c＝(59)

7)當(dāng)CS(a)＝〈x〉，CS(b)＝〈xy〉時(shí)，可設(shè)a＝

－1，b＝－1，b＝－1，于是c＝－1，c＝，故有如下構(gòu)造：

＝〈，，，，〉，a＝，a＝－1，b＝

－1，b＝－1，c＝－1，c＝(60)

8)當(dāng)C()＝〈〉，C()＝〈〉時(shí)，可設(shè)a＝a，b＝－1。這時(shí)有如下構(gòu)造：

＝〈，，，，〉，a＝a，a＝，b＝，b＝－1，c＝c，c＝－1(61)

9)當(dāng)C()＝〈〉，C()＝〈2，〉時(shí)，可設(shè)a＝a，b＝－1，于是有如下構(gòu)造：

＝〈，，，〉×〈〉，a＝a，b＝－1，

c＝c(62)

10)當(dāng)C()＝C()＝〈〉時(shí)，可設(shè)a＝a，則b＝b或－，于是c＝－1或，故有如下構(gòu)造：

＝〈，，，〉×〈〉，a＝a，b＝b或－，c＝－1或(63)

11)當(dāng)C()＝〈〉，C()＝〈2〉時(shí)，可設(shè)a＝a，若令b＝b，b＝－1，則有c＝c＝－1，故有如下構(gòu)造：

＝〈，，，，〉，a＝a，a＝，b＝b，

b＝－1，c＝c＝－1(64)

如果令b＝－，b＝－1，那么所得的構(gòu)造與(64)是同構(gòu)的(因?yàn)椤矗担健?，〉，只要用代替即?。

由此可見，當(dāng)≡1(mod 4)時(shí)，恰有13個(gè)彼此不同構(gòu)的類型。

如果在5上的作用是非平凡的，且不是超可解的，那么5/〈〉是-不可分解的。 這時(shí)必有≡3 (mod 4)。類似于引理3的討論，可知當(dāng)≡3(mod 4)時(shí)，恰有一種非超可解的構(gòu)造：

＝〈，，，〉×〈〉，a＝，b＝－1，

c＝(65)

當(dāng)≡3(mod 4)時(shí)，沒有構(gòu)造(56)，（61）~（64），因此恰有8個(gè)彼此不同構(gòu)的類型。 綜上所述，引理5成立。

由引理1至引理5，易知定理1成立。

[1] 肖文俊，譚忠. 階為233的群的構(gòu)造[J]. 廈門大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,1995,34(5):845-846.

[2] 蔡瓊.233階群的構(gòu)造[J].數(shù)學(xué)雜志,2005,25(4):449-452.

[3] 張遠(yuǎn)達(dá). 有限群構(gòu)造[M]. 北京:科學(xué)出版社,1982.

[4] 陳松良,李驚雷,歐陽(yáng)建新. 論3階群的構(gòu)造[J]. 山東大學(xué)學(xué)報(bào):理學(xué)版,2013, 48(2):27-31.

[5] Kurzweil H, Stellmacher B. The theory of finite groups: an introduction[M]. New York:Springer-Verlag,Inc. 2004.

On the complete classification of a kind of the finite groups of order 83with Abelian Sylow 2-subgroups

*CHEN Song-liang1, JIANG Qi-yan2, Cui Zhong-wei1

(1. School of Mathematics and Computer Science, Guizhou Normal College, Guiyang, Guizhou 550018, China；2. School of Mathematics and Computer Science, Guizhou Normal University, Guiyang, Guizhou 550001, China)

Letbe an odd prime andbe groups of order 83with Abelian Sylow 2-subgroup4×2. Based on the theory of groups acting on groups, we discuss that the isomorphic classification ofTheir structures are completely determined. We also show that: 1) If≡1 (mod 4),has 74 nonisomorphic structures; 2) If≡3 (mod 4),has 40 nonisomorphic structures.

finite group; isomorphic classification; structure of group

1674-8085(2015)04-0001-06

O152.1

A

10.3969/j.issn.1674-8085.2015.04.001

2015-05-06；修改日期：2015-05-28

貴州省科學(xué)技術(shù)基金項(xiàng)目(黔科合J字[2013]2234號(hào))，貴州省教育廳教改項(xiàng)目(黔教高發(fā)[2013]446號(hào))

*陳松良(1964-)，男，湖南雙峰人，教授，博士，主要從事有限群論及其應(yīng)用研究(E-mail:chsl_2013@aliyun.com);

蔣啟燕(1964-)，女，貴州遵義人，副教授，主要從事高等數(shù)學(xué)和代數(shù)學(xué)研究(E-mail:dq2008yi@163.com);

崔忠偉(1980-)，男，貴州銅仁人，副教授，博士生，主要從事算法與物聯(lián)網(wǎng)研究(E-mail:seven_cui@126.com).